Capítulo 05

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Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Chap 5-1
Estatística
Teoria e Aplicações
5a. Edição
Capítulo 5
Algumas Distribuições de 
Probabilidades Discretas Importantes
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-2
Objetivos do Aprendizado
Neste capítulo, você irá aprender:
 As propriedades de uma distribuição de probabilidades
 A calcular o valor esperado e a variância de uma
distribuição de probabildiades
 A calcular a covariância e a compreender o seu uso em
finanças
 A calcular probabilidades a partir de distribuições
binomiais, hipergeométricas e de Poisson
 A utilizar distribuições binomiais, hipergeométricas e de 
Poisson para solucionar problemas ligados a negócios
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-3
Definições
Variável Aleatória
 Uma variável aleatória representa um valor 
numérico possível de um evento incerto.
 Variáveis ​​aleatórias discretas produzem 
resultados que vêm de um processo de 
contagem (número de classes que você está 
tomando).
 Variáveis ​​aleatórias contínuas produzem 
resultados que vêm de uma medição (ou seja, 
seu salário anual, ou o seu peso).
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-4
Variáveis Aleatórias Discretas
Exemplos
Variáveis ​​aleatórias discretas só podem assumir um número de 
valores contáveis
 Exemplos: 
 Role um dado duas vezes
 Seja X o número de vezes que o 4 vem para cima (então X pode 
ser 0, 1 ou 2 vezes)
 Jogue uma moeda 5 vezes. 
 Seja X o número de caras (então X = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-5
Definições
Variáveis Aleatórias
Variáveis
Aleatórias
Variáveis
Aleatórias
Discretas
Variáveis
Aleatórias
Contínuas
Cap. 5 Cap. 6
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-6
Definições
Distribuição de Probabilidades
 A distribuição de probabilidade para uma variável 
aleatória discreta é uma lista de todos os resultados 
mutuamente excludentes para essa variável e uma 
probabilidade específica de ocorrência associada a cada 
resultado.
Número de Classes Tomadas Probabilidade
2 0,20
3 0,40
4 0,24
5 0,16
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-7
Definiçõess
Distribuição de Probabilidades
Experimento: Jogue 2 Moedas. (X = # caras).
Dsitribuição de Probabilidade
Valor de X Probabilidade
0 1/4 = 0,25
1 2/4 = 0,50
2 1/4 = 0,25
0 1 2 X
0,50
0,25
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-8
Variáveis Aleatórias Discretas
Valor Esperado
 Valor Esperado (ou média) de uma distribuição discreta
(Média Ponderada)
 Exemplo: Jogue 2 moedas, X = # caras
Calcule o valor esperado de X:
E(X) = (0)(0,25) + (1)(0,50) + (2)(0,25) = 1,0



N
i
ii XPX
1
)( E(X) 
Valor de X Probabilidade
0 1/4 = 0,25
1 2/4 = 0,50
2 1/4 = 0,25
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-9
Variáveis Aleatórias Discretas
Valor Esperado
 Calcule o valor 
esperado para uma
dada distribuição:
Número de Classes 
Tomadas
Probabilidade
2 0,2
3 0,4
4 0,24
5 0,16
E(X) = 2(0,2) + 3(0,4) + 4(0,24) + 5(0,16) = 3,36
Portanto, o número médio de classes tomadas é 3,36.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-10
Variáveis Aleatórias Discretas
Dispersão
 Variância de uma variável aleatória discreta
 Desvio padrão de uma variável aleatória discreta
onde:
E(X) = Valor esperado da variável aleatória discreta X
Xi = o i
ésimo resultado de X
P(Xi) = Probabilidade da i
ésima ocorrência de X



N
1i
i
2
i
2 )P(XE(X)][Xσ



N
1i
i
2
i
2 )P(XE(X)][Xσσ
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-11
Variáveis Aleatórias Discretas
Dispersão
 Exemplo: Jogue 2 moedas, X = # caras, calcule o 
desvio padrão (lembre que E(X) = 1)



N
1i
i
2
i
2 )P(XE(X)][Xσσ
707,00,50(0,25)1)(2(0,50)1)(1(0,25)1)(0σ 222 
Número possível de caras = 0, 1 ou 2
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-12
Covariância
 A covariância mede a força da relação linear 
entre duas variáveis ​​aleatórias numéricas X e 
Y.
 A covariância positiva indica uma relação 
positiva.
 A covariância negativa indica uma relação 
negativa.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-13
Covariância
 Fórmula da Covâriancia:
)()]()][(([σ
1



N
i
iiiiXY YXPYEYXEX
onde: X = variável discreta X
Xi = o i
ésimo resultado de X
Y = variável discreta Y
Yi = o i
ésimo resultado de Y
P(XiYi) = probabilidade de ocorrência da condição que afeta
o iésimo resultado de X e o iésimo resultado de Y
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-14
Retorno de Investimento:
A Média
Considere o retorno de U$1000 para dois tipos de investimentos.
Condição Econômica
P(XiYi)
Investimento
Fundo Passivo X Fundo Agressivo Y
0,2 Recessão - U$25 - U$200
0,5 Economia Estável + U$50 +U$60
0,3 Economia em Expansão + U$100 + U$350
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-15
Retorno de Investimento:
A Média
E(X) = μX = (-25)(0,2) +(50)(0,5) + (100)(0,3) = 50
E(Y) = μY = (-200)(0,2) +(60)(0,5) + (350)(0,3) = 95
Interpretação: O fundo X tem uma média de U$50,00 de 
retorno e o fundo Y tem uma média de U$95,00 de retorno
para cada U$1000 investido.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-16
Retorno de Investimento:
Desvio Padrão
43,30
(0,3)50)(100(0,5)50)(50(0,2)50)(-25σ 222X


71,193
)3,0()95350()5,0()9560()2,0()95200-(σ 222Y


Interpretação: Apesar do fundo Y ter uma média maior
do retorno do investimento, ele é sujeito a uma maior
variabilidade, logo a probabilidade de perda é superior.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-17
Retorno do Investimento: 
Covariância
8250
95)(0,3)50)(350(100
95)(0,5)50)(60(5095)(0,2)200-50)((-25σXY



Interpretação: Uma vez que a covariância é 
grande e positiva, há uma relação positiva entre os 
dois fundos de investimento, o que significa que 
provavelmente eles vão subir e descer juntos.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-18
A Soma de duas Variáveis
Aleatórias: Medidas
 Valor Esperado: 
 Variância:
 Desvio padrão:
XYYXYXYX 2σσσσ)Var(
222  
)()()( YEXEYXE 
2σσ YXYX  
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-19
Risco Esperado da Carteira de 
Títulos e Risco Esperado
 Carteiras de investimento geralmente contêm 
vários fundos diferentes (variáveis ​​aleatórias)
 O retorno esperado e desvio padrão dos dois 
fundos juntos agora podem ser calculados.
 Objetivo de investimento: Maximize o retorno 
(média), minimizando o risco (desvio padrão).
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-20
Risco Esperado da Carteira de 
Títulos e Risco Esperado
 Retorno esperado da carteira de títulos (retorno médio
ponderado):
 Risco da carteira de títulos (variabilidade ponderada)
onde w = parte do valor da carteira em ativos X
(1 - w) = parte do valor da carteira em ativos Y
)()1()(E(P) YEwXEw 
XY
2
Y
22
X
2
P w)σ-2w(1σ)w1(σwσ 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-21
Risco Esperado da Carteira de 
Títulos e Risco Esperado
Lembreque: Investimento X: E(X) = 50 σX = 43.30
Investimento Y: E(Y) = 95 σY = 193.21
σXY = 8250
Suponha que 40% da carteira está no Investimento X e 60% está no Investimento Y:
 O retorno da carteira de títulos está entre os valores dos investimentos X e Y 
considerados individualmente.
77)95()6,0()50(4,0E(P) 
04,133
)(8250)2(0,4)(0,6(193,21))6,0((43,30)(0,4)σ 2222

P
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-22
Distribuições de Probabilidade
Visão Global
Distribuições de
Probabilidade
Contínua
Binomial
Hipergeométrica
Poisson
Distribuições de 
Probabilidade
Distribuições de
Probabilidade
Discreta
Normal
Uniforme
Exponencial
Cap. 5 Cap. 6
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-23
A Distribuição Binomial:
Propriedades
 Um número fixo de observações, n
 ex. 15 lançamentos de uma moeda; dez lâmpadas retiradas de um 
armazém
 Duas categorias mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas
 ex. cara ou coroa no lançamento de uma moeda; lâmpada com defeito ou não
defeituosa; ter um menino ou menina
 Generalmente chamada de “sucesso” e “insucesso”
 Probabilidade de sucesso é p, probabilidade de insucesso é 1 – p
 Constante de probabilidade para cada observação
 ex. Probabilidade de se obter coroa é a mesma cada vez que se lança a 
moeda
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-24
A Distribuição Binomial:
Propriedades
 As observações são independentes
 O resultado de uma observação não afeta o resultado
da outra
 Métodos de amostragem
 População infinita sem reposição
 População finita com reposição
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-25
Aplicações da Distribuição Binomial
 Uma planta de fabricação de etiquetas produz itens
defeituosos ou aceitáveis
 A licitação para os contratos de empresa irá ou não receber 
um contrato.
 A empresa de pesquisa de marketing recebe as respostas da 
pesquisa de "sim, eu vou comprar" ou "não, eu não vou”
 Candidatos novos a um emprego aceitam a oferta ou a 
rejeitam
 A sua equipa ganha ou perde o jogo de futebol no 
piquenique da empresa
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-26
A Distribuiçãao Binomial
Técnicas de Contagem
 Suponha que o sucesso seja definido como obter cara, 
pelo menos, duas vezes jogando-se três moedas 
normais. Quantas são as maneiras possíveis de se obter 
sucesso?
 Sucessos possíveis: HHT, HTH, THH, HHH, Portanto, 
existem quatro possibilidades.
 Esta situação é extremamente simples. Precisamos de 
uma forma de contar os sucessos para as situações 
mais complicadas e menos trivial.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-27
Técnicas de Contagem
Regra de Combinações
 O número de combinações na seleção de X 
objetos de n objetos é:
X)!(nX!
n!
X
n
CXn








onde:
n! =n(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1)
X! = X(X - 1)(X - 2) . . . (2)(1)
0! = 1 (por definição)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-28
Técnicas de Contagem
Regra de Combinações
 Quantas combinações possíveis de 3 bolas de sorvete 
você poderia criar em uma sorveteria se você tem 31 
sabores para escolher?
 O total de sabores é n = 31 e seleciona-se X = 3.
449529531
28!123
28!293031
3!28!
31!
3)!(313!
31!
3
31
C331 











Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-29
A Distribuição Binomial:
Fórmula
XnX )(1
X)!(nX!
n!
P(X) 

 pp
P(X) = probabilidade de X sucessos em n tentativas, 
com probabilidade p de sucesso em cada tentativa
X = número de „sucessos‟ na amostra, 
(X = 0, 1, 2, ..., n)
n = tamanho da amostra (número de tentativas
ou observações)
p = probabilidade de “sucesso” 
Exemplo: Jogue uma moeda
quatro vezes, seja x = # 
caras:
n = 4
p = 0,5
1 - p = (1 – 0,5) = 0,5
X = 0, 1, 2, 3, 4
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-30
A Distribuição Binomial
Exemplo
32805,0
,9)(5)(0,1)(0
1),0(1(0,1)
1)!(51!
5!
)(1
X)!(nX!
n!
1)P(X
4
151
XnX









pp
Qual é a probabilidade de um sucesso em cinco
observações se a probabilidade de sucesso é 0,1?
X = 1, n = 5 e p = 0,1
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-31
A Distribuição Binomial
Exemplo
Suponha que a probabilidade de comprar um computador
com defeito é 0,02. Qual é a probabilidade de comprar 2 
computadores defeituosos em um lote de10?
X = 2, n = 10 e p = 0,02
01531,0
4)(0,8508)(45)(0,000
02),0(1(0,02)
2)!(102!
10!
)(1
X)!(nX!
n!
2)P(X
2102
XnX









pp
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-32
A Distribuição Binomial: Formato
n = 5 p = 0,1
0
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4 5 X
P(X)
n = 5 p = 0,5
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4 5 X
P(X)
0
 O formato da distribuição
binomial depende dos 
valores de p e n
 Quando, n = 5 e p = 0,1
 Quando, n = 5 e p = 0,5
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-33
A Distribuição Binomial:
Usando a Tabela Binomial
n = 10
x … p=0,20 p=0,25 p=0,30 p=0,35 p=0,40 p=0,45 p=0,50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0,1074
0,2684
0,3020
0,2013
0,0881
0,0264
0,0055
0,0008
0,0001
0,0000
0,0000
0,0563
0,1877
0,2816
0,2503
0,1460
0,0584
0,0162
0,0031
0,0004
0,0000
0,0000
0,0282
0,1211
0,2335
0,2668
0,2001
0,1029
0,0368
0,0090
0,0014
0,0001
0,0000
0,0135
0,0725
0,1757
0,2522
0,2377
0,1536
0,0689
0,0212
0,0043
0,0005
0,0000
0,0060
0,0403
0,1209
0,2150
0,2508
0,2007
0,1115
0,0425
0,0106
0,0016
0,0001
0,0025
0,0207
0,0763
0,1665
0,2384
0,2340
0,1596
0,0746
0,0229
0,0042
0,0003
0,0010
0,0098
0,0439
0,1172
0,2051
0,2461
0,2051
0,1172
0,0439
0,0098
0,0010
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
… p=0,80 p=0,75 p=0,70 p=0,65 p=0,60 p=0,55 p=0,50 x
Exemplos: 
n = 10, p = 0,35, x = 3: P(x = 3|n =10, p = 0,35) = 0,2522
n = 10, p = 0,75, x = 2: P(x = 2|n =10, p = 0,75) = 0,0004
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-34
A Distribuição Binomial: 
Características
 Média
 Variância e Desvio Padrão
pnE(x)μ 
)-(1nσ2 pp )-(1nσ pp
onde n = tamanho da amostra
p = probabilidade de sucesso
(1 – p) = probabilidade de insucesso
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-35
A Distribuição Binomial: 
Características
n = 5 p = 0,1
0
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4 5 X
P(X)
n = 5 p = 0,5
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4 5 X
P(X)
0
0,5(5)(0,1)nμ  p
0,6708
1),0(5)(0,1)(1)-(1nσ

 pp
2,5(5)(0,5)nμ  p
1,118
5),0(5)(0,5)(1)-(1nσ

 pp
Exemplos
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-36
A Distribuição de Poisson
Definições
 Uma área de oportunidades é uma unidade
contínua ou um intervalo de tempo, volume, ou
uma área tal que nela possa acontecer mais de uma
ocorrência de um evento. 
 ex. O número de arranhões na pintura de um carro
 ex. O número picadas de mosquito em uma pessoa
 ex. O número de falhas de um computador em um dia
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-37
A Distribuição de PoissonPropriedades
Aplica-se a Distribuição de Poisson quando:
 Você deseja contar o número de vezes que um evento ocorre em 
uma determinada área de oportunidade
 A probabilidade de que um evento ocorre em uma área de 
oportunidade é a mesma para todas as áreas de oportunidade
 O número de eventos que ocorrem em uma área de oportunidade é 
independente do número de eventos que ocorrem em outras áreas 
de oportunidade
 A probabilidade de que dois ou mais eventos ocorrem em uma área 
de oportunidade se aproxima de zero quando a área de 
oportunidade torna-se menor
 O número médio de eventos por unidade é  (lambda)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-38
A Distribuição de Poisson
Fórmula
X!
λe
P(X)
xλ

onde:
X = a probabilidade de X eventos em uma área de oportunidades
 = número esperado de eventos
e = constante matemática aproximada para 2,71828
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-39
A Distribuição de Poisson
Exemplo
 Suponha que, em média, 5 carros entram num 
estacionamento por minuto. Qual é a probabilidade de 
que em um minuto dado, sete carros vão entrar?
 Portanto, X = 7 e λ = 5
0,104
7!
5e
X!
λe
P(7)
75xλ


 Então, existe 10,4% de chance de que 7 carros
irão entrar no estacionamento em um dado minuto.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-40
A Distribuição de Poisson
Usando a Tabela de Poisson
X

0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
0
1
2
3
4
5
6
7
0,9048
0,0905
0,0045
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0<8187
0,1637
0,0164
0,0011
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,7408
0,2222
0,0333
0,0033
0,0003
0,0000
0,0000
0,0000
0,6703
0,2681
0,0536
0,0072
0,0007
0,0001
0,0000
0,0000
0,6065
0,3033
0,0758
0,0126
0,0016
0,0002
0,0000
0,0000
0,5488
0,3293
0,0988
0,0198
0,0030
0,0004
0,0000
0,0000
0,4966
0,3476
0,1217
0,0284
0,0050
0,0007
0,0001
0,0000
0,4493
0,3595
0,1438
0,0383
0,0077
0,0012
0,0002
0,0000
0,4066
0,3659
0,1647
0,0494
0,0111
0,0020
0,0003
0,0000
Exemplo: Determine P(X = 2) se  = 0,50
0758,0
2!
(0,50)e
X!
λe
2)P(X
20,50Xλ


Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-41
A Distribuição de Poisson
Formato
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0 1 2 3 4 5 6 7
x
P(
x)
P(X = 2) = 0,0758 
X P(X)
0
1
2
3
4
5
6
7
0,6065
0,3033
0,0758
0,0126
0,0016
0,0002
0,0000
0,0000
 = 0,50
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-42
A Distribuição de Poisson
Formato
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
P(
x)
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0 1 2 3 4 5 6 7
x
P(
x)
 = 0,50  = 3,00
 O formato da Distribuição de Poisson depende
do parâmetro  :
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-43
A Distribuição Hipergeométrica
 A distribuição binomial é aplicável quando
se seleciona de uma população finita com 
reposição ou de uma população infinita sem
reposição.
 A distribuição hipergeométrica é aplicável
quando se seleciona de uma população finita
sem reposição.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-44
A Distribuição Hipergeométrica
 “n” tentativas de uma amostra tomada de uma
população finita de tamanho N
 Amsotra tomada sem reposição
 Resultados das tentativas são dependentes
 Relacionados com a probabilidade de “X” 
sucessos na amostra onde existem “A” 
sucessos na população
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-45
A Distribuição Hipergeométrica
onde
N = tamanho da população
A = número de sucessos na população
N – A = número de insucessos na população
n = tamanho da amsotra
X = número de sucessos na amostra
n – X = número de insucessos na amostra





















n
N
Xn
AN
X
A
XP )(
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-46
A Distribuição Hipergeométrica: 
Características
 A média de uma distribuição hipergeométrica é:
N
nA
E(x)μ 
 O desvio padrão é:
1- N
n-N
N
A)-nA(N
σ
2

1- N
n-Nonde é chamado de “Fator de Correção de População
Finita” de uma amostragem sem reposição de uma população
finita
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-47
A Distribuição Hipergeométrica
Exemplo
 Computadores diferentes são controlados a partir de 10 no 
departamento. 4 dos 10 computadores têm software ilegal 
carregado. Qual é a probabilidade de que 2 dos 3 
computadores selecionados tem software ilegal carregado?
 Portanto, N = 10, n = 3, A = 4, X = 2
0,3
120
(6)(6)
3
10
1
6
2
4
n
N
Xn
AN
X
A
2)P(X 








































 A probabilidade de 2 dos 3 computadores selecionados
têm software ilegal carregado é 0,30, ou 30%.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 5-48
Sumário do Capítulo
Neste capítulo, temos
 Abordado a probabilidade de uma variável aleatória
discreta
 Definido covâriancia e foi discutido sua aplicação
em finanças
 Discutido a Distribuição Binomial
 Examinado a Distribuição de Poisson 
 Discutido a Distribuição Hipergeométrica