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Apostila de Resistência dos Materiais - UFF

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da barra, há contração lateral, que resulta na diminuição da 
área da seção transversal. Isto não tem nenhum efeito no diagrama tensão-deformação até 
o ponto C. Porém, deste ponto em diante, a redução da área faz com que a tensão 
verdadeira seja sempre crescente (como indicado na linha pontilhada até E´). 
 É a favor da segurança adotar-se como valor das tensões limites aquelas calculadas 
como se a área se mantivesse com seu tamanho original, obtendo-se valores para a tensão 
ligeiramente menores do que os reais. 
 Alguns materiais não apresentam claramente no diagrama tensão-deformação todos 
os pontos anteriormente citados. Para que se possa determinar o ponto de escoamento 
desses materiais, convencionou-se adotar uma deformação residual de 0,2%. A partir dessa 
deformação, traça-se uma reta paralela ao trecho linear AO, até atingir a curva tensão-
deformação. 
 A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande 
deformação plástica, é uma das características do aço. 
 
 
 a) diagrama σ x ε típico de b) diagrama σ x ε típico de 
 material dúctil material frágil 
 
 
 Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes 
da ruptura, sendo classificados como dúcteis. Por outro lado, materiais frágeis ou 
quebradiços quebram com valores relativamente baixos das deformações. 
 As cerâmicas, o ferro fundido, o concreto, certas ligas metálicas e o vidro são 
exemplos desses materiais. 
 É possível traçar diagramas análogos aos de tração, para vários materiais sob 
compressão, estabelecendo-se tensões características, tais como limite de 
proporcionalidade, escoamento e tensão máxima. 
 Para o aço, verificou-se que as tensões do limite de proporcionalidade e do 
escoamento são, aproximadamente, as mesmas na tração e na compressão. 
 Para muitos materiais quebradiços, as tensões características em compressão são 
muito maiores que as de tração. 
 
 
 
0 
σ
ε
0 
σ
ε 
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice 
Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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3 – Elasticidade 
 
 Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento dos materiais, quando 
carregados por tração (ou compressão). 
 Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, a carga é 
gradualmente reduzida até zero, a deformação sofrida durante o carregamento 
desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a 
retornar à forma original, é denominada elasticidade. 
 Quando o material volta completamente à forma original, diz-se que é perfeitamente 
elástico. Se o retorno não for total, diz-se que é parcialmente elástico. Nesse caso, a 
deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação 
permanente. 
 O processo de carregamento e descarregamento do material pode ser repetido 
sucessivamente, para valores cada vez mais altos de tração. À tensão cujo 
descarregamento acarrete uma deformação residual permanente, chama-se limite elástico. 
 Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de proporcionalidade 
são aproximadamente coincidentes. Materiais semelhantes à borracha possuem uma 
propriedade – a elasticidade – que pode continuar muito além do limite de 
proporcionalidade. 
 
 
3.1 – Lei de Hooke 
 
 Os diagramas tensão-deformação da maioria dos materiais apresentam uma região 
inicial de comportamento elástico e linear. 
 A relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em tração, 
pode ser expressa por: 
 
 εσ ⋅= E 
 
onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do 
material. 
 
 Este é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é 
diferente para cada material. O módulo de elasticidade é também conhecido como módulo 
de Young e a equação anterior é chamada de Lei de Hooke. 
 Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é 
A
P=σ e a 
deformação específica é 
L
δε = . 
 Combinando estas expressões com a lei de Hooke, tem-se que o alongamento da 
barra é 
AE
LP
⋅
⋅=δ . 
 Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é 
diretamente proporcional à carga e ao seu comprimento e inversamente proporcional ao 
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. 
 O produto AE ⋅ é conhecido como rigidez axial da barra. 
 A flexibilidade da barra é definida como a deformação decorrente de uma carga 
unitária. Da equação anterior, vemos que a flexibilidade é AE
L ⋅ . 
 De modo análogo, a rijeza da barra é definida como a força necessária para produzir 
uma deformação unitária. Então, a rijeza é igual a L
AE ⋅ , que é o inverso da flexibilidade. 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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 Vários casos que envolvem barras com carregamento axial podem ser solucionados 
aplicando-se a expressão: 
AE
LP
⋅
⋅=δ . 
 A figura mostra uma barra carregada axialmente. O procedimento para determinação 
da deformação da barra consiste em obter a força axial em cada parte da barra (AB, BC e 
CD) e, em seguida, calcular separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cada 
parte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A soma algébrica dessas variações de comprimento dará a variação total de 
comprimento da barra, tal que: 
 
 ∑
= ⋅
⋅=
n
1i ii
ii
AE
LPδ 
 
 O mesmo método pode ser usado quando a barra é formada por partes com 
diferentes seções transversais. 
 
 
3.2 – Coeficiente de Poisson. Variação volumétrica 
 
 Conforme foi dito anteriormente, quando uma barra é tracionada, o alongamento 
axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura torna-se menor e seu 
comprimento cresce. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro da 
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson; dada por: 
 
 0,5)(0 
axial deformação
lateral deformação ≤≤= νν 
 
 Para os materiais que têm as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, 
denominados isotrópicos, Poisson achou ν = 0,25. 
P P 
δl
δa L 
P
P
a
b
2P 
2P 
A 
B 
C 
D 
L1 
L2 
L3 
P
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 Para fins práticos, o valor numérico de ν é o mesmo, independentemente do material 
estar sob tração ou compressão. 
 Conhecendo-se o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade do material, 
pode-se calcular a variação do volume da barra tracionada. Tal variação é mostrada na 
figura seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Inicialmente, o cubo que tinha dimensões unitárias, sofre alongamento na direção

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