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Apostila de Resistência dos Materiais - UFF

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B 
F 
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice 
Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
27
 A deformação do elemento infinitesimal está representada na figura abaixo, que 
mostra a face frontal do cubo submetido a cisalhamento puro. Como não há tensões 
normais agindo no elemento, os comprimentos das arestas ab, bc, cd e ac não variam, 
porém o quadrado de lado abcd transforma-se no paralelogramo representado em tracejado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O ângulo no vértice c, que media 2
π antes da deformação, fica reduzido a γπ −2 . 
Ao mesmo tempo, o ângulo no vértice a ficará aumentado para γπ +2 . O ângulo γ é a 
medida da distorção do elemento provocada pelo cisalhamento, e é denominado 
deformação de cisalhamento. Pela figura, nota-se que a deformação de cisalhamento γ é 
igual ao deslizamento horizontal da aresta superior em relação à aresta inferior, dividido pela 
distância entre essas duas arestas (altura do elemento). 
 
 A determinação das tensões de cisalhamento τ em função das deformações de 
cisalhamento γ pode ser feita a partir de um teste de cisalhamento puro, obtendo-se o 
diagrama tensão-deformação de cisalhamento do material, cujo aspecto é muito semelhante 
ao diagrama tensão-deformação obtido do ensaio de tração. 
 Assim, se o material tiver uma região elástica-linear, o diagrama tensão-deformação 
de cisalhamento será uma reta e as tensões de cisalhamento serão proporcionais às 
deformações de cisalhamento: 
 
 γτ ⋅= G 
 
onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material, também conhecido como 
módulo de elasticidade transversal. 
 
 O módulo de elasticidade transversal relaciona-se com o módulo de elasticidade 
longitudinal do material de acordo com a seguinte expressão: 
 
 ( )ν+⋅= 12
EG 
τ
τ
τ 
τ 
a b 
c d 
γ γ
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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V – TORÇÃO 
 
1 – Torção em Barras de Seção Circular 
 
 Seja a barra de seção transversal circular submetida ao momento torsor T em suas 
extremidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Durante a torção, haverá rotação em torno do eixo longitudinal, de uma extremidade 
da barra em relação à outra. 
 Considerando-se fixa a extremidade esquerda da barra, a da direita gira num ângulo 
φ (em radianos) em relação à primeira. Ao mesmo tempo, uma linha longitudinal na 
superfície da barra, tal como nn, gira num pequeno ângulo para a posição nn´. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisando um elemento retangular abcd de largura dx na superfície da barra, nota-
se que, sob a ação da torção, este elemento sofre distorção e os pontos b e d movem-se 
para b´ e d´, respectivamente. Os comprimentos dos lados do elemento não variam durante 
esta rotação, porém os ângulos dos vértices não continuam retos. 
 Tem-se, então, que o elemento encontra-se em estado de cisalhamento puro e que 
a deformação de cisalhamento γ é igual a: 
ab
´bb=γ . 
 Chamando de dφ o ângulo de rotação de uma seção transversal em relação à outra, 
chega-se a φdR´bb ⋅= . 
 Sabendo que a distância ab é igual a dx, então: 
dx
dR φγ ⋅= . 
 Quando uma barra de seção circular (eixo) está sujeita a torção pura, a taxa de 
variação dφ do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento dx da barra. Esta 
constante é o ângulo de torção por unidade de comprimento, designado porθ . 
 Assim, tem-se: 
 
T 
n 
n´ 
τ 
τ 
L 
x dx 
T φ 
n 
R 
a 
dφ 
dx
γ c b 
d 
d´
b´
R 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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L
RR φθγ ⋅=⋅= 
 
 As tensões de cisalhamento τ que agem nas faces laterais do elemento têm os 
sentidos mostrados na figura anterior. 
 A intensidade da tensão de cisalhamento é obtida pela Lei de Hooke: 
 
 θγτ ⋅⋅=⋅= RGG 
onde G é o módulo de elasticidade transversal do material, igual a ( )ν+⋅ 12
E
. 
 
 O estado de tensão no interior de um eixo pode ser determinado de modo análogo, 
bastando substituir R por r, tal que a deformação de cisalhamento é: 
 
 θγ ⋅= r 
 
e a tensão de cisalhamento é: 
 
 θτ ⋅⋅= rG 
 
 Essas equações mostram que a deformação e a tensão de cisalhamento variam 
linearmente com o raio r, tendo seus valores máximos na superfície do eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O momento torsor de todas as forças em relação ao centróide da seção transversal 
é: 
 
 JGdArGdArGdArT
A
2
A
2
A
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫∫ θθθτ 
onde J é o momento de inércia polar da seção transversal, igual a ∫ ⋅
A
2 dAr . 
 Para uma seção circular, o momento de inércia polar com relação aos eixos que 
passam pelo centróide é: 
 
 
32
dJ
4⋅= π 
onde d é o diâmetro da seção transversal. 
 
 Tem-se, então: 
 
 
JG
T
L ⋅==
φθ 
 
r 
τ 
R 
d
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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 A expressão anterior mostra que o ângulo de torção por unidade de comprimento é 
diretamente proporcional ao momento torsor e inversamente proporcional ao produto JG ⋅ , 
conhecido como módulo de rigidez à torção do eixo. 
 Substituindo θ na equação da tensão de cisalhamento, tem-se: 
 
 
J
rT ⋅=τ 
 
 Logo, a tensão máxima de cisalhamento é: 
 
 
J
RT
max
⋅=τ 
 
2 – Torção em Barras de Seção Circular Vazada 
 
 Conforme visto anteriormente, a tensão de cisalhamento numa barra de seção 
circular é máxima na superfície e nula no centro. Conseqüentemente, grande parte do 
material trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Se a redução de peso e a 
economia de material forem fatores importantes, é preferível usar eixos vazados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A análise da torção de barras de seção circular vazada assemelha-se à de barras de 
seção circular cheia. Assim, a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seção 
transversal é: 
 
 
J
rT ⋅=τ , com 21 rrr ≤≤ 
 
onde: 
( )
32
ddJ
4
i
4
e −⋅= π 
 
3 – Eixos Estaticamente Indeterminados 
 
 Quando as equações da estática são insuficientes para a determinação dos esforços 
internos de torção, é preciso levar em conta as condições de deformação da estrutura. 
 
Exemplo: Um eixo AB bi-engastado de seção transversal circular tem 250 mm de 
comprimento e 20 mm de diâmetro. No trecho de 125 mm a partir da extremidade B, o eixo 
tem seção vazada com diâmetro interno de 16 mm. Pede-se determinar

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