Prática 2

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I	
  -­‐	
  OBJETIVO	
  Determinação	
  de	
  leis	
  e	
  grandezas	
  2ísicas,	
  a	
  partir	
  de	
  dados	
  experimentais	
  e	
  utilização	
  de	
  método	
  grá2ico.	
  
II	
  -­‐	
  INTRODUÇÃO	
  	
  	
  	
  	
  Um	
  grá2ico	
  é	
  uma	
  forma	
  compacta	
  de	
  se	
  apresentar	
  varias	
   informações	
   de	
   maneira	
   intuitiva.	
   apresentar	
  varias	
   informações	
   de	
   maneira	
   muito	
   intuitiva.	
   Por	
  exemplo,	
  por	
  exemplo,	
  ao	
  analisarmos	
  um	
  grá2ico	
  da	
  posição	
   de	
   uma	
   partícula	
   em	
   relação	
   ao	
   tempo,	
  podemos	
   saber	
   como	
   a	
   posição	
   da	
   partícula	
   varia	
  com	
   o	
   tempo	
   se	
   a	
   velocidade	
   e	
   a	
   aceleração	
   da	
  partícula	
   são	
   constantes	
   ou	
   variam	
   no	
   tempo.	
   Além	
  disso,	
   podemos	
   obter	
   toda	
   a	
   informação	
   sobre	
   o	
  movimento	
  dessa	
  partícula	
  em	
  um	
  instante	
  que	
  não	
  é	
  apresentado	
  no	
  grá2ico.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  Preparar	
  um	
  grá2ico	
  consiste	
  basicamente	
  em	
  escolher	
   um	
   sistema	
   de	
   coordenadas.	
   Existem	
  algumas	
   opções,	
   dentre	
   elas,	
   as	
   coordenadas	
  cartesianas,	
  esféricas,	
  cilíndricas,	
  etc.	
  Nesta	
   experiência,	
   trabalharemos	
   com	
   sistema	
   de	
  coordenadas	
  cartesianas	
  e	
  prepararemos	
  grá2icos	
  em	
  papel	
   milimetrado.	
   No	
   início,	
   você	
   sentirá	
   certas	
  di2iculdades,	
  que	
  serão	
  superadas	
  à	
  medida	
  que	
  você	
  for	
  adquirindo	
  mais	
  experiência.	
  	
  


II.1	
  	
  Construção	
  do	
  grá>ico:	
  	
   	
   	
   Um	
   experimentador	
   mediu	
   a	
   velocidade	
   de	
   um	
  corpo	
  em	
  função	
  do	
  tempo	
  e	
  construiu	
  a	
  Tabela	
  1:	
  
II.2	
  Escolha	
  dos	
  eixos:	
  
	
   	
   	
   	
   	
   	
  Podemos	
  notar	
  que	
  v	
  foi	
  medida	
  em	
  função	
  de	
  t,	
  logo:	
  
v = f(t)onde:	
  v é	
  uma	
  variável	
  dependente	
  e	
  t uma	
  variável	
  	
  independente.	
  De	
  uma	
  forma	
  mais	
  geral,	
  escrevemos:	
  
y = f(x),	
  onde:	
  y ≡ v e x ≡ t.	
  De2inimos,	
  portanto,	
  v (m/s)	
  no	
  eixo	
  y	
  e	
  t(s)	
  no	
  eixo	
  x.	
  	
  
II.3	
  Posicionamento	
  do	
  papel:	
   	
  	
   	
   	
  Observe	
  que	
  seu	
  papel	
  não	
  é	
  quadrado,	
  provavel-­‐mente	
  terá	
  dimensões	
  de	
  25	
  cm	
  x	
  30	
  cm.	
  Neste	
  caso,	
  é	
   a	
   tabela	
   de	
   dados	
   experimentais	
   que	
  de2inirá	
   se	
   o	
  papel	
  vai	
  2icar	
  deitado	
  ou	
  em	
  pé.	
  	
  
� 	
  de	
  �1 4 Roteiro	
  2	
  -­‐	
  Construção	
  de	
  grá2icos
LABORATÓRIO	
  DE	
  FÍSICA	
  EXPERIMENTAL	
  I 

ROTEIRO	
  2	
  -­‐	
  CONSTRUÇÃO	
  DE	
  GRÁFICOS	
  EM	
  PAPEL	
  MILIMETRADO	
  
UNIVERSIDADE	
  DO	
  ESTADO	
  DO	
  RIO	
  DE	
  JANEIRO	
  -­‐	
  UERJ	
  
FACULDADE	
  DE	
  TECNOLOGIA	
  -­‐	
  CÂMPUS	
  RESENDE
Tabela 1: Valores de velocidade em função 
do tempo obtidos em um experimento.
v (m/s) t (s)
1,08 0,033
1,50 0,067
1,64 0,100
1,96 0,133
2,34 0,167
2,66 0,200
3,11 0,233
3,48 0,267
3,66 0,300
3,84 0,300
4,27 0,367
Tabela 2: Valores de velocidade em função do 
tempo obtidos em um experimento.
v (m/s) x 10-2 t (s) x 10-3
108 33
150 67
164 100
196 133
234 167
266 200
311 233
348 267
366 300
384 300
427 367
	
   	
   	
   	
  Devemos	
  eliminar	
  as	
  vírgulas.	
  Assim,	
   trabalhare-­‐mos	
   com	
   números	
   inteiros,	
   o	
   que	
   facilitará	
   o	
   nosso	
  trabalho.	
  Para	
  isso,	
  usaremos	
  potências	
  de	
  10.	
  	
  	
  	
  	
  Vejamos	
  qual	
  foi	
  a	
  variação	
  de	
  v	
  e	
  de	
  t:	
  	
  ∆v	
  =	
  (427	
  -­‐	
  108)	
  x	
  10-­‐2	
  m/s	
  →	
  ∆v	
  =	
  319	
  x	
  10-­‐2	
  m/s	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
∆t	
  =	
  (367	
  -­‐	
  33)	
  x	
  10-­‐3	
  s	
  →	
  ∆t =	
  334	
  x	
  10-­‐3	
  s	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Observe,	
  no	
  entanto,	
  que	
  a	
  experiência	
  não	
  começou	
  quando	
   t =	
   0,	
   e	
   sim	
   quando	
   t 	
   =	
   0,033	
   s.	
   Podemos	
  supor	
   que	
   caiu	
   café	
   na	
   tabela	
   do	
   experimentador,	
  destruindo	
   os	
   primeiro	
   dados.	
   Talvez	
   possamos	
  reconstruir	
   a	
   tabela	
   desde	
   o	
   início.	
   A	
   condição	
  necessária	
   (mas	
  não	
  su2iciente)	
  é	
  que	
   tenhamos	
  nos	
  nossos	
  eixos	
  os	
  pontos:	
  t	
  =	
  0	
  e	
  v	
  =	
  0,	
  logo:	
  
∆v	
  =	
  (427	
  -­‐	
  0)	
  x	
  10-­‐2	
  m/s→	
  ∆v	
  =	
  427	
  x	
  10-­‐2	
  m/s	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
∆t	
  =	
  (367	
  -­‐	
  0)	
  x	
  10-­‐3	
  s	
  →	
  ∆t =	
  367	
  x	
  10-­‐3	
  s	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  A	
  maior	
  variação	
  foi	
  da	
  velocidade:	
  	
  427	
  x	
  10-­‐2	
  >	
  367	
  x	
  10-­‐3;	
  	
  logo,	
   os	
   valores	
   de	
   v 	
   serão	
   distribuídos	
   na	
   parte	
  maior	
  do	
  papel,	
  e	
  t	
  na	
  menor.	
  	
  
E, portanto, o papel ficará em pé. 


II.4 Determinação da Escala: 
 	
   Vamos	
   pensar	
   primeiro	
   na	
   escala	
   para	
   v.	
   A	
  variação	
   total	
   de	
   v 	
   foi	
   427	
   m/s.	
   Então,	
   temos	
   que	
  distribuir	
  427	
  m/s	
  em	
  30	
  cm	
  (a	
  potência	
  de	
  10	
  já	
  está	
  indicada	
   no	
   eixo	
   de	
   v).	
   Ora,	
   basta	
   então	
   fazer	
   uma	
  regra	
  de	
  três	
  simples:427	
  m/s	
  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐	
  30	
  cm	
  x	
  m/s	
  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐	
  1	
  cm	
  logo:	
  1	
  cm	
  →	
  14,23	
  m/s.	
  	
  	
   	
   O	
   bom	
   senso	
   nos	
   proíbe	
   usar	
   uma	
   escala	
   tão	
  fracionária	
  como	
  esta.	
  Se	
  2izermos	
  1	
  cm	
  →	
  14,23	
  m/s,	
  
todos	
   esses	
   pontos	
   serão	
   marcados,	
   porém	
   com	
  enorme	
  di2iculdade.	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  Se	
  2izermos	
  1	
  cm	
  →	
  15	
  m/s	
  (que	
  é	
  a	
  escala	
  inteira	
  imediatamente	
  superior),	
  teremos	
  uma	
  simpli2icação	
  tremenda	
   embora	
   um	
   pouco	
   do	
   papel	
   seja	
  desperdiçado.	
  Podemos	
  desperdiçar	
  no	
  MÁXIMO	
  1/3	
  do	
  papel,	
  em	
  troca	
  de	
  uma	
  escala	
  mais	
  fácil.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Vamos	
  agora	
  pensar	
  na	
  escala	
  para	
  os	
  valores	
  de	
  t.	
  Ora,	
   ∆t	
   =	
   367	
   x	
   10-­‐3	
   s.	
   Esqueça,	
   por	
   enquanto,	
   a	
  potência	
  de	
  10.	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  Temos,	
  então,	
  que	
  distribuir	
  367	
  s	
  em	
  25	
  cm;	
  logo:	
   367	
  s	
  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐	
  25	
  cm	
  x	
  s	
  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐	
  1	
  cm	
  logo:1	
   cm	
   →	
   14,68	
   s.	
   Ou	
   seja,se	
   2izermos	
   1	
   cm	
   →	
  14,68	
   s,	
   o	
   valor	
   367	
   coincidirá	
   com	
   o	
   2im	
   do	
   papel.	
  Você	
   usaria	
   esta	
   escala?	
   Comece	
   a	
   usar	
   seu	
   bom	
  senso,	
   e	
   determine	
   a	
   sua	
  própria	
   escala.	
  Na	
  hora	
  de	
  marcar	
   os	
   valores	
   de	
   t,	
   lembre	
   que	
   todos	
   estão	
  multiplicados	
   por	
   10-­‐3	
   e	
   indicados	
   no	
   2inal	
   do	
   eixo,	
  como	
  mostra	
  a	
  Fig.	
  1.	
  	
  III.	
  INTERPRETAÇÃO	
  E	
  ANÁLISE	
  DO	
  GRÁFICO	
  	
   Como	
  pode	
  ser	
  observado	
  no	
  grá2ico	
  abaixo,	
  os	
   pontos	
   não	
   deram	
   exatamente	
   uma	
   reta,	
   porém	
  isto	
  é	
  perfeitamente	
  explicável,	
  simplesmente	
  porque	
  nenhuma	
   medida	
   é	
   exata,	
   ou	
   seja,	
   sempre	
   somos	
  passíveis	
   de	
   erro	
   (observe	
   as	
   linhas	
   horizontais	
   e	
  verticais	
   entorno	
  dos	
  dados,	
   estas	
   linhas	
  mostram	
  o	
  erro	
   nos	
   dados).	
   No	
   entanto,	
   esta	
   distribuição	
   de	
  pontos	
   nos	
   sugere	
   muito	
   mais	
   uma	
   reta	
   do	
   que	
  qualquer	
  outra	
  curva.	
  	
  	
   	
   	
   	
   Trace	
   sua	
   reta	
   procurando	
   passar	
   pelo	
   maior	
  número	
   possível	
   de	
   pontos	
   e	
   deixando,	
   mais	
   ou	
  menos,	
  o	
  mesmo	
  número	
  de	
  pontos	
  acima	
  e	
  abaixo	
  da	
  reta.	
  	
  
	
   	
   	
   	
  A	
  equação	
  da	
  reta	
  é:	
  y	
  =	
  ax	
  +	
  b,	
  onde:	
  y	
  →	
  variável	
  dependente;	
   x→variável	
   independente;	
   a→inclinação	
  da	
  reta;	
  e	
  b→	
  ponto	
  onde	
  a	
  reta	
  corta	
  o	
  eixo	
  y.	
  
� 	
  de	
  �2 4 Roteiro	
  2	
  -­‐	
  Construção	
  de	
  grá2icos
v (m/s) x 10-2 
t (s) x 10-3
0 0,1 0,2 0,3 0.4 0.5 0.6
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
v (
m/
s)
3 m/s
0,31 s
Fig. 2: Gráfico de velocidade versus tempo. 
Fig. 1: Gráfico de velocidade versus tempo. 
	
   	
   	
   	
   Podemos,	
   então,	
   reescrever	
   esta	
   equação	
   da	
  seguinte	
  forma:	
  	
  
v = at + vo,	
  	
   onde	
  vo 	
   representa	
  a	
  velocidade	
  quando	
   t	
  =	
  0.	
  Este	
  valor	
  foi	
  encontrado,	
  prolongando-­‐se	
  a	
  reta	
  até	
  cortar	
  o	
   eixo	
   de	
   v .	
   Este	
   método	
   é	
   chamado	
   de	
  EXTRAPOLAÇÃO.	
   A	
   extrapolação	
   só	
   pode	
   ser	
   feita	
  quando	
   o	
   grá2ico	
   nos	
   dá	
   uma	
   reta,	
   pois	
   só	
   aí	
  saberemos	
   (com	
  certas	
  dúvidas)	
   a	
   direção	
  da	
   curva.	
  Outra	
   informação	
   da	
  maior	
   importância	
   é	
   a	
   rapidez	
  com	
   que	
   a	
   velocidade	
   varia	
   com	
   o	
   tempo.	
   A	
   esta	
  rapidez	
  damos	
  o	
  nome	
  de	
  aceleração	
  que	
  é	
  de2inida	
  como:	
  
a = ∆v / ∆t(Lembre	
  que	
  a	
  aceleração	
  média	
  é	
  igual	
  a	
  aceleração	
  instantânea	
  quando	
  aceleração	
  é	
  constante).	
  	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  O	
  procedimento	
  para	
  o	
  cálculo	
  de	
  a	
  é	
  análogo	
  ao	
  do	
   cálculo	
   da	
   tangente.	
   Neste	
   caso	
   consideramos	
   a	
  
razão	
   entre	
   o	
   cateto	
   oposto	
   e	
   o	
   cateto	
   adjacente,	
  tomados	
  os	
  seus	
  valores	
  nas	
  escalas,	
  assim	
  como	
  suas	
  unidades.	
  No	
  nosso	
  caso,	
  
a = ∆v / ∆t	
  =	
  3	
  m/s	
  /	
  0,31s	
  ≃	
  9,68	
  m/s2.	
  	
   	
   	
   	
   	
   	
  Será	
  que	
  este	
  valor	
  pode	
  lhe	
  sugerir	
  que	
  tipo	
  de	
  m o v im e n t o	
   e s t a v a	
   e s t u d a n d o	
   o	
   n o s s o	
  experimentador?	
  	
  
Agora	
  que	
  já	
  aprendeu	
  como	
  fazer	
  o	
  grá2ico,	
  construa	
  um	
  grá2ico	
  tomando	
  os	
  valores	
  da	
  Tabela	
  2	
  e	
  3.	
  Responda	
   as	
   seguintes	
   questões	
   usando	
   o	
   grá2ico	
  preparado	
  com	
  dados	
  da	
  Tabela	
  2:	
  
• Qual	
   é	
   a	
   aceleração	
  média	
   da	
   partícula	
   entre	
   os	
  instantes	
  100	
  	
  x	
  10-­‐3	
  s	
  	
  e	
  200	
  x	
  10-­‐3	
  s?	
  
• Escreva	
   a	
   velocidade	
   como	
   função	
   do	
   tempo.	
   E	
  obtenha	
  a	
  velocidade	
  no	
  tempo	
  t	
  =	
  0	
  s.	
  
• Podemos	
   obter	
   informação	
   sobre	
   deslocamento	
  dessa	
  partícula?	
  
• Qual	
   é	
   o	
   deslocamento	
   da	
   partícula	
   	
   entre	
  instante	
  100	
  	
  x	
  10-­‐3	
  s	
  	
  e	
  200	
  x	
  10-­‐3	
  s?	
  
• Qual	
   é	
   o	
   módulo	
   da	
   força	
   que	
   age	
   sobre	
   a	
  partícula	
  se	
  a	
  massa	
  dele	
  é	
  0,2	
  kg?	
  Responda	
   as	
   seguinte	
   questões	
   usando	
   o	
   grá2ico	
  preparado	
  com	
  dados	
  da	
  Tabela	
  3:	
  
• Qual	
   é	
   a	
   velocidade	
   média	
   da	
   partícula	
   entre	
  instante	
  2,0	
  e	
  6,0	
  s?	
  
• A	
  aceleração	
  dessa	
  partícula	
  varia	
  com	
  tempo	
  ou	
  permanece	
  constante?	
  
IV	
  GRÁFICOS	
  COM	
  EIXOS	
  LOGARÍMICOS	
  	
  As	
   vezes	
   é	
   conveniente	
   usar	
   os	
   grá2icos	
   com	
   eixos	
  logarítmicos.	
  Por	
  exemplo,	
  um	
  resistor	
  não	
  linear	
  não	
  obedece	
  a	
   lei	
  de	
  ohm,	
  e	
  o	
  relação	
  entre	
  a	
   tensão	
  e	
  o	
  corrente,	
  neste	
  caso,	
  pode	
  ser	
  descrito	
  como	
  
V = AIαonde	
  A	
  e	
  α	
  são	
  constantes	
  características	
  de	
  um	
  dado	
  material.	
  Essas	
  constantes	
  podem	
  ser	
  obtidas	
  a	
  partir	
  do	
  grá2ico	
  log	
  V	
  versus	
  log	
  I.	
  Veja:	
  	
  	
  
V = AIα ⇒	
  log	
  V	
  =	
  log	
  A	
  +	
  α	
  log	
  I	
  	
  	
  Neste	
  caso,	
  fazendo	
  y	
  =	
  log	
  V,	
  x	
  =	
  log	
  I,	
  dá	
  uma	
  reta	
  no	
  grá2ico	
   de	
   y	
   versus	
   x.	
   Assim,	
   podemos	
   obter	
   os	
  valores	
   de	
   A	
   e	
   α	
   através	
   dos	
   coe2icientes	
   linear	
   e	
  angular	
   deste	
   grá2ico.	
   Para	
   preparar	
   este	
   tipo	
   de	
  grá2ico	
   é	
   conveniente	
   usar	
   um	
   papel	
   logarítmico.	
  Existem	
   dois	
   tipos	
   de	
   papéis	
   logarítmicos:	
   papel	
  mono	
   log,	
   e	
   papel	
   log-­‐log	
   ou	
   di	
   log.	
   No	
   papel	
  mono	
  log,	
  um	
  dos	
  eixos	
  é	
  uma	
  escala	
  logarítmica	
  e	
  o	
  outro	
  é	
  uma	
  escala	
  linear.	
  No	
  caso	
  de	
  papel	
  log-­‐log	
  ambos	
  os	
  eixos	
  são	
  escalas	
  logarítmicas.	
  Como	
  podem	
  observar,	
  no	
  exemplo	
  citado	
  acima	
  de	
  um	
  resistor	
  não	
  linear,	
   	
  é	
  mais	
  conveniente	
  usar	
  papel	
  di	
  log.	
  O	
  papel	
  mono	
  log	
  é	
  mais	
  conveniente	
  para	
  apresentar	
  funções	
  de	
  forma	
  	
  y = a e-bx. Um	
  exemplo	
  desse	
  tipo	
  de	
  funções	
  é	
  a	
  lei	
  de	
  decaimento	
  radioativo	
  	
  
N(t) = N0 e-λt onde	
  N0	
  é	
  o	
  número	
  de	
  núcleos	
  radioativos	
  em	
  t	
  =	
  0,	
  
N(t)	
  é	
  o	
  número	
  de	
  núcleos	
  radioativos	
  no	
  tempo	
  t	
  e	
  λ	
  é	
   umaquantidade	
   conhecida	
   como	
   a	
   constante	
   de	
  decaimento.	
  	
  Neste	
  caso,	
  	
  podemos	
  escrever	
  	
  	
  	
  	
  N(t)	
  =	
  N0	
  e-­‐λt	
  	
  ⇒ log	
  (N/N0)	
  =	
  -­‐λt,	
  	
  
� 	
  de	
  �3 4 Roteiro	
  2	
  -­‐	
  Construção	
  de	
  grá2icos
Tabela 3: Valores de posição em 
função do tempo obtidos em um 
experimento. 
x (m) σ (m) t (s) σsist (s)
11,2 0,4 2,0 0,2
13,0 0,6 3,2 0,2
18,2 0,4 4,5 0,2
21,6 1,0 5,3 0,2
26,0 0,6 6,0 0,2
Neste	
  caso	
  um	
  grá2ico	
  de N/N0 em	
  relação	
  a	
  t	
  é	
  uma	
  reta	
  cuja	
  inclinação	
  é	
  -λ.
Actividade a fazer: Usando a Tabela 4, preparem um 
gráfico no papel di-log.
VII	
  	
  BIBLIOGRAFIA	
  	
  
1. Texto	
   adaptado	
   da	
   Apostila	
   “Construção	
   de	
  grá2icos	
   em	
   papel	
   milimetrado	
   propagação	
   de	
  erros".	
  Roteiro	
  para	
  as	
  práticas	
  de	
  Física	
  Teórica	
  e	
  Experimental	
   I	
   da	
   Universidade	
   Estadual	
   do	
   Rio	
  de	
  Janeiro	
  (FAT-­‐UERJ).	
  
2. Texto	
   adaptado	
   da	
   Apostila	
   “Resistores	
   não-­‐lineares“.	
   Roteiro	
   para	
   as	
   práticas	
   de	
   Física	
  Teórica	
   e	
   Experimental	
   III	
   da	
   Universidade	
  Estadual	
  do	
  Rio	
  de	
  Janeiro	
  (FAT-­‐UERJ).	
  
3. Fundamentos	
  de	
  Física,	
  Halliday,	
  Resnick,	
  Walker.	
  


� 	
  de	
  �4 4 Roteiro	
  2	
  -­‐	
  Construção	
  de	
  grá2icos
Tabela 4: Medidas de voltagem 
em função da corrente.
V (volt) I (A)
1,0 0,50
2,0 2,00
3,0 4,50
4,0 8,00
5,0 12,5
6,0 18,0
7,0 24,5
8,0 32,0