ep14 met det II 2017.1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2017
Gabarito EP16
Questa˜o 1: Em cada um dos casos abaixo use a integral para obter a a´rea da regia˜o:
a) A a´rea determinada pelo triaˆngulo limitado pela reta y = 4− 3x e pelos eixos coordenados.
b) O triaˆngulo determinado pelos ve´rtices (−4, 0), (2, 0) e (2, 6).
c) Regia˜o delimitada pela curva y = −x2 − 6x− 5 e o eixo do x.
d) Regia˜o limitada pelas curvas y = x2, y = 1− x2 entre x = −2 e x = 1.
e) Regia˜o limitada pelas curvas y = ex e as retas y = 1 e x = 1.
Soluc¸o˜es: a) Esta a´rea pode ser obtida por usando geometria elementar, mas faremos por integrac¸a˜o,
certifique-se fazendo usando a fo´rmula para calcular a a´rea de triaˆngulos.
Fazendo 4− 3x = y = 0⇒ x = 43 , nos da´ o ponto em que a reta cruza o eixo do x. Claramente a
reta deve cruzar o eixo dos y em x = 0, ale´m do mais pelo coeficiente de angular da reta ser −3 segue
que a reta cruza o eixo y em um valor positivo. Portanto, basta∫ 4
3
0
4− 3x dx =
[
4x− 3x
2
2
] 4
3
0
=
8
3
.
b) Fac¸a um esboc¸o do triaˆngulo sugerido. Veja que basta a calcularmos a equac¸a˜o da reta que passa
em (−4, 0) e (2, 6) e integrar de −4 ate´ 2. Vamos calcular a equac¸a˜o da reta para isto precisamos
encontrar o coeficiente angular, Calculando enta˜o temos
m =
6− 0
2− (−4) =
6
6
= 1 e a equac¸a˜o da reta fica y = y − 0 = 1(x− (−4)) = x+ 4.
e integrando obtemos ∫ 2
−4
x+ 4 dx =
[
x2
2
+ 4x
]2
−4
= 18.
c) Inicialmente veja que y = −x2− 6x− 5 = −(x+1)(x+5), isto e´, o gra´fico de y = −x2− 6x− 5 esta´
abaixo do eixo do x, no intervalo de −5 ≤ x ≤ −1 e como queremos obter a a´rea, basta calcularmos,
menos a integral, enta˜o
−
∫ −1
−5
(−x2 − 6x− 5) dx = ∫ −1
−5
x2 + 6x+ 5 dx =
[
x3
3
+ 3x2 + 5x
]−1
−5
=
32
3
.
d) igualando temos x2 = 1 − x2 ⇒ x = ± 1√
2
= ±0, 707. Queremos calcular a a´rea entre −2 ≤ x ≤ 1
e portanto, precisamos dividir a integral em 3 partes, por observar quando y = x2 esta acima de
y = 1− x2. Veja o gra´fico abaixo, e portanto, a a´rea procurada e´ dada por
1
Figure 1: Regia˜o entre os gra´ficos de y = x2 e y = 1− x2(∫ −b
−2
x2 dx−
∫ −b
−1
1− x2 dx
)
+
(∫ b
−b
1− x2 dx−
∫ b
−b
x2 dx
)
+
(∫ 1
b
x2 dx−
∫ 1
b
1− x2 dx
)
=
(∫ −b
−2
−1 + 2x2 dx
)
+
(∫ b
−b
1− 2x2 dx
)
+
(∫ 1
b
−1 + 2x2 dx
)
=
[
−x+ 2x
3
3
]−b
−2
+
[
x− 2x
3
3
]b
−b
+
[
−x+ 2x
3
3
]1
b
=
(
10
3
+
√
2
3
)
+
(
2
√
2
3
)
+
(
−1
3
+
√
2
3
)
= 3 +
4
√
2
3
.
onde b = 1√
2
.
e) E´ fa´cil de perceber que ex e´ maior que a reta y = 1 para todo 0 ≤ x ≤ 1. Enta˜o a a´rea sera´ dada
por ∫ 1
0
ex dx−
∫ 1
0
x dx =
∫ 1
0
ex − x dx =
[
ex − x
2
2
]1
0
= e− 1− 1 ≈ 0, 7182...
Questa˜o 2: Quanto uma ma´quina que tem x anos de uso, gera uma receita de R(x) = 6025− 10x2
de milhares de reais por ano e custo de C(x) = 4000 + 15x2 milhares de reais por ano.
(a) Durante quantos anos o uso da ma´quina e´ lucrativa?
(b) Qual a receita liquida total gerada pela ma´quina durante o per´ıodo de tempo do item (a)?
Soluc¸o˜es: a) A ma´quina sera´ lucrativa sempre que R(x) ≥ C(x), igualando obtemos, 6025− 10x2 =
4000 + 15x2 ⇔ 25x2 − 2025 = 0⇔ x = ±9. Como x indica tempo, x deve ser positivo, enta˜o a u´nica
2
soluc¸a˜o e´ x = 9. Observe ainda que R(x) e´ uma equac¸a˜o de para´bola com a boca voltada para baixo
e, portanto no intervalo 0 ≤ x ≤ 9, e´ claro que R(x) ≥ C(x).
b) A receita l´ıquida em um determinado tempo e´ dado por fazer Rl(x) = R(x) − C(x), enta˜o se
queremos a receita total basta calcularmos∫ t
0
Rl(x) dx = 2025t− 25t
3
3
.
com 0 < t ≤ 9.
Questa˜o 3: Calcule a a´rea limitada pelas curvas y = x2 + 1, y = 2x− 2 entre x = −1 e x = 2.
Soluc¸o˜es: Se calcularmos os pontos onde a para´bola e a reta se interceptam, basta fazermos
x2 + 1 = 2x − 2 ⇔ x2 − 2x + 3 = 0, mas esta equac¸a˜o tem discriminante negativo. E portanto estas
duas curvas na˜o se interceptam. Fac¸a o gra´fico e veja que
Figure 2: Regia˜o entre os gra´ficos de y = x2 + 1 e y = 2x− 2
Enta˜o para calcularmos a a´rea pedida temos que fazer
A =
∫ 2
−1
x2 + 1 dx−
(∫ 2
−1
2x− 2 dx
)
=
∫ 2
−1
(
x2 − 2x+ 3) dx = [x3
3
− x2 + 3x
]2
−1
= 9.
Questa˜o 4: Voceˆ possui uma quantia de dinheiro para aplicar em um plano de investido escolhido
entre dois planos concorrentes. Apo´s x anos, o primeiro plano produzira´ uma renda de R1(x) = 50+3x
3
milhares de Reais por ano, enquanto que o segundo produzira´ a renda constante de R2(x) = 200
milhares de reais por ano.
(a) Se utilizar o segundo plano, que renda voceˆ recebera´ a mais do que se utilizasse o primeiro, apo´s
5 anos?
(b) Interprete a sua resposta no item (a) como a´rea entre curvas.
3
Soluc¸o˜es: a) A renda total e´ um acumulado das rendas de todos os anos. queremos saber qual a
renda acumulada apo´s 5 anos, para cada uma das rendas, isto e´,∫ 5
0
R1(x) dx =
∫ 5
0
50 + 3x3 dx =
[
50x+
3x4
4
]5
0
=
2875
4
= R$ 718, 75.
e para a renda R2(x) temos∫ 5
0
R2(x) dx =
∫ 5
0
200 dx = [200]50 = R$ 1000, 00.
E, portanto, a taxa R2(x) rendera´ a mais da taxa R1(x) a diferenc¸a entre 1000, 00−718, 75 = R$281, 25
milhares de reais.
b) Podemos interpretar a diferenc¸a entre as rendas como a diferenc¸a entre a a´rea sobre a curva
constante R2(x) e a curva R1(x) e, portanto,
Diferenc¸a de entre as rendas =
∫ 5
0
R2(x) dx−
∫ 5
0
R1(x) dx =
∫ 5
0
R2(x)−R1(x) dx
=
∫ 5
0
200− 50− 3x3 dx =
∫ 5
0
150− 3x3 dx = 281, 18.
Questa˜o 5: Apo´s x horas de trabalho, um opera´rio produz Q1(x) = 60− 2(x− 1)2 unidades a hora,
enquanto outro produz Q2(x) = 50− 5x unidades por hora.
(a) Se ambos chegam a fa´brica a`s 8 horas da manha˜, quantas unidades o primeiro opera´rio tera´
produzido a mais que o segundo, ao meio dia?
(b) Interprete a sua resposta no item (a) como a´rea entre duas curvas.
Soluc¸o˜es: a) A quantidade produzida em uma manha˜ de servic¸o e´ o acumulado, portanto,∫ 4
0
Q1(x) dx =
∫ 4
0
(
60− 2(x− 1)2) dx = [−2x3
3
+ 2x2 + 58x
]4
0
=
664
3
= 221, 33.
e para o segundo opera´rio temos∫ 4
0
Q2(x) dx =
∫ 4
0
50− 5x dx =
[
50x− 5x
2
2
]4
0
= 160.
Portanto, o segundo empregado produzira´ muito menos unidades na manha˜.
b) Podemos considerar a diferenc¸a entre a produc¸a˜o do primeiro empregado com a produc¸a˜o do
segundo empregado por ser a a´rea abaixo da curva Q2(x) menos a a´rea abaixo da curva Q1(x), em
termos de integral temos:
unidades produzidas a mais pelo primeiro empregado =
∫ 4
0
Q1(x) dx−
∫ 4
0
Q2(x) dx
=
∫ 4
0
[Q1(x)−Q2(x)] dx =
∫ 4
0
[
8 + 9x− 2x2] dx
=
[
−2x
3
3
+
9x2
2
+ 8x
]4
0
=
184
3
.
4
Questa˜o 6: Calcule, se existir, a integral
a)
∫ 2
1 8x
3 + 3x2 dx b)
∫ 1
0 (1− x)9 dx
c)
∫ 4
1
x2−x+1√
x
dx d)
∫ 8
1
3
√
x(x− 1) dx.
Soluc¸a˜o: a)
∫ 2
1 8x
3 + 3x2 dx =
[
2x4 + x3
]2
1
= 37.
b) Queremos obter a seguinte integral
∫ 1
0 (1− x)9 dx, se chamarmos u = 1− x⇒ du = −dx e quando
x = 0⇒ u = 1 e quando x = 1⇒ u = 0 e, portanto,∫ 1
0
(1− x)9 dx = −
∫ 0
1
u9 du =
[
−u
10
10
]0
1
=
1
10
.
c) Veja que
∫ 4
1
x2−x+1√
x
dx e´ equivalente a
∫ 4
1
x2 − x+ 1
x1/2
dx =
∫ 4
1
x2−1/2 − x1−1/2 + x−1/2 dx =
[
2
15
√
x
(
3x2 − 5x+ 15)]4
1
=
146
15
.
d) Vamos calcular
∫ 8
1
3
√
x(x− 1) dx que e´ equivalente a,∫ 8
1
x1/3(x− 1) dx =
∫ 8
1
(x4/3 − x1/3) dx =
[
3
28
x4/3(4x−7)
]8
1
=
1209
28
.
Questa˜o 7: Calcule a a´rea da regia˜o que esta´ a` direita do eixo y e a` esquerda da para´bola x = 2y−y2.
Soluc¸a˜o: Como se pode ver na figura abaixo, a regia˜o que pretendemos encontrar a a´rea possui
algumas dificuldades na hora de procurarmos escrever y(x) para usarmos exatamente as mesmas
forma de integrac¸a˜o que vinhamos fazendo. Ocorre que a escolha da variavel na qual integramos e´
uma escolha arbitraria, e portanto, ao inve´s de integrarmos em x vamos integrar em y. Inicialmente
veja que x = 2y − y2 = y(2− y) da´ı, precisamos integrar em y com ele variando de 0 ate´ 2, isto e´,
A´rea =
∫ 2
0
2y − y2 dy =
[
y2 − y
3
3
]2
0
=
4
3
.
5
Questa˜o 8: Um objeto se move de tal forma que, apo´s tminutos, sua velocidade e´ de v(t) = 1+4t+3t2
metros por minutos. Qual a diferenc¸a percorrida pelo objeto durante o terceiro minuto?
Soluc¸a˜o: Sabemos a velocidade do objeto e queremos determinar a distaˆncia percorrida durante
o 3a minuto. Seja x(t) a func¸a˜o distaˆncia percorrida, enta˜o x′(t) = v(t), e precisamos determinar o
x(4)− x(3), enta˜o basta calcularmos∫ 4
3
x′(t) dt =
∫ 4
3
1 + 4t+ 3t2 dt =
[
t3 + 2t2 + t
]4
3
= 52 metros.
Questa˜o 9: Um comerciante estima que, daqui x meses, os consumidores comprara˜o f(x) = 5000+
60
√
x unidades por meˆs, ao prec¸o de P (x) = 80 +
√
x reais por unidade. Qual sera´ a receita total do
comerciante com a venda do produto nos pro´ximos 16 meses?
Soluc¸a˜o: Como
Receita(x) = (Prec¸o(x)) · (Quantidade Vendida(x)) .
que nos da´ a receita em um meˆs x. Como queremos a receita total nos 16 primeiros meses, precisamos
calcular
∫ 16
0 Receita(x) dx enta˜o∫ 16
0
Receita(x) dx =
∫ 16
0
(80 +
√
x)(5000 + 60
√
x) dx =
∫ 16
0
60x+ 9800
√
x+ 400000 dx
=
[
20
(
3x2
2
+
980x3/2
3
+ 20000x
)]16
0
=
20 477 440
3
= 6 825 810.
Questa˜o 10: O dono de um restaurante recebeu 12000 refrigerantes, que sera˜o usados a uma taxa
constante de 300 por semana. Se o custo de refrigerac¸a˜o e´ de R$0, 002 por garrafa por semana, quanto
o dono do restaurante gastara´ em refrigerac¸a˜o nas pro´ximas 40 semanas?
Soluc¸a˜o: O custo de para a refrigerac¸a˜o dos refrigerantes por semana e´ dado por c(t) = 0, 002(12000−
300t) = 24− 0, 6t. Como queremos saber o custo total nas 40 primeiras semanas, temos que calcular∫ 40
0
24− 0, 6t dt = [24t− 0, 3t2]40
0
= R$ 480, 00.
6
7