calculo 1 a 5

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CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 6 – Revisão AV1
REVISÃO AV1
CÁLCULO NUMÉRICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
▪ Revisão dos principais conceitos e 
expressões a partir da resolução de 
exercícios.
REVISÃO AV1
CÁLCULO NUMÉRICO
EXERCÍCIO 1
Considerando o método do ponto fixo, indique funções de
iteração F (x) para resolução da equação x2 - 5x - 3 = 0
SOLUÇÃO:
Devemos ter que x = F (x);
x2 - 5x - 3 = 0  5x = x2 -3  x = (x2 -3)/5
x2 - 5x - 3 = 0  x2 = 5x + 3  x = 5/x + 3/x2
x2 - 5x - 3 = 0  x2 - 5x = 3  x.(x-5) = 3  x = 3/(x-5)
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EXERCÍCIO 2
Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que
existe uma raiz real no intervalo:
a)(-2,0; -1,5) b)(-1,5; - 1,0) c) (-1,0; 0,0) d)(0,0; 1,0)
SOLUÇÃO: TEOREMA DE BOLZANO
f(-2)= -9
f(-1,5) = -2,625
f(-1) = 1
f(0) = 3
f(1) = 3
f(-2)*f(-1,5) = 23,625 > 0
f(-1,5)*f(-1) = -2,625 < 0
f(-1)*f(0) = 3 > 0
f(0)*f(1) = 9 > 0
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EXERCÍCIO 3
Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Utilize o método da
bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta
equação.
SOLUÇÃO:
f(0) = 1 e f(1) = -1. Como f(0)*f(1) < 0, existe 1 raiz real (0,1).
Primeira iteração: xm= (0+1)/2 = 0,5
f(0,5) = 0,125. Como f(0,5)*f(1) < 0, novo intervalo (0,5;1)
Segunda iteração: xm= (0,5+1)/2 = 0,75
f(0,75)= -0.547. Como f(0,5)*f(0,75) < 0, novo intervalo
(0,5;0,75). Assim, xm= (0,5+0,75)/2 = 0,625
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EXERCÍCIO 4
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando
o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o
ponto inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1)
assume o valor:
a) 3,2 b) 2,4 c) 1,6 d) 0,8 e) 0
SOLUÇÃO:
Função derivada: f’(x) = 3.x2 -8
Fórmula de recorrência:
k=1
)´(
)(
1
1
1


 
k
k
kk
xf
xf
xx
2,3
40
32
4
)´(
)(
0
0
01 
xf
xf
xx
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EXERCÍCIO 5
Determine a raiz real positiva da função f(x) = x3 - 8x, com
precisão de 0,01 empregando o Método de Newton Raphson.
SOLUÇÃO:
Função derivada: f’(x) = 3.x2 -8
Fórmula de recorrência:
Valor inicial xo = 4
k=1:
f(4) = 43 – 8.4 = 32
f´(4) = 3.42 -8 = 40
4 – 3,2 = 0,8 > 0,01
)´(
)(
1
1
1


 
k
k
kk
xf
xf
xx
2,3
40
32
4
)´(
)(
0
0
01 
xf
xf
xx
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EXERCÍCIO 5 - CONTINUAÇÃO
k=2: x1 = 3,2
f(3,2) = 3,23 – 8.3,2 = 7,168
f´(3,2) = 3.(3,2)2 -8 = 22,72
3,2 – 2,885 = 0,315 > 0,01
k=3: x2 = 2,885
f(2,885) = (2,885)3 – 8.(2,885) = 0,9325
f´(2,855) = 3.(2,885)2 -8 = 16,9697
2,885-2,83= 0,055 > 0,01
885,2
72,22
168,7
2,3
)´(
)(
1
1
12 
xf
xf
xx
83,2
9697,16
9325,0
885,2
)´(
)(
2
2
23 
xf
xf
xx
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EXERCÍCIO 5 - CONTINUAÇÃO
k=4: x3 = 2,83
f(2,83) = (2,83)3 – 8.(2,83) = 0,02519
f´(2,83) = 3.(2,83)2 -8 = 16,0267
2,83-2,829= 0,001 < 0,01
RAIZ APROXIMADA: 2,829
829,2
0267,16
02519,0
83,2
)´(
)(
3
3
34 
xf
xf
xx
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CÁLCULO NUMÉRICO
RESUMINDO
Nesta aula vocês revisaram os
principais conceitos e expressões de
cálculo numérico, a partir da resolução
de exercícios.
▪ LEMBRETE: AV1 – MATÉRIA TODA