Lista de Exercícios 5

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral
Curso: Química
Professor: Thiago Ferraiol
Lista de Exercícios - Aplicações da integral e EDOs
1. Calcule o volume dos sólidos obtidos a partir da rotação em torno do eixo x das regiões descritas
abaixo:
a) R = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ x}.
b) R = {(x, y) | 1
2
≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1
x2
}.
c) R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, √x ≤ y ≤ 3}.
d) R = {(x, y) | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0}.
2. Calcule o volume dos sólidos obtidos a partir da rotação em torno do eixo y das regiões descritas
abaixo:
a) R = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ lnx}.
b) R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 3√x}.
c) R = {(x, y) | √x ≤ y ≤ −x+ 6, x ≥ 0}.
d) R = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x2 + 1}.
3. Calcule o volume do sólido cuja base é a região 4x2 + y2 ≤ 1 e cujas seções perpendiculares ao
eixo x são semicírculos.
4. Supondo que a região é homogênea, determine seu o centro de massa.
a) A = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x3}
b) B = {(x, y) | x2 + 4y2 ≤ 1, y ≥ 0}
5. Determine o centro de massa do gráfico da função f(x) = x2 com −1/2 ≤ x ≤ 1/2.
6. Verifique em cada caso que a função dada é solução da equação diferencial dada
a) x(t) = tg t,
dx
dt
= 1 + x2.
b) y(x) = e
x2
2 ,
dy
dx
= xy.
1
7. Encontre as soluções da equação diferencial dada
a)
dx
dt
= xt b)
dx
dt
= x2 + 1
c)
dy
dx
=
1 + y2
x
d)
dy
dx
= cos2 y, −pi
2
< y <
pi
2
e)
dx
dt
= t(1 + x2)
dx
dt
= 4− t2
8. Encontre as soluções da equação diferencial dada
a)
dx
dt
= −x+ 2 b) dx
dt
=
x
t
+ t
c)
dx
dx
= x+ sen t d)
dT
dt
= −2(T − 3)
e)
dx
dt
= y lnx f) R
dQ
dt
+
Q
C
= E, onde E, R e C são constantes não nulas.
9. Pode-se medir datas de determinadas substâncias utilizando a lei do decaimento exponencial
para alguns isótopos radioativos (por exemplo o Carbono-14, presente em seres vivos). Essa lei
diz que a taxa de decaimento de determinado isótopo num intante t é proporcional à quantidade
desse isótopo no instante t. Utilizando essa idéia, encontre a idade de um fóssil que tem apenas
45% da quantidade original de Carbono-14. (a meia-vida do carbono-14 é de 5600 anos).
10. Numa certa cultura de bactérias, a taxa de aumento da população é proporcional ao número
presente. Verificando-se que a população dobra a cada 2 horas, quantas bactérias pode-se
esperar ao final de 6 horas?
11. Um corpo de massa 10kg é abandonado a uma certa altura. Sabe-se que as únicas forças atuando
sobre ele são o seu peso e uma força de resitência proporcional à velocidade. Admitindo-se que
1 segundo após ter sido abandonado a sua velocidade é de 8m/s, determine a sua velocidade
num instante t. (Suponha que a aceleração da gravidade é 10m/s2)
12. Suponha que em um determinado tanque existam 100 litros de água salgada com 70kg de
sal. Despeja-se água pura no tanque a uma taxa de 3litros/minuto e a solução é misturada
instantâneamente, mantendo-se uniforme, e escoando na mesma taxa. Qual a quantidade de
sal no tanque após uma hora?
13. Suponha que um tanque tenha 200 litros de água com 3kg de sal por litro. Deseja-se dissolver
essa solução acrescentando uma solução de água contendo 1kg de sal por litro a uma taxa de 4
litros/minuto e fazendo a solução misturada escoar na mesma taxa. Determine o instante em
que o tanque terá uma solução de água com 1,5kg de sal por litro.
14. De acordo com a lei de resfriamento de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância em
ambiente aberto é proporcional à diferença de temperatura entre a substância e o ambiente.
Suponha que num ambiente à 20oC uma substância passou de 110oC para 80oC em 20 minutos.
Determinte a temperatura da substância depois de 55 minutos.
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