lista transf linear

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A´lgebra Linear - Lista 2.
1) Verificar se as aplicac¸o˜es sa˜o lineares:
a) F : R3 → R2 definida por F (x, y, z) = (z, x + y);
b) G : R→ R2 definida por G(x) = (x, 2);
c) H : R3 → R3 definida por H(x, y, z) = (x, x, x).
2) Sabendo que F : R2 → R2 e´ um operador linear e que
F (1, 2) = (3,−1) e F (0, 1) = (1, 2),
achar F (x, y), onde (x, y) e´ um vetor gene´rico do R2.
3) Seja F : R3 → R2 a transformac¸a˜o linear dada por F (x, y, z) = (x+ y, 2x−
y + z).
a) Dar uma base e a dimensa˜o do Ker(F );
b) Dar uma base e dimensa˜o de Im(F ).
4) Determinar uma aplicac¸a˜o linear F : R3 → R4 tal que Im(F ) = [(1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1)].
5) Mostrar que o operador linear F do R3 dado por F (x, y, z) = (x+z, x−z, y)
e´ um automorfismo. Determinar F−1.
6) Sejam F,G ∈ L(R3) assim definidas:
F (x, y, z) = (x + y, z + y, z) e G(x, y, z) = (x + 2y, y − z, x + 2z).
Determinar: FoG, GoF, F + G, Ker(FoG).
7) Seja F ∈ L(R3,R2) definida por F (x, y, z) = (x + z, y − 2z). Determinar
(F )B,C sendo B = {(1, 2, 1), (0, 1, 1), (0, 3,−1)} e C = {(1, 5), (2,−1)}.
8) Determinar a matriz da transformac¸a˜o linear em relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas
dos respectivos espac¸os:
a) F ∈ L(R2,R3) definida por F (x, y) = (x + y, x, x− y);
b) F ∈ L(R,R3) definida por F (x) = (x, 2x, 3x).
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9)Determinar a transformac¸a˜o linear F do R2 cuja matriz em relac¸a˜o a` base
B = {(1, 1), (1, 2)} e´
 1 0
1 2
 .
10) Seja F : R3 → R3 a transformac¸a˜o linear cuja matriz na base B =
{(1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, 1, 0)} e´

0 1 0
1 0 1
0 0 1
 . Calcule a matriz de F na base
canoˆnica do R3.