Lista1-2021

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Disciplina: Álgebra Linear 2
Professora: Rosangela Teixeira Guedes
Lista 1-Lista de Exerćıcios
1. Verificar se as seguintes aplicações são transformações lineares:
a) T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (x, 2x− z).
b) T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x2 + y2, x).
c) T : C→M2 definida por T (x+ iy) =
(
x+ 7y 5y
−10y x− 7y
)
.
e) T : R→ R, T (x, y) = |x|
f) P2(R)→ P1(R) definida por T (a2x2 + a1x+ a0) = (a0 + a2)x+ a1.
g) T : P1 → R3, T(ax+b)=(a,2a,a-b).
h) T : M(2, 2)→ R2, T
([
a b
c d
])
= (a− b, a+ b)
2. Sejam U e V espaços vetoriais sobre K e T : U → V uma trasformação linear. Então
T
(
m∑
i=1
αiui
)
=
m∑
i=1
αiT (ui), onde αi ∈ K e ui ∈ U para i = 1, 2, ...,m.
Sugestão: Faz-se por indução matemática sobre m.
3. Dada a transformação linear T : U → V , tal que T (u) = 3u e T (v) = u− v, calcular:
a) T (u+ v) b) T(4u-5v)
4. Seja U = R2. Fazer um gráfico de um vetor genérico v = (x, y) do domı́nio e de sua imagem
T (v) sob a transformação linear T : R2 → R2 dada por:
a) T (x, y) = (2x, 0) b) T (x, y) = (3x,−2y) c) T (x, y) = (x,−y)
5. Sabendo que T : R2 → R2 é um operador linear e que T (1, 2) = (3,−1) e T (0, 1) = (1, 2).
Determine T (x, y). Resposta: T (x, y) = (x+ y,−5x+ 2y)
6. Determinar a trasformação linear T : R3 → R2 tal que T (1,−1, 0) = (1, 1), T (0, 1, 1) = (2, 2)
e T (0, 0, 1) = (3, 3). Resposta: T(x,y,z)=(-y+3z,-y+3z)
7. Seja o operador linear no R3 tal que T (1, 0, 0) = (0, 2, 0), T (0, 1, 0) = (0, 0,−2) e
T (0, 0, 1) = (−1, 0, 3). Determinar T (x, y, z) e o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = (5, 4,−9).
8. Determinar a transformação linear T : P2(R) → P2(R) tal que T (1) = x, T (x) = 1 − x2 e
T (x2) = x+ 2x2.
9. Seja T : R3 7→ R2 uma transformação linear e B = {u1, u2, u3} uma base do R3, sendo
u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1) e u3 = (1, 1, 0). Determinar T (5, 3,−2), sabendo que
T (u1) = (1,−2), T (u2) = (1, 0, 1) e T (u3) = (0, 2).
10. Sejam U e V espaços vetoriais sobre K, se T, G ∈ L(U, V ) mostre que:
a) T+S ∈ L(U, V )
b) αT ∈ L(U, V )
11. Sejam F ∈ L(U, V ), G ∈ L(V,W ), mostre que G ◦ F ∈ L(U,W ).
12. Consideremos as transformações lineares S e T de R3 em R2 definidas por
S(x, y, z) = (2x− y, 3x− 2y + z) e T (x, y, z) = (x+ y − z, y − 2z). Calcule S+T.
13. Considere os operadores lineares F e G do R2 definidos por F (x, y) = (x, x− y) e
G(x, y) = (x+ y, 2x), calcule F ◦G.
14. Considere as transformações lineares F : R2 → R3 e G : R3 → R dadas por
F (x, y) = (x− y, 2x+ y, y) e G(x, y, z) = x+ y + z, determine G ◦ F .
15. Determinar se os seguintes operadores lineares do R3 são idempotentes ou nilpotentes ou
nenhum dos dois:
a) T(x,y,z)=(-x,-y,-z); b) T(x,y,z)=(z,x,y);
c) T(x,y,z)=(x,0,z);
d) T(x,y,z)=(0,0,x)
16. Consideremos o R2 com produto interno usual. A rotação do plano de um ângulo θ dada por
T (x, y) = (x cos(θ)−ysen(θ), xsen(θ)+y cos(θ)). Mostre que o operador linear T é ortogonal.
17. Consideremos o R3 com produto interno usual e o operador linear T : R3 → R3 dado por
T (x, y, z) = (−y, x,−z). Mostre que o operador T é ortogonal.
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