Avaliando o Aprendizado 4 Fundamentos de Álgebra

Prévia do material em texto

FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
Simulado: CEL0649_SM_201402507968 V.1 
Aluno(a): MIRIA DE ANDRADE FRANCISCO BERTOLINO 
Desempenho: 0,3 de 0,5 Data: 03/06/2017 20:05:29 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201403296246) Pontos: 0,1 / 0,1 
A definição de divisores de uma anel diz que: Seja A um anel com as operações usuais de adição e 
multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e 
 y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição marque a 
alternativa correta. 
 
 
3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15. 
 
2 e 4 não são divisores de zero em Z8. 
 
O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
 2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6 
 
o anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403296220) Pontos: 0,0 / 0,1 
De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares não é um 
subanel de Z. Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma justificativa para essa 
proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente a justificativa desenvolvida pelo 
Carlos. 
 
 Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares 
não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S e ∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) + 1 que é um número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares 
não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n / n∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S e ∀m,n∈S, temos x = 2n e y = 2m 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - (2m ) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares 
não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈ℤ} veja que: 
 ∀x,y∈S e ∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares 
não é um subanel de Z. 
 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S e ∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - 1 + (2m - 2) = 2n - 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares 
não é um subanel de Z. 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403296261) Pontos: 0,1 / 0,1 
Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. 
 
 O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈Z} 
 Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.). 
 
 
O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z. 
 O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6. 
 
 
(Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.). 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403280424) Pontos: 0,1 / 0,1 
Considere as seguintes afirmações: 
 (I) 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6. 
(II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
(III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, 
 se o mdc(x,m) = 1. 
(IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
Podemos afirmar que: 
 
 Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
 Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
 Somente a afirmativa II é verdadeira. 
 Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403280428) Pontos: 0,0 / 0,1 
Se B e C são subanéis de A, indique a opção que melhor representa a prova que a intersecção de B e 
C é subanel de A. 
 
 Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B 
logo x+y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y 
pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y pertencem a intersecção B e C e assim 
podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel . 
 Sejam x e y pertencentes ao subanel B e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y 
pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem 
a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos 
concluir que a intersecção entre B e C é Subanel . 
 Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B 
logo x.y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x.y pertence a 
C (Subanel por hipótese) , logo x.y pertence a intersecção B e C e assim podemos concluir 
que a intersecção entre B não é C é Subanel . 
 Sejam x e y pertencentes aos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo e x.y 
pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x.y pertence a C 
(Subanel por hipótese) , logo x.y pertence a intersecção B e C e assim podemos concluir que a 
intersecção entre B e C é Subanel . 
 Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B 
logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e 
x.y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e 
assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .