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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 4 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 Uma função polinomial do 1º grau também recebe as denominações de função afim e de função linear. Identifica-se 
este tipo de função quando uma função f: A → B puder ser escrita na forma f ( x ) = ax + b ou y = ax + b, com a ≠ 0. 
 Devemos perceber, também, que a variável “x” está elevada à 1ª potência, ou seja, é de grau 1, ou do 1º grau. 
 
Exemplo 
 As funções 
• f ( x ) = 3 x + 12 , onde a = 3 e b = 12; • y = 2x + 3, em que a = 2 e b = 3; 
• f ( x ) = – 5 x + 1, onde a = – 5 e b = 1; • y = – x + 5, em que a = –1 e b = 5; 
• y = – 5x – 6, em que a = – 5 e b = – 6; • y = 4x – 12, em que a = 4 e b = – 12 
são exemplos de funções polinomiais do 1º grau na variável x. 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS DE 1º GRAU 
 
Função Identidade 
É uma função polinomial de 1º grau em que a = 1 e b = 0, sendo, portanto, escrita com o formato f ( x ) = x. 
 
Função Linear 
 É toda função polinomial de 1º grau escrita na forma f ( x ) = a x, sendo a ≠ 0 e b = 0. 
 
Função Afim 
 É o caso mais geral de uma função polinomial de 1º grau. 
 São as funções que podem ser escritas na forma f ( x ) = a x + b, com a ≠ 0 e b ≠ 0. 
 
CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 Em toda função polinomial de 1º grau f ( x ) = a x + b, “a” é chamado de coeficiente angular e “b” de coeficiente 
linear. 
 Toda função de 1º grau tem uma única raiz, que representa o ponto em que o gráfico da função intercepta o eixo das 
abscissas (eixo x) e é dada por x = − b
a
. 
 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE 1º GRAU 
Toda função de 1º grau tem por gráfico uma reta e é composta por um coeficiente angular “a” que dá a inclinação da 
reta representativa do gráfico da função em relação ao eixo x. 
Tem-se, então, que se: 
a > 0 ⇒ função crescente 
a < 0 ⇒ função decrescente 
a = 0 ⇒ função constante 
 O coeficiente linear “b” representa o valor numérico em que o gráfico da função de 1º grau intercepta o eixo das 
ordenadas (eixo y). 
 Observe os modelos de gráficos dados abaixo. 
 
 Quando a função é linear, ou seja, y = f ( x ) = a x , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem, ponto de 
coordenadas ( 0 , 0 ). 
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Exemplos 
1) Dada a função polinomial de 1º grau f ( x ) = 3x + 12, determinar a raiz, o coeficiente angular, o coeficiente linear da 
função e verificar se esta função é crescente ou decrescente. Construa o gráfico da função. 
Solução: 
Para a determinação dos coeficientes angular e linear, basta verificar os valores de a e de b. 
Coeficiente angular: a = 3. Como a > 0 ⇒ função crescente. 
Coeficiente linear: b = 12. 
Raiz = − b
a
 ⇒ raiz = −12
3
 ⇒ raiz = – 4. 
 Construção do gráfico: 
a. ponto onde a reta intercepta o eixo das ordenadas ( eixo y ) = 12; 
b. ponto onde a reta intercepta o eixo das abscissas ( eixo x ) = – 4. 
 
2) Determine a função f ( x ) = a x + b, sabendo-se que f ( 2 ) = 5 e f ( 3 ) = – 10. 
Solução: 
Se f ( 2 ) = 5 pode-se escrever que y = 5 se x = 2. 
Se f ( 3 ) = – 10 pode-se escrever que y = – 10 se x = 3. 
Desta forma, sabendo que f ( x ) = a x + b, pode-se montar o sistema de equações 5 = 2a + b
−10 = 3a + b
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 
Isolando b na equação de cima, obtém-se: b = 5 – 2a 
Substituindo esse valor na equação de baixo, encontra-se: 
– 10 = 3 . a + 5 – 2 a 
Resolvendo essa equação: 
3 . a – 2 . a = – 10 – 5 ⇒ a = – 15 
Substituindo o valor encontrado em b = 5 – 2 a, obtém-se o valor de b: 
b = 5 – 2 . (– 15) ⇒ b = 5 + 30 ⇒ b = 35 
Portanto, como a função procurada é da forma y = a . x + b, basta substituir os valores encontrados nos lugares de a e 
de b. Então: 
y = – 15 x + 35 
 
APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES DO 1º GRAU 
 Em uma função polinomial do 1º grau, o coeficiente angular “a” é numericamente igual à taxa média de variação da 
função: TM =
ΔY
ΔX
, Ou seja: a = ΔY
ΔX
. 
 
Funções Custo, Receita e Lucro do 1º grau 
 Entre as inúmeras utilizações das funções do 1º graus, pode-se citar a sua utilização nas funções custo total ( CT ), 
receita total ( RT ) e Lucro ( L ) de uma empresa. 
 
Exemplos 
 1) O custo total de produção consiste em uma taxa fixa de R$ 5.000,00, somada ao custo de produção de R$ 60,00 
por unidade produzida. Expresse o custo total em função do número de unidades produzidas. 
 Solução: 
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 O cálculo do Custo Total para as quantidades 1, 100, 200 e 300 é apresentado a seguir: 
Quantidade produzida Custo Total 
1 5000 + 60 . 1 
100 5000 + 60 . 100 
200 5000 + 60 . 200 
300 5000 + 60 . 300 
Nesse momento a intenção não é obter o valor do Custo Total, porém estabelecer uma função que o represente. 
Sendo assim, ao se continuar com o raciocínio de construção da tabela anterior, teremos: 
Quantidade produzida Custo Total 
x 5000 + 60 . x 
 A expressão 5000 + 60x representará o Custo Total, em função da quantidade x produzida. Representa-se, então, 
essa função por: 
y = CT ( x ) = 5000 + 60 x 
 Convém notar que, nessa função, o valor 5000 não depende da quantidade produzida, porém o resultado 60.x 
depende. 
 Devido a isso, denomina-se de Custo Fixo o valor 5000 e de Custo Variável o valor 60x. 
Portanto, se x for a quantidade produzida de um produto, o custo total de produção (ou simplesmente custo) será 
dependente desta variável x e a relação entre elas é denominada de função custo total (ou simplesmente função custo) e 
indica-se por CT( x ). 
 Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. A soma desses 
custos que não dependem da quantidade produzida chama-se de custo fixo e indica-se por CF. A parcela do custo que 
depende da quantidade produzida, chama-se de custo variável, e indica-se por CV. 
 O custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante é denominada 
custo por unidade. 
 Pode-se resumir afirmando que: para uma quantidade produzida x, o custo total será dado por: 
CT( x ) = CF + CV sendo que CV = custo por unidade . quantidade 
 
 2) O custo total de um fabricante consiste em uma quantia fixa de R$ 200,00, somada ao custo de produção de 
R$ 50,00 por unidade. Expresse o custo total como função do número de unidades produzidas. 
 Solução: 
 Nessa situação, identifica-se que, a quantia fixa R$ 200,00 representa o custo fixo, ou seja CF = 200 ainda, o custo 
de produção por unidade é de R$ 50,00, logo CV= 50 . x . 
 A função custo total como função do número de unidades produzidas é: 
CT( x ) = 200 + 50x ou CT( x ) = 50x + 200 
 
3) O custo total (C) de produção de x litros de certa cerveja, é dado por uma função linear de x, cujo gráfico está 
representado abaixo. Obtenha a fórmula matemática (função) que calcula o custo total. 
 
 Nesse exemplo, tem-se o gráfico e precisa-se determinar qual é a lei de formação da função que está associada a 
ele. 
 O gráfico fornecido é parte de uma reta e, sendo assim, a função correspondente é do 1º grau. 
 Observa-se que o ponto de intersecção do gráfico com o eixo y é igual a 50. Logo, podemos afirmar que o coeficiente 
linear b é 50. 
 Com isso, falta obter o valor do coeficiente angular. 
 Como a = Δy
Δx
⇒ a = ΔC
Δx
, pelo gráfico consegue-se inferir que: 
 a = ΔC
Δx
 ⇒ a = 450 − 50
500 − 0
⇒ a = 400
500
⇒ a = 0,8. 
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 Assim, a função custo total será dada por: CT ( x ) = 0,8x + 50. 
 
 4) Determine a função cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos A (– 2, – 3) e B (1, 3). 
 Solução 
 A função procurada é polinomial do 1º grau, uma vez que o enunciado afirma que o gráfico é uma reta. Com isso, 
sabe-se que y = ax + b. 
 Inicia-se pelo cálculo do coeficiente angular: a = ΔC
Δx
 ⇒ a =
3 − − 3( )
1− − 2( ) ⇒ a =
6
3
⇒ a = 2. 
 Logo, pode-se escrever y = 2x + b. 
 Ao escolhe qualquer um dos pontos do gráfico da função, por exemplo, o ponto A, tem-se: 
 y = 2x + b ⇒ – 3 = 2 . ( – 2) + b ⇒ b = 4 – 3 ⇒ b = 1 
 Portanto, a função procurada é y = 2x + 1. 
 
5) Um comerciante compra um lote de mercadorias, contendo x unidades, a um preço de R$ 45,00 a unidade. 
Sabendo-se que o mesmo revende cada unidade a R$ 60,00 e que gasta R$ 1500,00 com o aluguel do caminhão para 
transporte do lote, determine o número de unidades que o comerciante deve vender para obter lucro de R$ 2100,00. 
 Solução: 
 O valor R$ 45,00 representa o custo por unidade e o valor R$ 1500,00 representa o custo fixo gasto com o 
aluguel do caminhão. Com isso, já se pode representar a função custo total, que é: 
 CT( x ) = CF + CV, ou seja, CT( x ) = 1500 + 45 x ou, ainda, CT( x ) = 45 x + 1500. 
 E o que representa o valor R$ 60,00? Ele representa o preço de venda. 
 Observe: 
 Se forem vendidas 10 unidades, o valor recebido pela venda será 10 . 60, ou seja R$ 600,00. 
 Se forem vendidas 20 unidades, o valor recebido será 20 . 60 = R$ 1200,00. 
 Considerando que as x unidades do lote de mercadorias foram vendidas, o valor recebido pela venda será 
x . 60 ou seja 60x. 
 Essa expressão representa o que se denomina de Receita Total do comerciante. 
 Representa-se por RT( x ) = 60 x. 
 O Lucro Total será dado pela diferença: Receita Total – Custo Total, ou seja: L( x ) = RT( x ) – CT( x ) 
 Assim, a função Lucro Total será dada por: 
 L(x) = (60x) – (45 x + 1500) ⇒ L(x) = 60 x – 45x – 1500 ⇒ L(x) = 15 x – 1500 
 Para que o lucro seja de R$ 2100,00 deve-se ter: 
15x – 1500 = 2100 ⇒ 15 x = 2000 + 1600 ⇒ 15 x = 3600 ⇒ x = 3600
15
⇒ x = 240 
 Portanto, o lote deve conter 240 unidades para que, quando totalmente vendidas, forneçam lucro de R$ 2100,00 ao 
comerciante. 
 
 6) Um fabricante gasta R$ 50,00 na fabricação de cada uma das unidades produzidas em sua fábrica. Sabe-se que o 
mesmo tem um custo fixo de R$ 4500,00 para a produção de “x” unidades e que cada unidade é vendida a R$ 80,00. 
Determine as funções custo e receita em função da quantidade x de unidades produzidas. Represente essas funções 
graficamente. Calcule o ponto de equilíbrio dessas funções e apresente-o no gráfico. 
 Solução: 
 Determina-se, inicialmente, as funções custo e receita. 
 Pelo enunciado conclui-se que R$ 50,00 representa o custo unitário de fabricação enquanto R$ 4500,00 representa o 
custo fixo. Com isso, temos que CT( x ) = 50 x + 4500. 
 Como cada uma das unidades é vendida a R$ 80,00 conclui-se que RT( x ) = 80x 
 Para se representar a função custo graficamente, utiliza-se o mesmo raciocínio já realizado anteriormente. Como 
sabe-se que b = 4500 é o coeficiente linear, pode-se representar o ponto de intersecção do gráfico de C como sendo 
A(0, 4500). 
 O coeficiente angular a = 50 diz que para cada unidade produzida, o custo aumentará em R$ 50,00, ou seja, a função 
custo é crescente e, portanto, seu gráfico tem inclinação aguda em relação ao eixo x. 
Portanto: 
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 Para determinar a função receita total ( RT), começa-se analisando o coeficiente linear da função RT( x ) = 80x. O valor 
de b é nulo, ou seja, RT( x ) = 80x + 0. Isso significa que o gráfico da função receita inicia-se na origem desse sistema 
cartesiano. 
 Como a variável “x” representa a quantidade (vendida), é possível perceber que, comparando-se com a função custo, 
o aumento da receita é maior que o aumento do custo. 
 Com isso, no gráfico da função receita, deve ter uma inclinação maior, em relação ao eixo x, comparando com o 
gráfico da função custo. Representando essa função no mesmo plano cartesiano, tem-se: 
 
 Observando as duas funções (custo total e receita total) representadas no mesmo plano cartesiano (gráfico), pode-se 
notar que elas se interceptam em um ponto. Esse ponto é denominado ponto de equilíbrio (do inglês break-even point). 
 O ponto de equilíbrio representa a quantidade de bens e serviços que uma empresa tem de vender de forma a que o 
valor total dos proveitos obtidos com as vendas se iguale ao total de custos (incluindo os custos fixos e custos variáveis) em 
que a empresa incorre para produzir e comercializar essa, mesma quantidade. 
 
 Pelo gráfico é fácil perceber que, no ponto de equilíbrio, as funções custo total e receita total se igualam. Assim, é 
possível escrever: 
 RT( x ) = CT( x ) ⇒ 80 x = 50x + 4500 ⇒ 80x – 50x = 4500 ⇒ 30x = 4500 ⇒ x = 
4500
30
 ⇒ x = 150 
 Assim, consegue-se obter o valor da abscissa “x” do ponto de equilíbrio. 
Para determinar a ordenada “y”, basta substituir o valor obtido em qualquer uma das funções, ou seja: 
 
 RT(150) = 80 . 150 = 12000 ou CT(150) = 50 . 150 + 4500 = 12000. 
 
 Portanto, as coordenadas do ponto de equilíbrio são: P.E. ( 150 ; 12000). 
A sua representação gráfica é: 
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 O valor 150 representa a quantidade que deve ser produzida e vendida para gerar equilíbrio ao fabricante, ou seja, 
gerar o valor R$ 12.000,00, valor este que representa o custo total de produção (custo fixo mais custo variável). 
 
 7) Uma firma de serviços de fotocópia tem custo fixo de R$ 800,00 por mês e custos variáveis de R$ 0,04 por folha 
que produz. Se os consumidores pagam R$ 0,12 por folha, quantas folhas a firma deve produzir para não ter prejuízo? 
 Solução: 
 Em relação à função custo total, tem-se que: 
CT( x ) = CV ( x ) + CF ⇒ CT( x ) = 0,04 . x + 800. 
Em relação à função receita total, tem-se: 
RT( x ) = p . x ⇒ RT( x ) = 0,12 x. 
 Representando as duas funções em um mesmo plano cartesiano, obtemos: 
 
 O ponto de equilíbrio será obtido igualando-se RT( x ) = CT( x ), e, portanto: 
 RT( x ) = CT( x ) ⇒ 0,12 . x = 0,04 . x + 800 ⇒ 0,12 . x – 0,04 . x = 800 ⇒ 0,08 x = 800 ⇒ x = 
800
0,08
⇒ x = 10000. 
 Logo: RT(10000) = 0,12 . 10000 ⇒ RT(10000) = R$ 1.200,00 
 
 Para uma quantidade inferior a 10.000 cópias observa-se uma receita menor que o custo e, portanto, ocorrerá 
prejuízo para a firma. 
Por outro lado, se a quantidade reproduzida for superior a 10.000 cópias, a fotocopiadora obterá lucro. 
 Para o caso de a firma reproduzir exatamente 10.000 cópias, a mesma não terá nem lucro e nem prejuízo, mantendo-
se em equilíbrio (RT ( x ) = CT ( x )). 
 Essa análise pode ser simplificada ao analisarmos diretamente a função lucro. 
 Como L( x ) = RT( x ) – CT( x ), pode-se representar a função lucro por: 
L( x ) = ( 0,12 . x ) – ( 0,04 . x + 800) ⇒ L( x ) = 0,12 . x – 0,04 . x – 800 ⇒ L( x ) = 0,08 . x – 800 
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 Como a intenção é que não ocorra prejuízo será necessário obter a quantidade “x” de fotocópias realizadas a fim de 
que L( x ) ≥ 0. 
 Com isso recaímos na inequação do 1º grau: 
 L ( x ) ≥ 0 ⇒ 0,08 . x – 800 ≥ 0 ⇒ 0,08 x ≥ 800 ⇒ x ≥ 800
0,08
 
⇒ x ≥ 10000 
 Resposta: A firma deve produzir 10.000 fotocópias ou mais para não ter prejuízo,ou seja, o número mínimo de 
fotocópias a serem reproduzidas deverá ser 16000. 
 
Funções de demanda e oferta do 1º grau 
 A demanda de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir num certo 
intervalo de tempo. Normalmente o gráfico do preço de venda em função da quantidade é o de uma função decrescente, pois 
quanto maior o preço de venda, menor a quantidade demandada. 
 Chamamos de oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, à quantidade do bem que os vendedores desejam 
oferecer no mercado. Normalmente o gráfico de p em função de x é o de uma função crescente, pois quanto maior o preço, 
maior a quantidade ofertada. 
 
Exemplos 
 1) Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$ 20,00 e revende por R$ 30,00. Nestas condições, a quantidade 
mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$ 28,00, conseguirá vender 
600 unidades por mês. Supondo a equação de demanda linear, obtenha-a. Após isso, representa-a graficamente. 
 Solução: 
 Uma vez que a função demanda é linear, sua equação é como a de uma função polinomial do 1º grau. Vamos supor 
“p” a variável preço de venda e “x” a variável quantidade. Assim sendo, podemos escrever p = ax + b. 
 Pelo que foi estudado anteriormente, sabe-se que: a = Δp
Δx
, sendo que Δp representa a variação ocorrida no preço e 
Δx a variação ocorrida na quantidade demandada. 
Analisando os dados apresentados no enunciado e organizando-os em uma tabela, tem-se: 
Quantidade ( x ) Preço ( p ) 
500 30 
600 28 
 Observa-se que, com a queda ocorrida no preço, a demanda pelo bem aumenta, o que caracteriza a função 
demanda como sendo uma função decrescente. 
Para cada R$ 2,00 de diminuição no preço, o proprietário da loja de CDs vende 100 unidades a mais. 
Isso significa que: a = Δp
Δx
⇒ a = − 2
+ 100
⇒ a = − 0,02 
 Como p = ax + b, pode-se escrever: 
 p = – 0,02x + b ( I ) 
 Utilizando-se de uma das informações, por exemplo, a de que são vendidas x = 500 unidades a um preço 
p = R$ 30,00 e substituindo-se esses valores na equação ( I ), tem-se que: 
 p = – 0,02x + b ⇒ p = – 0,02. 500 + b ⇒ 30 = – 10 + b ⇒ 30 + 10 = b ⇒ b = 40. 
 Logo, encontrou-se a equação de demanda solicitada: p = – 0,02 x + 40. 
 Para construir o gráfico, deve-se recordar que, o valor de “b” representa a ordenada do ponto em que o gráfico 
intercepta o eixo y. Logo, obtém-se um par ordenado que é ( 0 , 40 ). 
Para obter um outro par ordenado, pode-se determinar a raiz da equação de demanda, ou seja: 
x = − b
a
⇒ x = − 40
− 0,02
⇒ x = 2000 . 
Assim, obtém-se um outro par ordenado ( 2000 , 0 ) o que possibilita traçar a reta representativa da função demanda. 
 
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 2) Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês, se o preço unitário é R$ 5,00. A empresa acredita que, 
reduzindo o preço em 20%, o número de unidades vendidas será 50% maior. Obtenha a função de demanda admitindo-a como 
função polinomial do 1º grau. Representa-a graficamente. 
 Solução: 
 Vamos iniciar organizando os dados em uma tabela. 
Quantidade ( x ) Preço ( p ) 
200 5 
300 4 
Observa-se que, se o preço de R$ 5,00 for reduzido em 20%, o novo preço aplicado será de R$ 4,00. Por 
conseguinte, o aumento na quantidade vendida será de 50% sobre as 200 unidades vendidas no mês, ou seja: o aumento será 
de 100 unidades. Portanto, pode-se notar que para cada R$ 1,00 de diminuição no preço de venda, 100 unidades são 
vendidas a mais e então: 
a = Δp
Δx
⇒ a = − 1
+ 100
⇒ a = − 0,01 
 Como p = ax + b, pode-se escrever: 
p = – 0,01x + b ( I ). 
 Utilizando uma das informações dadas, por exemplo, a de que são vendidas x = 200 unidades a um preço 
p = R$ 5,00 e substituindo-se esses valores na equação ( I ), tem-se que: 
 p = – 0,01 x + b ⇒ 5 = – 0,01. 200 + b ⇒ 5 = – 2 + b ⇒ 5 + 2 = b ⇒ b = 7. 
Portanto, a equação de demanda da situação descrita é: 
p = – 0,01 x + 7. 
Para construir o gráfico, deve-se recordar que, o valor de “b” representa a ordenada do ponto em que o gráfico 
intercepta o eixo y. Logo, obtém-se um par ordenado que é ( 0 , 40 ). 
Para obter um outro par ordenado, pode-se determinar a raiz da equação de demanda, ou seja: 
x = − b
a
⇒ x = − 7
− 0,01
⇒ x = 700 . 
 O gráfico, portanto, será: 
 
 
 3) Quando o preço de um bem é R$ 35,00 são oferecidas 25 unidades no mercado e, quando o preço é R$ 45,00 são 
oferecidas 50 unidades. Determinar a equação de oferta, supondo-a linear para x unidades do bem a um preço de venda p. 
Represente essa função graficamente. 
 Solução: 
 Organizando os dados fornecidos em uma tabela que relaciona o preço de venda p e a quantidade x, tem-se: 
Quantidade ( x ) Preço ( p ) 
25 35 
50 45 
 Observando a tabela, pode-se notar que para cada R$ 10,00 de aumento no preço de venda, são oferecidas 25 
unidades a mais e então: 
a = Δp
Δx
⇒ a = + 10
+ 25
⇒ a = 0,4 
 Como p = ax + b, pode-se escrever: 
p = 0,4 + b ( I ). 
 Utilizando uma das informações, por exemplo, a de que são oferecidas x = 50 unidades a um preço p = R$ 45,00, e 
substituindo-se esses valores na equação ( I ), tem-se que: 
 p = 0,4x + b ⇒ 45 = 0,4.50 + b ⇒ 45 = 20 + b ⇒ 45 – 20 = b ⇒ b = 25. 
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 Portanto, a equação de oferta da situação descrita é: 
p = 0,4x + 25. 
O gráfico poderá ser obtido de maneira semelhante ao já explicado nos exemplos anteriores. e par a situação deste 
exemplo, será: 
 
 
 4) Sabendo que 3 toneladas de feijão estão disponíveis no mercado quando o preço do quilo é R$ 1,50 e sabendo 
que 1,2 toneladas estão disponíveis no mercado quando o preço por quilo for R$ 1,32, pede-se: 
a) A equação da oferta linear; 
b) O gráfico no plano cartesiano; 
c) Qual o preço do feijão quando não está disponível no mercado? 
d) Quantas toneladas de feijão estão disponíveis quando o preço for R$ 1,95? 
e) Qual é o preço do quilo do feijão quando estiverem disponíveis 6 toneladas? 
Solução: 
 Inicia-se determinando a equação de oferta linear. Organizando os dados apresentados em uma tabela relacionando 
preço de venda e quantidade temos: 
Quantidade ( x ) Preço ( p ) 
3000 1,50 
1200 1,32 
 Observando a tabela, pode-se notar que para cada R$ 0,18 de diminuição no preço de venda, são oferecidos 1800 
quilos de feijão a menos e então: 
a = Δp
Δx
⇒ a = − 0,18
− 1800
⇒ a = 0,0001. 
 Como p = ax + b, pode-se escrever: 
p = 0,0001 + b ( I ). 
 Utilizando uma das informações, por exemplo, a de que são oferecidos x = 3000 quilos a um preço p = R$ 1,50 e 
substituindo-se esses valores na equação ( I ), tem-se que: 
 p = 0,0001x + b ⇒ 1,50 = 0,0001.3000 + b ⇒ 1,50 = 0,3 + b ⇒ 1,50 - 0,3 = b ⇒ b = 1,20. 
 Portanto, a equação de oferta da situação descrita é: 
p = 0,0001x + 1,20 e seu gráfico será: 
 
 Quando o preço do feijão estiver a R$ 1,20, o feijão não estará disponível no mercado, uma vez que a esse preço 0 
(zero) quilogramas serão ofertados. 
 Por outro lado, se o preço for R$ 1,95, já que a equação de oferta é p = 0,0001x + 1,20 , serão ofertados: 
 1,95 = 0,0001x + 1,20 ⇒ 1,95 – 1,20 = 0,0001x ⇒ 0,75 = 0,0001x ⇒ x = 0,75
0,0001
 ⇒ x = 7500 kg, ou seja, estarão 
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disponíveis 7,5 toneladas a um preço de R$ 1,95 a tonelada. 
Ainda, se forem disponibilizadas 6 toneladas, ou seja 6000 quilos, o preço do feijão deverá ser: 
 p = 0,0001x+ 1,20 ⇒ p = 0,0001.6000 + 1,20 ⇒ p = 0,6 + 1,20 ⇒ p = 1,80. 
 
 5) Considere as funções demanda e oferta dadas por p = – 50 x + 5000 e p = 5x + 100. Qual é o ponto de equilíbrio 
de mercado (preço e quantidade de equilíbrio)? Faça os respectivos gráficos no mesmo sistema de coordenadas, assinalando 
o ponto de equilíbrio. 
 Solução: 
 Para se determinar o ponto de equilíbrio algebricamente, deve-se igualar as equações de oferta e demanda, uma vez 
que no equilíbrio o preço será o mesmo. Assim: 
 – 50 x + 5000 = 5 x + 100 ⇒ – 50 x – 5 x = 100 – 5000 ⇒ – 55 x = – 4900 ⇒ x = − 4900
− 55
⇒ x = 89,090909..., ou 
aproximadamente x = 89 unidades. 
 Para essa quantidade, obtém-se o seguinte preço: 
a) Substituindo-se na equação de demanda: 
p = – 50 x + 5000 ⇒ p = – 50 . 89,090909 + 5000 ⇒ p = 545,454545... 
b) Substituindo-se na equação de oferta: 
p = 5x + 100 ⇒ p = 5 . 89,090909 + 100 ⇒ p = 545,454545... , ou seja, aproximadamente R$ 545,45. 
 Representando as duas funções em um mesmo plano cartesiano tem-se: 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Determinar a raiz e o coeficiente linear da função afim f ( x ) = 10x + 5. Resp.: x = − !! e b = 5 
2) Qual dos gráficos abaixo representa uma função polinomial de 1º grau do tipo f ( x ) = – a x + b? 
 
 Resp.: Alternativa “a”. 
 3) Determine a função f ( x ) = a x + b, sabendo-se que f ( 5 ) = 10 e f ( 4 ) = – 15. Resp.: f ( x ) = 25 x – 115 
 4) Obtenha o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: 
 a) A (1 , 2) e B (2 , 7) b) A (0 , 3) e B (2 , 5 ) c) A (– 1 , 4) e B (3 , 5) d) A (– 2 , 1) e B (5 , – 2) 
 Resp.: a) a = 5 ; b) a = 1 ; c) a = 1
4
 e d) a = − 3
7
 
 5) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P e tem coeficiente angular “a” nos seguintes casos: 
 a) P (1 , 3) e a = 2 b) P (0 , 0) e a = 3 c) P (– 1 , 4) e a = 1 – 1 d) P (– 1 , – 2) e a = 2 
 e) P (0 , – 4) e a = – 3 f) P (– 2 , 0) e a = – 1 g) A (1 , 2) e B (2 , 3) h) A (– 1, 0) e B (4 , 2) 
 i) A (2 , 1) e B (0 , 4) 
 Resp.: a) f ( x ) = 2x + 1; b) f ( x ) = 3x; c) f ( x ) = – x + 3 ; d) f ( x ) = 2x ; e) f ( x ) = – 3x – 4 ; f) f ( x ) = – x – 2 
 g) f ( x ) = x + 1 ; h) f ( x ) = 2x
5
+ 2
5
 ; i) f ( x ) = − 3x
2
+ 4 
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 6) Obtenha as funções polinomiais do 1º grau, dados os seus gráficos, nos seguintes casos: 
 a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
Resp.: a) f ( x ) = − 3x
4
+ 3 ; b) f ( x ) = x
2
+ 2 ; c) f ( x ) = – x + 5 
6) Determinar a raiz e o coeficiente linear da função afim f ( x ) = 10x + 5. Resp.: x = − 1
2
 e b = 5 
 6) Determine a lei de formação da função cujo gráfico é o representado abaixo: 
 
 Resp.: f ( x ) = – 2x – 2 
7) Dada a função f ( x ) = ax + b e sabendo que f ( 3 ) = 5 e f ( – 2) = – 5, determine o valor de f ( 0,5 ). 
Resp.: f ( 0,5 ) = 0. 
8) Certa localidade brasileira apresenta crescimento populacional de acordo com a função f x( ) = 22 + x −13 mil 
habitantes. Qual será a população dessa localidade daqui a dez anos? Resp.: 25.000 habitantes. 
9) Sabe-se que a margem de contribuição por unidade produzida por uma determinada empresa é de R$ 3,00 e que o 
custo fixo da empresa é de R$ 150,00 por dia de trabalho. Se o preço de venda do artigo produzido e vendido é de R$ 10,00, 
obtenha: 
Observação: Margem de contribuição é a diferença entre o preço de venda e o preço unitário de custo. 
a) a função receita; 
b) a função custo total diário; 
c) o ponto de nivelamento (ponto de equilíbrio); 
d) a função lucro diário, e; 
e) a quantidade que deverá ser produzida e vendida para que haja um lucro diário de R$ 180,00. 
Resp.: a) RT ( x ) = 10 x b) CT ( x ) = 150 + 7x c) P.E. (50 , 500) d) L ( x ) = 3x – 150 e) x = 110 
10) O preço de venda de um produto é de R$ 25,00. O custo de produção desse produto, por unidade, é dado por: 
• custo da matéria prima: R$ 6,00, e; 
• custo da mão de obra direta: R$ 8,00. 
 Sabe-se, também, que o custo fixo mensal da empresa é de R$ 2.500,00. Com posse desses dados, determine: 
a) as coordenadas do ponto de equilíbrio. 
b) a margem de contribuição por unidade produzida e vendida. 
c) o lucro, se a empresa produzir e vender mil unidades do produto. 
d) o aumento porcentual do lucro, se a produção aumentar de mil para mil e quinhentas unidades mensais. 
Resp.: a) P.E. (228 , 5700) b) R$ 11,00 c) L ( x ) = R$ 8.500,00 d) 64,7% 
11) Para a produção de 100 unidades, o custo médio é de R$ 4,00 e o custo fixo é de R$ 150,00 diário. Sabe-se que o 
preço de venda é de R$ 60,00 por um lote de 10 unidades. Obtenha: 
a) o lucro de 10 lotes vendidos. 
b) a quantidade de unidades que devem ser produzidas e vendidas para a empresa não ter lucro nem prejuízo. 
Observação: O custo médio de produçãoCme x( ) =
CT x( )
x
 é dado por: 
Resp.: a) L ( 10 lotes) = R$ 200,00 b) x = 43 (valor exato: 42,85714285714286) 
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12) Determine as coordenadas do ponto de nivelamento (ponto de equilíbrio) em cada um dos casos dados a seguir, 
obtendo, também, a função lucro: 
a) RT ( x ) = 4x e CT ( x ) = 50 + 2x 
b) RT ( x ) = 200x e CT ( x ) = 10000 + 150x 
c) RT ( x ) = 
x
2
 e CT ( x ) = 20 + 
x
4
 
Resp.: a) P.E. (25 , 100) e L ( x ) = 2x – 50 b) P.E. (200 , 40000) e L ( x ) = 50x – 10000 c) P.E. (80 , 40) e 
L ( x ) = x
4
 – 20 
13) Uma empresa fabrica um produto a um custo fixo de R$ 1.200,00 por mês e um custo variável por unidade 
produzida igual a R$ 2,00. O preço unitário de venda do produto dessa empresa é R$ 5,00. Atualmente o nível de venda é de mil 
unidades por mês. A empresa pretende reduzir em 20% o preço de venda, esperando que com isso, as vendas aumentem. Qual 
deverá ser o aumento na quantidade vendida mensalmente para manter o lucro que a empresa já tem? 
Resp.: 500 unidades 
14) Quando 10 unidades de um produto são fabricadas por dia, o custo total é igual a R$ 6.600,00. Se a produção for 
de 20 unidades diárias, o custo total passa para R$ 7.200,00. Obtenha a função custo total, admitindo-a linear. 
Resp.: CT ( x ) = 6000 + 60x 
 15) O custo fixo mensal de uma empresa que produz um único artigo é de R$ 30.000,00. Se o preço de venda do 
artigo que a empresa produz é de R$ 8,00 e o custo variável de produção é de R$ 6,00, determine: 
a) a função lucro. 
b) a função lucro líquido, sabendo que o imposto de renda cobrado da empresa é 30% sobre o lucro. 
Resp.: a) L ( x ) = 2x – 30000 b) Lliq ( x ) = 1,4x – 21000 
16) O custo fixo mensal de uma empresa é de R$ 5.000,00, o custo variável por unidade produzida é de R$ 30,00 e o 
preço de venda de R$ 40,00. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida por mês para que a empresa tenha um 
lucro líquido de R$ 2.000,00, sabendo que o imposto de renda cobra da empresa uma alíquota de 35% sobre o lucro bruto? 
Resp.: 808 unidades (valor exato: 807,7 unidades) 
 17) O custo fixo de fabricação de um determinado produto é de R$ 1.000,00 por mês e o custo variável por unidade 
produzida é de R$ 5,00. Supondo que cada unidade produzida seja vendida por R$ 7,00, pergunta-se: 
a) qual a quantidade que deve ser produzida e vendida para que a empresa não tenha lucro nem prejuízo? 
b) se o produtor conseguir reduzir o custo variável unitário em 20% à custa do aumento do custo fixo na mesma 
proporção, qual a quantidade de produtos do “novo” ponto de equilíbrio? 
c) qual o aumento no custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de equilíbrio, emrelação ao item a), 
quando o custo variável unitário é reduzido em 30%? 
Resp.: a) x = 500 unidades b) x = 400 unidades c) 75%. 
18) Em um estacionamento para automóveis, o preço do período (manhã ou tarde) é de R$ 20,00. A esse preço 
estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for R$ 15,00, estacionarão 75 automóveis. Admitindo-se a função de 
demanda linear, obtenha-a. 
Resp.: p = – 0,2x + 30 
19) Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês, se o preço unitário é de R$ 5,00. O proprietário da 
empresa acredita que, reduzindo o preço em 20%, o número de unidades vendidas será 50% maior. Obtenha a função de 
demanda, supondo-a linear. 
Resp. p = – 0,01x + 7 
20) Quando o preço unitário de um produto é de R$ 10,00, cinco mil unidades são ofertadas por mês no mercado 
consumidor. Se o preço for de R$ 12,00, cinco mil e quinhentas unidades estarão disponíveis. Admitindo-se a função de oferta 
linear, obtenha-a. 
Resp.: p = 0,004x – 10 
21) Um fabricante de fogões produz 400 unidades por mês quando o preço de venda é de R$ 500,00 por unidade. Se 
o preço for de R$ 450,00, são produzidos 300 unidades mensais. Admitindo que a função de oferta seja do 1º grau, qual a sua 
equação? 
Resp.: p = 300 + 0,5x 
22) Determine o preço de equilíbrio de mercado nas seguintes condições: 
a) equação de oferta: p = 10 + x b) equação de oferta: p = 3x + 20 
 equação de demanda: p = 20 – 20 equação de demanda: p = 50 – x 
Resp.: a) p = R$ 15,00 b) p = R$ 42,50 
23) Em certa localidade, a função de oferta anual de um determinado produto agrícola é dada por p = 0,01x – 3, em 
que “p” é o preço por quilograma e “x” a quantidade da oferta em toneladas. 
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a) Que preço induz uma produção de 500 toneladas? 
b) Se o preço por quilograma for de R$ 3,00, qual a produção anual? 
c) Qual o ponto de equilíbrio de mercado se a função de demanda anual for p = 10 – 0,01x? 
Resp.: a) p = R$ 2,00 b) x = 600 ton. c) P.E. ( 650 ; 3,50) 
24) Em certo mercado, as funções de oferta e de demanda são dadas por: 
oferta: x = p
0,3
− 20 e demanda: p = 15 – 0,2x. 
Se o Governo Federal tabelar o preço de venda em R$ 9,00 a unidade, em quantas unidades a demanda superará a 
oferta? 
Resp.: 20 unidades 
25) As funções de oferta e de demanda de um produto são, respectivamente, p = 40 + x e p = 100 – x. Nessas 
condições: 
a) Qual o preço de equilíbrio? 
b) Se o Governo Federal instituir um imposto igual a R$ 6,00 por unidade vendida, cobrado junto ao produtor, qual o 
novo preço de equilíbrio? 
c) Nas condições do item b), qual a receita arrecadada pelo Governo Federal? 
Resp.: a) p = R$ 70,00 b) p = R$ 73,00 c) R$ 162,00