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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 7 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Arcos e ângulos 
 Considere uma circunferência com dois pontos A e B marcados sobre ela conforme a figura abaixo. 
 
 
Chamam-se de arco de uma circunferência a uma parte da mesma, determinada por dois de seus pontos. Assim, na 
figura ao lado, temos a representação do arco de extremidades A e B, arco , tomando A como origem e considerando o 
sentido anti-horário. 
Para o arco , a única mudança é a alteração da origem e da extremidade, invertendo, evidentemente, o sentido 
para o sentido horário. 
Quando os pontos A e B coincidirem, tem-se o que é denominado de arco nulo ou arco de uma volta. 
 
 
 
Deve-se perceber que a cada arco de circunferência corresponde um ângulo central, ou seja, um ângulo que tem 
seu vértice coincidindo com o centro da circunferência e seus lados passam pelas extremidades do arco de circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidades para medir arcos de circunferência ou ângulos 
As unidades mais utilizadas para efetuar a medição de arcos de circunferência ou seus ângulos centrais são o grau e 
o radiano. 
 
Grau 
É a tricentésima sexagésima parte de uma circunferência, ou seja, deve-se dividir uma circunferência em 360 partes 
iguais e, cada uma delas, é um grau ( 1º ). 
Desta maneira, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 arco AB de 90º arco AB de 180º arco AB de 270º arco AB de 0º ou de 360º 
 (um quarto de volta) (meia volta) (três quartos de volta) (nulo ou uma volta) 
Radiano 
Um arco de um radiano – 1 rad – é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém. 
 
 
arco: AB 
 
ângulo central: 
 
arco: CD 
 
ângulo central: 
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Relação entre as unidades para medir arcos 
O comprimento de uma circunferência é dado por C = 2 . π . r. Como cada valor do raio de uma circunferência 
corresponde a um radiano – 1 rad – pode-se afirmar que: 
 
C = 2 . π . r ⇒ C = 2 . π . 1 rad ⇒ C = 2 . π rad 
 Assim temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AB : arco de 360º AB : arco de 90º 
 ou ou 
 arco de 2π rad. arco de π
2
 rad. 
Desta maneira, pode-se fazer a seguinte associação: 
 
Exemplos 
1) Converter 30º em radianos. 
Solução: 
Faz-se uma regra de três da seguinte maneira: 
grau radiano 
 180 π 
 30 x 
Resolvendo-se esta regra de três, obtém-se: 180
30
= π
x
⇒ x = 30 . π
180
⇒ x = π
6
. Portanto: 30º = π
6
 rad . 
2) Converter 3π
4
 rad em graus. 
Solução: 
Fazendo a regra de três, obtemos: 
 grau radiano 
 180 π 
 x 3π
4
 
Resolvendo-se esta regra de três, obtém-se: 180
x
= π
3π
4
⇒ 180
x
= 4
3
⇒ x = 180 . 3
4
⇒ x = 135 . Portanto, 3π
4
 rad = 135º . 
3) Transformar 18º30’ em radianos. 
Solução: 
 
Comprimento do arco AB = comprimento de OA 
 
ou 
 
m ( AB ) = 1 rad 
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O primeiro passo é transformar os graus dados em minutos de grau: 
1º = 60’ ⇒ 18º = 18 . 60’ ⇒ 18º = 1080’. Portanto 18º30’ = 1080’ + 30’ = 1110’. 
Como 180º = 180 . 60’ ⇒ 180º = 10800’. 
Assim, a regra de três fica: 
 minutos radiano 
 10800 π 
 1110 x 
Resolvendo-se esta regra de três, obtém-se: 10800
1110
= π
x
⇒ x = 1110 . π
10800
⇒ x = 37π
360
. Portanto: 18º30' = 37π
360
 rad . 
 
4) As rodas de uma bicicleta têm 60 cm. de diâmetro. De posse dessa informação, determine quantas voltas dará 
cada roda ao finalizar um percurso de 94,2 metros. Use π = 3,14. 
Solução: 
Calculando-se o comprimento da circunferência da roda da bicicleta: 
C = 2 . π . r ⇒ C = 2 . 3,14 . 30 ⇒ C = 188,40 cm ⇒ C = 1,884 m. 
Como a bicicleta anda 1,884 m a cada volta da sua roda, para andar 94,2 metros, dará 94,2
1,884
 = 50 voltas. 
5) Determine a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 8h20min. 
Solução: 
 Considerando α como sendo a medida do ângulo procurado e x a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas 
em 20 minutos, a partir das 8 horas, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 tempo ângulo 
 60’ 30º 
 20’ x 
 
 Resolvendo a regra de três, obtém-se: 60
20
= 30
x
⇒ x = 20 . 30
60
⇒ x = 10 
Assim, o ângulo α = 120º + x ⇒ α = 120º + 10º ⇒ α = 130º. Portanto, o menor ângulo formado pelos ponteiros do 
relógio é de 130º. 
 
Comprimento de um arco 
 Considere-se o ângulo central de medida α radianos e AB o arco correspondente de comprimento . Assim, 
tem-se: 
• α → medida do arco ou do ângulo central, em radianos; 
• → comprimento do arco AB, e; 
• r → raio da circunferência que contém o arco AB. 
 
Por intermédio de uma regra de três: 
 Comprimento do arco medida do arco em radianos 
 r 1 
 α 
obtém-se: α = 
r
⇒  = α . r . 
Exemplo 
 
1) Calcule o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 60º, contido em uma circunferência de 1 
cm de raio. Use π = 3,14. 
Solução: 
Já vimos anteriormente que 60º equivale a π
3
 rad. Tem-se, então: 
 = α . r ⇒  = π
3
 . 1⇒  = 3,14
3
 . 1⇒  = 1,0466666...⇒  = 1,05 cm. 
Resposta: O comprimento do arco correspondente a um ângulo central de 60º é igual a 1,05 cm. 
 
2) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 10 centímetros. Qual a distância que a extremidade desse ponteiro terá 
percorrido após ter marcado 30 minutos? Use π = 3,14. 
Solução: 
AOˆB 


O ponteiro dos minutos ao “andar” o equivalente a 20 minutos, 
percorre um ângulo de 4 .30º = 120º. 
O ponteiro das horas, no mesmo período de tempo, percorre a 
distância representada por x, que deve ser calculado. 
Assim, o ponteiro das horas percorre: 
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Como ao percorrer 30 minutos, o ponteiro terá percorrido 180º (meia circunferência), tem-se: 
 = α . r ⇒  = π . 10⇒  = 3,14 . 10⇒  = 31,4 cm. 
Resposta: A distância percorrida pelo ponteiro do relógio foi de 31,4 centímetros. 
 
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
Denomina-se ciclo trigonométrico à circunferência orientada cujo raio é uma unidade de comprimento e na qual o 
sentido positivo é o sentido anti-horário. 
 
Ao se juntar a esse ciclo trigonométrico, um sistema de eixos cartesianos, de maneira que a origem do sistema de 
eixos coincida com o centro do ciclo trigonométrico e fixando o ponto A como a origem dos arcos, obtém-se o que é 
denominado de ciclo trigonométrico. Observe: 
 
É possível perceber que o ciclo trigonométrico fica dividido em 4 partes pelos eixos orientados x e y. As quatro partes 
são congruentes e são denominadas de quadrantes. São numeradas de I a IV e contadas a partir do ponto de origem dos 
arcos no sentido positivo (anti-horário). 
 
Exemplo 
 A que quadrante pertence a extremidade de um arco – ponto P – que tem ângulo central de 7π
4
 rad. 
Solução: 
Pode-se transformar o arco dado em radianos em graus: 7π
4
 rad = 7 . 180
4
⇒ 7π
4
 rad = 315º . 
Resposta: O ponto P, extremidade do arco, localiza-se no IV quadrante. 
 
ARCOS CÔNGRUOS 
 Pode-se observar que há vários arcos que podem ter a mesma extremidade em um ciclo trigonométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na 1ª figura marcamos o arco AB. Já na 2ª figura, marcamos o arco AB, com a mesma origem A e mesma 
extremidade B, mas tendo dado uma volta completa no ciclo trigonométrico. N 3º figura, as extremidades são as mesmas, mas 
aumentamos uma volta no ciclo trigonométrico. 
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 Vai-se supor que o ponto B se deslocasse um número “k” de voltas inteiras, chegando na mesma extremidade B. O 
arco AB pode ser escrito da seguinte maneira: 
 
AB = x rad + k . 2π ou AB = xº + k . 360º, com k ∈ Z 
Definição 
Dois arcos são ditos arcos côngruos ou congruentes quando suas medidas diferem de um múltiplo de 2π radianos ou 
360º, ou seja: 
• seja um arco que mede αº. Os arcos côngruos a ele são todos os arcos dados pela expressão 
matemática αº + k . 360º, com k ∈ , e; 
• seja um arco que mede x rad. Os arcos côngruos a ele são todos os arcos dados pela expressão 
matemática x rad + 2 k π rad, com k ∈. 
Exemplos 
 1) Indique a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de 30º e 3π
4
 rad . 
Solução: 
a) Para o arco de 30º, a expressão geral é 30º + k . 360º, k ∈Z. 
b) Para o arco de 3π
4
 rad , a expressão geral é 3π
4
+ 2 . k . π rad , k ∈. 
2) Determinar o menor arco não negativo que seja côngruo ao arco de 1.320º. 
Solução: 
 Deve-se determinar o menor valor não negativo de tal maneira que αº + k . 360º = 1320º, com k ∈. Para tanto, deve-
se efetuar a divisão: 
 
Resposta: O valor do arco solicitado é 240º. 
3) Determinar o menor arco não negativo côngruo aos arcos de 19π
4
 rad e – 750º. 
Solução: 
a) Devemos obter o menor arco não negativo que seja côngruo ao arco 19π
4
 rad . Para tanto, devemos ver o menor 
múltiplo de 2π menor que o arco dado. Esse múltiplo é 8π
4
 rad+ 8π
4
 rad = 16π
4
 rad . Subtraindo este valor do arco dado: 
19π
4
 rad− 16π
4
 rad = 3π
4
 rad . 
Resposta: O arco procurado é o arco de 3π
4
 rad . 
 b) Deve-se efetuar a divisão de 750º por 360º. 
 
E, concluímos que o menor arco não negativo côngruo ao arco de – 750º é o arco de 330º. 
 Resposta: O valor, em graus, do arco procurado é 330º. 
Observação 
 O menor valor não negativo côngruo a um arco qualquer é denominado de 1ª determinação deste arco. 
 
FUNÇÕES CIRCULARES 
 
Função seno e cosseno 
Vai-se considerar, no ciclo trigonométrico, um ponto P, imagem do número real x, conforme aparece na figura a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ 1320º = 240º + 3 . 360º 
⇒ – 750º = – 30º – 2 . 360º ⇒ – 30º = 330º – 360º 
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 Considere uma arco AP que corresponde ao ângulo central de medida x. 
 O valor do raio do ciclo trigonométrico é o segmento OP e os segmentos OPx e OPy são as projeções do ponto P 
sobre os eixos ordenados x e y. 
 Define-se como seno do arco AP, ou seja, seno de x, a ordenada do ponto P e representa-se por: 
 
sen x = OPy 
em que OPy é a medida de um segmento orientado que se localiza sobre o eixo das ordenadas e pode ser positiva, negativa 
ou nula. 
 Define-se, também, como cosseno do arco AP, ou seja cos x, a abscissa do ponto P e representamos por: 
 
cos x = OPx 
O eixo x, das abscissas, é o eixo dos cossenos e o eixo y, das ordenadas, é o eixo dos senos. Assim, podemos 
determinar o ponto P com as suas coordenadas, ou seja, P = ( cos x, sen x). 
 
 A definição vista em estudos de triângulos retângulos está de acordo com a que acabamos de ver. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais do seno e do cosseno de um arco 
 
 Com a definição vista anteriormente, pode-se verificar que: 
 
No I quadrante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No II quadrante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como podemos observar pela figura, os valores do seno 
e do cosseno de um arco que tem sua extremidade no I 
quadrante são positivos. 
sen x ⇒positivo 
cos x ⇒ positivo 
 
Já para o II quadrante, os valores do seno e do cosseno 
de um arco que tem sua extremidade neste quadrante, 
são: 
 sen x ⇒positivo 
 cos x ⇒ negativo 
	
  
	
  
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No III quadrante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.2.4 No IV quadrante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valores importantes de sen x e cos x 
 
 Os valores importantes do seno e do cossenos de um arco que se deve saber são denominados de valores notáveis. 
Esses valores estão discriminados na tabela dada a seguir. 
 
x 0º ou 0 rad. 
30º ou 
π
6 rad 
45º ou 
π
4 rad 
60º ou 
π
3 rad 
90º ou 
π
2 rad 
180º ou 
π rad 
270º ou 
3π
2 rad 
360º ou 
2π rad 
sen x 0 12 2 2 
3
2 1 0 – 1 0 
cos x 1 3 2 
2
2 
12 0 – 1 0 1 
 
Exemplos 
 1) Determinar os valores de sen 2π
3
 e cos 2π
3
. 
Solução: 
Em primeiro lugar, deve-se determinar em qual quadrante o arco, ou o ângulo, dado se encontra: 
2π
3
= 2 . 180º
3
= 120º ⇒ II quadrante. Neste quadrante os valores do seno e do cosseno são, respectivamente, 
positivo e negativo. 
Para descobrir os valores, deve-se comparar o arco, ou ângulo, dado com um dos ângulos notáveis. 
2π
3
= 2 .π
3
, ou seja, os valores do arco, ou ângulo, dado são equivalentes aos valores do arco π
3
, com os sinais 
correspondentes aos do II quadrante. 
Resposta: Os valores procurados são: sen 2π
3
= 3
2
 e cos 2π
3
= − 1
2
. 
2) Determinar os valores do seno e do cosseno do arco de medida 7π
6
. 
Solução: 
Determinando a qual quadrante o arco pertence, tem-se: 
7π
6
= 7 . 180º
6
= 210º ⇒ III quadrante. Neste quadrante os valores do seno e docosseno são, respectivamente, 
negativo e negativo. 
No III quadrante, os valores do seno e do cosseno de 
um arco que tem sua extremidade neste quadrante, são: 
 sen x ⇒negativo 
 cos x ⇒ negativo 
Para o IV quadrante, os valores do seno e do cosseno de 
um arco que tem sua extremidade neste quadrante, são: 
 sen x ⇒negativo 
 cos x ⇒ positivo 
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Para descobrir os valores, deve-se comparar o arco, ou ângulo, dado com um dos ângulos notáveis. 
7π
6
= 7 . π
6
, ou seja, os valores do arco, ou ângulo, dado são equivalentes aos valores do arco π
6
, com os sinais 
correspondentes aos do III quadrante. 
Resposta: Os valores procurados são: sen 7π
6
= − 1
2
 e cos 7π
6
= − 3
2
. 
 
EXERCÍCIOS 
 1) Converter para radianos: 
a) 60º. b) 45º. c) 120º. d) 210º.
 
e) 300º. f) 100º. g) 67º30’. h) 41º15’. 
 
 
2) Expressar em graus: 
a) π
6
 rad . b) π
5
 rad . c) 2π
3
 rad . d) π
4
 rad . e) 5π
6
 rad . f) 11π
6
 rad . g) 3π
8
 rad . h) π
16
 rad . 
 
3) Determine a medida, em radianos, do menor ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos ao percorrer 25 minutos. 
 
4) Determine a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às: 
a) 8h5min? b) 12h25’? 
 
5) Calcule, em radianos, a medida do ângulo central correspondente a um arco de comprimento 15 cm. contido em 
uma circunferência de 3 cm. de raio. 
 
6) Qual é o comprimento de um arco de circunferência correspondente a um ângulo central de 45º, contido em uma 
circunferência de 2 cm. de raio? Use π = 3,14. 
 
7) O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12 cm.. Quantos centímetros sua extremidade percorre 
durante 25 minutos? Use π = 3,14. 
 
8) Um pêndulo tem 15 cm. de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de 60º. 
Qual é o comprimento do arco de circunferência que a extremidade do pêndulo descreve? Use π = 3,14. 
 
9) A que quadrante pertence o ponto da extremidade de cada arco dado abaixo: 
a) 3π
4
 rad . b) − 7π
6
 rad . c) 5π
7
 rad . d) − 7π
4
 rad . e) 15π
9
 rad . f) − 10π
9
 rad . 
 
10) Escreva a expressão geral dos arcos congruentes a: 
a) 60º. b) 120º. c) 240º. d) 300º. e) π
3
 rad . f) 2π
3
 rad . g) 5π
4
 rad . h) 11π
6
 rad . 
11) Determinar a 1ª determinação do arco de: 
a) 685º. b) 780º. c) 1140º. d) 850º. e) – 400º. f) – 1310º. g) 15π
2
 rad . h) 10π
3
 rad . 
i) 23π
6
 rad . j) 21π
5
 rad . k) 9π
2
 rad . l) 17π
4
 rad . 
 
12) Determine o quadrante onde está a extremidade da 1ª determinação do arco de: 
a) 1960º. b) 690º. c) – 560º. d) – 340º. e) 9π
4
 rad . f) 20π
3
 rad . g) 16π
5
 rad . h) 35π
6
 rad . i) 19π
3
 rad . 
 
13) Determine os valores do seno dos arcos dados a seguir. Obs. Use uma calculadora científica para determinar os 
valores dos senos de arcos que não são equivalentes aos senos dos arcos notáveis, fornecendo os valores arredondados com 
três dígitos após a vírgula. 
a) 5π
6
 rad . b) 4π
3
 rad . c) 310º. d) 248º. e) 330º.
 
f) 100º. g) 107º. h) 205º. i) 94º. 
 
14) Determine o valor do arco x , em graus, nos casos discriminados abaixo: 
a) 0º ≤ x < 360º e sen x = – 1. b) 0 ≤ x ≤ π
2
 
e sen x = 3
2
. c) 0 ≤ x ≤ 2π e sen x = 0,5. 
d) 0 ≤ x < π e sen x = 0. e) 0 ≤ x < π
2
 
e sen x = – 0,5. f) 0 ≤ x < 2π e sen x = sen π
5
. 
 
15) Determine os valores, com três algarismos após a vírgula, se for necessário, do seno do arco dado. 
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a) sen 37π
6
. b) sen (– 225º). c) sen π . d) sen 19π
4
. e) sen 630º. f) sen − π
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. g) sen 13π
2
. 
h) sen 930º. 
 
16) Determine os valores do cosseno dos arcos dados a seguir. Obs. Use uma calculadora científica para determinar 
os valores dos senos de arcos que não são equivalentes aos senos dos arcos notáveis, fornecendo os valores arredondados 
com três dígitos após a vírgula. 
a) 5π
6
. b) 28º. c) 315º. d) 185º. e) 330º. f) 310º. g) 130º. h) 2π
3
. i) 5π
4
. j) 240º. 
 
17) Determine o valor do arco x , em graus, nos casos discriminados abaixo: 
a) 0º ≤ x < 360º e cos x = 0,5. b. 0 rad ≤ x < 2π e cos x = − 2
2
. 
 
18) Determine os valores, com três algarismos após a vírgula, se for necessário, do cosseno do arco dado. 
a) 9π
4
. b) cos (– 330º). c) cos 9π
2
. d) cos 1140º. e) cos 25π
6
. f) cos − 25π
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. g) cos 11π . h) cos 570º. 
 
19) Determine o valor do arco x nos seguintes casos, fornecendo os resultados em graus: 
a) 0º ≤ x < 360º tal que cos x = 2
2
. b) 0 rad ≤ x < 2π tal que cos x = 0. 
c) x ∈ tal que cos x = − 3
2
. d) x ∈ tal que cos x = – 1. 	
  
RESPOSTAS 	
  
 1) a) π
3
 rad b) π
4
 rad c) 2π
3
 rad d) Resp.: 7π
6
 rad e) 5π
3
 rad f) 5π
9
 rad g) 3π
8
 rad h) 11π
48
 rad
 
2) a) 30º b) 36º c) 120º d) 45º e) 150º f) 330º g) 67º30’ h) 11º15’. 
3) 5π
6
 rad . 
4) a) 147º30’. b) 167º30’. 
5) 5 radianos. 
6) 1,57 cm. 
7) Resp.: 31,4 cm. 
8) Resp.: 15,7 cm. 
9) a) II quadrante b) II quadrante c) II quadrante. d) I quadrante. e) IV quadrante. f) III quadrante. 
10) a) α = 60º + k . 360º, com k ∈. b) α = 120º + k . 360º, com k ∈ . c) α = 240º + k . 360º, com k ∈. 
 d) α = 300º + k . 360º, com k ∈. e) π
3
 + 2 . k . π , com k ∈. f) 2π
3
 + 2 . k . π , com k ∈. 
 g) 5π
4
 + 2 . k . π , com k ∈. h) 11π
6
 + 2 . k . π , com k ∈. 
11) a) 325º. b) 60º. c) 60º. d) 130º. e) 320º. f) 130º. g) 3π
2
 rad . h) 4π
3
 rad . i) 11π
6
 rad . j)
 
π
5
 rad . 
 k) π
2
 rad . l) π
4
 rad . 
12) a) II quadrante. b) IV quadrante. c) II quadrante. d) I quadrante. e) I quadrante. f) II quadrante. 
 g) III quadrante. h) IV quadrante. i) I quadrante. 
13) a) 1
2
 b)
 
− 3
2
 c) – 0,766. d) – 0,927. e)
 
− 1
2
. f) 0,985. g) 0,956. h) – 0,423. i) 0,998. 
14) a) 270º. b) 60º. c) 30º ou 150º. d) Resp.: 0º e) Não existe valor de x para esse intervalo. 
 f) 36º e 144º. 
15) a) 0,500. b) 0,707. c) 0. d) 0,707. e) – 1. f) – 0, 866. g) 1. h) – 0,5. 
16) a) – 0, 866. b) 0,883. c) 0,707. d) – 0,997. e) 0,866. f) 0,643. g) – 0,643. h) – 0,5. i) – 0,707. j) – 0,5. 
17) a) 60º ou 300º. b) 135º ou 225º. 
18) a) 0,707. b) 0,866. c) 0. d) 0,5. e) 0,866. f) 0,866. g) – 1. h) – 0,866. 
19) a) 45º ou 315º. b) 90º ou 270º. c) 150º + k . 360º ou 210º + k . 360º, k ∈Z. d) 180º + k . 360º, k ∈Z.