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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 9 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – CONTINUAÇÃO 
 
FUNÇÃO TANGENTE 
 
Vai-se considerar, no ciclo trigonométrico, a reta “t” tangente à circunferência no ponto A, com a mesma orientação 
do eixo y. 
 
 
 Dado um arco AP de medida x radianos com x ≠ π
2
+ k . π
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, define-se como tangente de x a medida algébrica de 
AT , sendo T a interseção de OP
 
 e t. Observa-se que a medida algébrica de AT pode ser positiva, negativa ou nula. 
 
 
Valores notáveis da tangente 
Abaixo estão relacionados alguns dos valores da tangente de um arco que são importantes e, portanto, devem ser 
sabidos por todos. 
 
 x = 0º ou 0 rad x = 90º ou π
2
 rad x = 180º ou π rad 
 tg x = 0 tg x não é definida tg x = 0 
 
 
 x = 270º ou 3π
2
 rad x = 360º ou 2π rad 
 tg x não é definida tg x = 0 
 
Valores importantes de tg x 
Há, também, valores dos arcos notáveis, 30º, 45º e 60º que devem ser conhecidos, e portanto, incluídos no rol dos 
valores que devem ser conhecidos de todos: 
 
x 0º ou 0 rad. 
30º ou 
π
6 rad 
45º ou 
π
4 rad 
60º ou 
π
3 rad 
90º ou 
π
2 rad 
180º ou 
π rad 
270º ou 
3π
2 rad 
360º ou 
2π rad 
tg x 0 3 3 1
 3 Não é 
definida 0 
Não é 
definida 0 
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Exemplos 
1) Calcular o valor da tg 1.830º. 
Solução: 
Como 1.830º = 30º + 5 . 360º, tem-se que: tg 1.830º = tg 30º ⇒ tg 1.830º = 3
3
. 
2) Determine a expressão matemática que representa todos os valores de x para os quais tg x = 3
3
. 
Solução: 
A expressão matemática solicitada é: 
x ∈  | x = 30º + k . π , com k ∈ 
ou 
x ∈ | x = π
6
 rad + k . π , com k ∈ . 
 
RELAÇÕES QUE ENVOLVEM SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ARCO 
 
 Observando o ciclo trigonométrico representado abaixo: 
 
 
é possível perceber, utilizando-se a relação do triângulo retângulo, que: 
ΔOPxP ~ ΔOAT⇒
OPx
OA
=
PPx
AT
⇒ cos x
1
= sen x
tg x
⇒ tg x = sen x
cos x
, com x ≠ π
2
+ k . π, k ∈  . 
A restrição x ≠ π
2
+ k . π, k ∈ , se faz necessária, pois deve-se excluir os valores em que cos x = 0, ou seja: 
tg x = sen x
cos x
, para cos x ≠ 0 . 
 
 
Gráfico da função tangente 
 
 Vai-se apresentar o gráfico da função tangente de um arco, inicialmente para o intervalo [ 0, 2π ]. 
 
 
Como a função tg x tem seu domínio D = x ∈ | x = π
2
+ k . π, k ∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
, a curva pode ser estendida para valores 
menores que 0 e maiores que 2π . Assim, o gráfico da função f : D →  , definida por f ( x ) = tg x é a curva chamada de 
tangentóide, que tem o seguinte aspecto: 
 
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A partir do ciclo trigonométrico, da relação tg x = sen x
cos x
, para cos x ≠ 0, ou do gráfico da função tangente, é possível 
fazer algumas afirmações sobre esta função: 
• A função tangente tem D f( ) = x ∈ | x = π2 + k . π, k ∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
e Im ( f ) =  ; 
• A função tangente é uma função ímpar, isto é, tg x = – tg (– x), ∀ x ∈ D ( f ); 
• A função tangente é periódica de período p = π , isto é, tg x = tg (x + k . π) com k ∈ e x ∈D ( f ); 
• A função tangente é positiva para valores do 1º e 3º quadrantes e negativa para valores do 2º e 4º 
quadrantes; 
• Quanto à variação dos valores da função tangente, é fácil observar, principalmente pelo gráfico da função 
que no: 
• 1º quadrante → quando x cresce de 0 a π
2
, tg x cresce de 0 a + ∞; 
• 2º quadrante → quando x cresce de π
2
 a π, tg x cresce – ∞ a 0; 
• 3º quadrante → quando x cresce de π a 3π
2
, tg x cresce de 0 a + ∞, e; 
• 4º quadrante → quando x cresce de 3π
2
 a 2π , tg x cresce de – ∞ a 0. 
FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS 
 
FUNÇÕES SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO 
 
 Consideremos o ciclo trigonométrico dado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 É possível perceber, se utilizarmos semelhança de triângulos, que: 
 
OS = 1
cos x
⇒ sec x = 1
cos x
, e 
 
OD = 1
sen x
⇒ cossec x = 1
sen x
. 
 
 Desta maneira, é fácil perceber o porquê de se dizer que as funções secante e cossecante de uma arco são funções 
inversas das funções cosseno e seno do mesmo arco. 
 
De acordo com o explicitado acima, podemos definir: 
 
 y = sec x y = cossec x 
Domínio da função x ≠ π
2
+ k . π, k ∈ x ≠ k . π, k ∈ 
Imagem da função sec x ≤ – 1 ou sec x ≥ 1 cossec x ≤ – 1 ou cossec x ≥ 1 
 
Observe que, traçando uma reta tangente ao ciclo trigonométrico 
passando pelo ponto P, interceptamos os eixos das abscissas e o das 
ordenadas nos pontos S e D. 
A secante do arco x é definida como sendo o segmento OS e a 
cossecante do arco x, o segmento OD. 
Assim: sec x = OS e cossec x = OD. 
 
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Gráfico da função secante de um arco 
 
 O gráfico da função secante de um arco, como a secante é o inverso cosseno do arco, é dado por: 
 
 
Gráfico da função cossecante de um arco 
 
 O gráfico da função cossecante de um arco, como a cossecante é o inverso seno do arco, é dado por: 
 
 
FUNÇÃO COTANGENTE DE UM ARCO 
 
 Vamos considerar o ciclo trigonométrico dado abaixo e o arco AP de medida igual a x. 
 
 
 
 
 Sendo tg x = sen x
cos x
, é possível, também, afirmar que cotg x = 1
tg x
, pois: 
 cot g x = cos x
sen x
⇒ cot g x = 1
sen x
cos x
⇒ cot g x = 1
tg x
, com x ≠ k . π
2
. 
 
Exemplos 
 
 1) Calcular o valor da secante, da cossecante e da cotangente do ângulo central de 1.620º. 
 Solução: 
 1.620º = 4 . 360º + 180º. Logo: 
 a) sec 1.620º = sec 180º ⇒ sec 1.620º = – 1.	
   
 b) cossec 1.620º = cossec 180º ⇒ cossec 1.620º ⇒ ∃ cotg 1.620º= não é definida. 
Seja C o ponto de interseção da reta com o eixo das cotangentes – eixo 
paralelo ao eixo dos cossenos e que passa pelo ponto B do ciclo 
trigonométrico. 
Definimos como cotangente do arco AP a medida algébrica do segmento , 
indicamos por cotg x = BC, ou seja, a cotg x é a abscissa do ponto C. 
Por semelhança de triângulos, temos: 
, sendo sen x ≠ 0, isto é, x ≠ k . π, k ∈ . 
 
/	
  	
  
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 c) cotg 1.620º = cotg 180º ⇒ cotg 1.620º = 1
tg 180º
 ⇒ ∃ cotg 1.620º, ou seja, a cotg 1.620º não é definida. 
 
 2) Calcular o valor da secante, da cossecante e da cotangente do ângulo central de (– 1.035º). 
 Solução: 
 1.035º = 2 . 360º + 315º. Portanto, – 1.035º = – 315º ou 45º. Então: 
 a) sec (– 1.035º) = sec 45º ⇒ sec (– 1.035º) = 1
cos 45º
⇒ sec (– 1.035º) = 1
2
2
 ⇒ sec (– 1.035º) = 2
2
 . 2
2
 ⇒ 
 sec (– 1.035º) = 2 
 b) cossec (– 1.035º) = cossec 45º ⇒ cossec (– 1.035º) = 1
sen 45º
 ⇒ cossec (– 1.035º) = 1
2
2
 ⇒ 
 cossec (– 1.035º) = 2
2
 .2
2
 ⇒ cossec (– 1.035º) = 2 
 
 c) cotg (– 1.035º) = cotg 45º ⇒ cotg (– 1.035º) = 1
tg 45º
 ⇒ cotg (– 1.035º) = 1
1
 ⇒ cotg (– 1.035º) = 1. 
 3) Qual é o domínio da função y = cotg x + π
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
? 
 Solução: 
 A condição de existência da função é: x + π
4
 ≠ k . π, ou seja, x ≠ – + k π. 
 Portanto: D = 
x ∈ | x ≠ − π
4
+ k π, k ∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭ 
 4) Qual é o domínio da função y = sec x − π
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
? 
 Solução: 
 A condição de existência da função é: x − π
2
≠ π
2
+ k π , ou seja, x ≠ π + k . π, k . 
 Logo: D = 
x ∈ | x ≠ π + k π, k ∈{ } . 
 
 5) Resolva a equação sec x = – 2. 
 Solução: 
 Sendo sec x = 1
cos x
, temos que = – 2 ⇒ – 2 . cos x = 1 ⇒ cos x = − 1
2
. 
 Devemos, então, resolver a equação equivalente cos x = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto: S = 
x ∈* | x = 2π
3
+ 2 k π ou x = 4π
3
+ 2 k π, k ∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭ . 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 As relações entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco são denominadas de relações 
trigonométricas fundamentais. 
/	
  	
  
Pela figura, temos que: cos x = cos ou cos x = cos . 
Assim, x = + 2. kπ ou x = + 2. k π . 
 
 
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 Vamos considerar o ciclo trigonométrico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Outras relações trigonométricas, já conhecidas, completam o rol das relações trigonométricas. São elas: 
tg x = sen x
cos x
 ; cot g x = cos x
sen x
 ; sec x = 1
cos x
 e cossec x = 1
sen x . 
 
Exemplos 
 1) Sendo sen x = 1
4
, com π < x < 5π
4
, determinar tg x e sec x. 
 Solução: 
 a) Para calcular o valor do cos x, utilizamos a relação fundamental: 
 sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ 1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ cos2 x = 1⇒ cos2 x = 15
16
⇒ cos x = ± 15
4
. 
 Sendo π < x < 5π
4
 ⇒ 180º< x < 5 . 180º
4
 ⇒ 180º< x < 225º ⇒ x ∈ 3º quadrante, logo o cosseno tem valor 
negativo. 
 Então: cos x = − 15
4
. 
 b) Para calcular o valor da tg x: tg x = sen x
cos x
⇒ tg x =
1
4
− 15
4
⇒ g x = − 15
15
. 
 c) Para calcular o valor da sec x: sec x = 1
cos x
⇒ sec x = 1
− 15
4
⇒ sec x = − 4 15
15
. 
 2) Dado cossec x = 7
4
 , com π
2
< x < π , determinar o valor de cos x. 
 Solução: 
 Como cossec x = 1
sen x
 ⇒ 7
4
= 1
sen x
⇒ 7 . sen x = 4⇒ sen x = 4
7
. 
 Utilizando a propriedade fundamental: 
 sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ 4
7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ cos2 x = 1⇒ cos2 x = 33
49
⇒ cos x = ± 33
7
. 
 Sendo π
2
< x < π ⇒ 90º < x < 180º ⇒ x ∈ 2º quadrante, temos que cos x = − 33
7
. 
 
RELAÇÕES DECORRENTES DAS FUNDAMENTAIS 
 
 A partir das relações fundamentais, podemos chegar a outras relações que também são importantes. São elas: 
• Dividindo-se a relação fundamental por cos2 x, obtemos: 
sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ sen
2 x
cos2 x
+ cos
2 x
cos2 x
= 1
cos2 x
 ⇒ tg2 x + 1 = sec2 x, para x ≠ π
2
+ k . π, k ∈  . 
• Dividindo-se a relação fundamental por sen2 x, obtemos: 
sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ sen
2 x
sen2 x
+ cos
2 x
sen2 x
= 1
sen2 x
 ⇒ 1 + cotg2 x = cossec2 x, para x ≠ k π, k ∈ . 
 
Exemplos 
Do triângulo OPxP, triângulo retângulo, temos: 
• = 1; 
• = cos x, e; 
• = = sen x. 
Pelo Teorema de Pitágoras, vem: 
⇒ (sen x)2 + (cos x)2 = 12 ⇒ 
sen2 x + cos2 x = 1 
que é denominada de relação trigonométrica fundamental e é válida 
para todos os valores reais de x. 
 
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 1) Dado sen x = 2
2
 calcular o valor da expressão A = sec
2 x −1
tg2 x +1
. 
 Solução: 
 Utilizando as propriedades anteriormente explicadas, obtém-se: 
 A = sec
2 x −1
tg2 x +1
⇒ A = tg
2 x
sec2 x
⇒ A =
sen2 x
cos2 x
1
cos2 x
⇒ A = sen
2 x
cos2 x
 . cos
2 x
1
⇒ A = sen2 x . 
 Como sen x = 2
2
, então A = sen2 x ⇒ A = 2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
⇒ A = 2
4
⇒ A = 1
2
. 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 Toda igualdade envolvendo funções trigonométricas que se verifique verdadeira para todos os valores do domínio das 
funções envolvidas é uma identidade trigonométrica. 
 Para comprovar que uma igualdade é uma identidade trigonométrica podemos realizar três tipos de resolução: 
• partindo-se do 1º membro da igualdade e fazendo-se operações trigonométricas válidas se chegar ao 2º 
membro da igualdade; 
• resolver separadamente os dois membros da igualdade e chegar ao mesmo resultado, e; 
• subtrair o 2º membro da igualdade do 1º membro e, por intermédio de operações trigonométricas validadas, 
obter com resultado final o valor 0 (zero) 
 
Exemplos 
 
 1) Verifique se, para x ≠ k . π, a igualdade (1 – cos2 x) . (cotg2 x + 1) = 1 é uma identidade trigonométrica. 
 Solução: 
 Vamos partir do 1º membro da igualdade para encontrar o 2º membro. 
 (1 – cos2 x) . (cotg2 x + 1) = sen2 x . cos
2 x
sen2 x
+1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= sen2 x . cos
2 x + sen2 x
sen2 x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 = sen2 x . 1
sen2 x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= sen
2 x
sen2 x
= 1 . 
 Como foi possível partirmos do 1º membro da igualdade e obtermos o 2º membro da igualdade, esta igualdade é uma 
identidade trigonométrica. 
 2) Prove que a igualdade tg x
1+ tg2 x
= sen x
sec x
 é uma identidade trigonométrica para x ≠ π
2
+ k . π . 
 Solução: 
 Procedendo a simplificação de cada um dos membros da igualdade separadamente, obtemos: 
 a) Para o 1º membro: tg x
1+ tg2 x
=
sen x
cos x
sec2 x
=
sen x
cos x
1
cos2 x
= sen x
cos x
 . cos
2 x
1
= sen x . cos x 
 b)Para o 2º membro: sen x
sec x
= sen x
1
cos x
= sen x . cos x
1
= sen x . cos x 
 Como obtivemos o mesmo resultado, a igualdade dada é uma identidade trigonométrica. 
 
 3) Demonstrar que a igualdade sec2 x – sen2 x = tg2 x – cos2 x. 
 Solução: 
 Subtraindo o 2º membro do 1º membro da igualdade temos: 
 (sec2 x – sen2 x) – (tg2 x – cos2 x) = sec2 x – sen2 x – tg2 x + cos2 x = 
 (sec2 x – tg2 x) – (sen2 x + cos2 x) = (tg2 x + 1 – tg2 x) – (1) = 1 – 1 = 0. 
 Como obtivemos como resultado 0 (zero), a igualdade dada é uma identidade trigonométrica. 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 Vamos explicar a resolução de equações trigonométricas por intermédio de exemplos. Quando não for explicitado o 
conjunto universo, devemos considerá-lo como sendo U = . 
 
Exemplos 
 1) Resolver a equação sen x = 1
2
. 
 Solução: 
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 Na 1ª determinação – 1ª volta do ciclo trigonométrico – os arcos que possuem seno igual a 1
2
 são π
6
 e 5π
6
. Então, 
em todas as voltas teremos: x = π
6
+ 2 . k . π ou x = 5π
6
+ 2 . k . π . 
 Logo: S = x ∈ | x = π
6
+ 2 . k . π ou x = 5π
6
+ 2 . k . π, k ∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
. 
 
 2) Determinar o valor de x de maneira que se tenha 2 . cos x = – 1. 
 Solução: 
 2 . cos x = – 1 ⇒ cos x = − 1
2
. 
 Na 1ª determinação, os arcos que apresentam cos x = − 1
2
 são 2π
3
 e 4π
3
. 
 Portanto, em todas as voltas teremos x = 2π
3
+ 2 . k . π ou x = 4π
3
+ 2 . k . π, k ∈ . 
 Assim: S = x ∈ | x = 2π
3
+ 2 . k . π ou x = 4π
3
+ 2 . k . π, k ∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
. 
 
 3) Resolver a equação tg x = 1. 
 Solução: 
 Os arcos que possuem tg x = 1, na 1ª determinação,são π
4
 e 5π
4
. Então, em todas as voltas teremos: 
 x = π
4
+ k . π , pois 5π
4
= π
4
+ π . 
 Assim: S = x ∈ | x = π
4
+ k . π, k ∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
. 
 
 4) Resolver a equação sen 2x = 1. 
 Solução: 
 Na 1ª determinação apenas para π
2
 se tem o seno igual a 1. Assim, devemos fazer: 2x = π
2
 ⇒ x = π
4
. 
 Assim: S = x ∈ | x = π
4
+ k . π, k ∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
. 
 
 5) Resolver a equação cos x − π
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 3
2
. 
 Solução: 
 Como na 1ª determinação, π
6
 e 11π
6
 possuem cosseno igual a 3
2
, teremos: 
• x − π
3
= π
6
⇒ x = π
6
+ π
3
⇒ x = 3π
6
⇒ x = π
2
 
• x − π
3
= 11π
6
⇒ x = 11π
6
+ π
3
⇒ x = 13π
6
⇒ x = 13π −12π
6
⇒ x = π
6
 
 Assim: S = x ∈ | x = π
2
+ 2 . k . π ou x = π
6
+ 2 . k . π, k ∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule o valor de: 
Observação: use calculadora e forneça o resultado com três algarismos após a vírgula 
a) tg 210º. b) tg 300º c) tg 3π
4
 d) tg 
4π
3
 e) tg − 5π
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 f) tg 5π
6 .
 g) tg (– 310º). 
h) tg 244º. i) tg (– 55º). j) tg 37π
18
. 
2) Represente a expressão geral de x, em radianos, para que se tenha tg x = 1. 
3) Determine o valor de tg x sabendo que 3π
2
≤ x ≤ 2π e sen x = − 3
5
. 
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4) Se x ∈[90º , 180º], cos x = − 3 2
5
 e tg x = − 14
6
 , qual é o valor de sen x? 
 
5) Sabendo que sen θ = − 3
5
 e cos θ = 4
5
, determine: 
a) a que quadrante pertence o ângulo θ? b) qual o valor de tg de θ? 
 
6) Determine, quando existir, o valor de: 
a) cos 3π
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. b) tg 3π
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. c) tg 0º. d) tg (– 60º). e) sen 35π
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. f) cos 28π
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 
7) Determine, no intervalo [0 , 2π ], o valor de x, em graus, de maneira que se tenha: 
 a) sen x = 0. Resp.: 0º, 180º ou 360º. b) cos x = 0. Resp.: 90º ou 270º. c) tg x = 0. Resp.: 0º, 180º ou 360º. 
 
8) Para x ∈, dê a expressão geral de x, nos seguintes casos: 
a) sen x = 0. b) cos x = 0. c) tg x = 0. 
9) Encontre o valor da expressão dada por cos 510º + tg 3π
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 10) Determine os valores de: 
 a) sec 45º. b) cotg 60º. c) cotg 210º. d) cossec 30º. e) cossec 315º. f) cotg 135º. 
 
 11) Determine o valor de: 
 a) cotg 990º. b) cotg 1.440º. c) cotg 17π
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. d) sec 540º. e) cossec 11π
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. f) cossec 9π
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 12) Determine o valor da medida “m”, m ∈, de modo que 3 . cot g x −m = 1
 
e x ∈ 30º , 60º ⎤⎦ ⎡⎣ . 
 
 13) Determine o domínio das funções: 
 a) y = cotg ( x + 30º). b) y = cotg 2x + π
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. c) y = sec x + π
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. d) y = cossec 3x − π
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 14) Determine m ∈IR tal que tg α = m −1
2
 e cotg α = 8. 
 15) Qual é o conjunto verdade da equação cossec x = 2 no intervalo 0 ≤ x < 2 π? 
 
 16) Determinar os valores das demais funções trigonométricas de uma arco x quando: 
 a) sen x = − 1
2
 e 3π
2
< π < 2π . b) cos x = 1
3
 e 0 < x < π
2
. c) cossec x = 2 e π < x < 3π
2
. 
 d) tg x = 3 e 0 < x < π
2
. 
 17) Sendo cos x = 4
5
 e 0 < x < π
2
 calcule o valor de sen2 x – 3 . sen x. 
 18) Sabendo que cos a = − 5
5
 e π
2
< x < π , determine o valor de (1 + sen a) . (1 – sen a). 
 19) Dado cos x = 1
2
 e 0 < x < π
2
, determine o valor de sec x + cossec x. 
 20) Se cos a = 1
2
 e 0 < a < π
2
, qual é o valor da expressão y = cossec a − sen a
sec a − cos a
? 
 21) Simplifique as expressões dadas abaixo: 
 a) y = 
sec x − cossec x
1− cotg x
 b) y = (sec x – cos x) . (cossec x – sen x) . (tg x + cotg x). 
 22) Determine o valor de A = cot g x −1
cossec x − sec x
, sendo cos x = 
1
2
. 
 23) Considerando sen x = 3
5
, qual o valor da expressão y = sec x − cos x
tg x − cot g x
? 
 24) Para cos x = 
1
2
, qual o valor da expressão y = cossec x − sen x
cotg x . sec x
+ sec x ? 
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 9 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 25) O números reais “m” e “x” satisfazem, simultaneamente, as condições sen x = m – 1 e cos x = 1−m2 . Determine 
o valor de “m”? 
 
 26) Se m = sen x + cos x e n = sen x – cos x, qual o valor de m2 + n2? 
 
 27) Demostre as seguintes identidades trigonométricas: 
 Observação: este exercício não apresentará respostas, pois o enunciado já está afirmando que são identidades 
trigonométricas. Cabe a você, aluno, mostrar que as expressões são verdadeiras. 
 a) cos x . tg x . cossec x = 1 b) tg x . cos x = sen x c) (1 + sen x) . (1 – sen x) = cos2 x 
 d) 
sen x
1+ cotg x
+
cos x
1+ tg x
=
1
sen x + cos x
 e) tg2 x . cossec2 x = 1 + tg2 x f) (tg x + 1) . (1 – tg x) = 2 – sec2 x 
 g) (tg x – sen x)2 + (1 – cos x)2 = (sec x – 1)2 h) (sen x + tg x) . (cos x + cotg x) = (1 + sen x) . (1 + cos x) 
 
 28) Resolva as equações abaixo: 
 a) cos x = 
2
2
. b) tg x = − 3 . c) 2 . sen x = – 1. d) 1 + cos x = 0. e) sen x = 2 . f) sec x = 2 . 
 29) Resolva as equações trigonométricas dadas abaixo: 
 a) sen 3x = 1. b) cos x +
π
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = – 1. c) tg 5x = 0. d) sen 3x −
π
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 
2
2
. 
RESPOSTAS 
 1) a) 3
3
 b) − 3 c) – 1 d) 3 e) 3
3
 f) − 3
3
 g) 1,192 h) 2,050 i) – 1,428 j) 0,176 
 2) x ∈  | x = π
6
 rad + k . π , com k ∈ . 3) − 3
4
 4) 7
6
. 5) a) 4º quadrante. b) tg θ = − 3
4
 6) a) − 2
3
 b) – 1. 
 c) 0. d) − 3 e) − 1
2
 f)
 
− 1
2
 7) a) 0º, 180º ou 360º. b) 90º ou 270º. c) 0º, 180º ou 360º. 
 8) a) x ∈ | x = k . π , com k ∈. b) x ∈ | x = π
2
 + k . π , com k ∈. c) x ∈ | x = k . π , com k ∈. 9) − 2 + 3
2 
10) a) 2 b) 3
3
 c) 3 d) 2 e) − 2 f) – 1. 11) a) 0 b) Não existe. c) 1 d) – 1 e) – 1 f) 2 
12) m∈ | 0 <m < 2{ } . 13) a) m∈ | − 30º+ k .180º, k ∈ { } b) x ∈ | − π8 + k .
π
2
, k ∈ 
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 c) x ∈ | 3π
8
+ k . π, k ∈ 
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 
d) x ∈ | π
18
+ k . π
3
, k ∈ 
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 14) m = 
5
4
. 15) V = π
4
 , 3π
4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
 16) a) cos x = 3
2
; tg x = − 3 
3
; cotg x = − 3 ; 
sec x = 2 3 
3
 e cossec x = – 2. b) sen x = 
2 3
3
; tg x = 2 2 ; cotg x =
2
4
; sec x = 3 e cossec x = 
3 2
4
. c) sen x = − 2
2
; 
cos x =− 2
2
; tg x = 1; cotg x = 1 e sec x = −  2 . d) sen x = 3
2
; cos x =
1
2
; cotg x = 
3
3
 e sec x = 2 e cossec x =
2 3
3
. 
17) − 36
25
. 18) 
1
5
. 19) 2 2 . 20) y = 
3
9
. 21) a) y = sec x. b) y = 1. 22) A = 
1
2
. 23) 
27
125
 24) 
9
4
. 
25) m = 
1
2
. 26) 2 27) Respostas individuais 28) a) S = x ∈IR | x =
π
4
+ 2kπ ou x =
7π
4
+ 2kπ , k ∈Z{ } . 
b) S = x ∈IR | x =
2π
3
+ kπ , k ∈Z{ } . c) S = x ∈IR | x = 7π6 + 2kπ  ou x = 11π6 + 2kπ  , k ∈Z{ } . 
d) S = x ∈IR | x = π + 2kπ , k ∈Z{ } . e) S = ∅, pois qualquer que seja x ∈IR, sen x ∈ [ – 1 , 1 ], e 2 > 1. 
f) S = x ∈IR | x =
π
4
+2kπ  ou x = 7π
4
+ 2kπ  , k ∈Z{ } . 29) a) S = x ∈IR | x = π6 + k . 2π3 , k ∈Z{ } . 
b) S = x ∈IR | x =
5π
6
+ 2kπ , k ∈Z{ } . c) S = x ∈IR | x = k . π5 , k ∈Z{ } . 
d) S = x ∈IR | x =
π
6
+ k . 
2π
3
 ou x = π
3
+ k . 
2π
3
 , k ∈Z{ } .