AP2 2010.1

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
2a Prova Presencial - 1o. semestre de 2010
Profa. Ana Maria Farias
1. (2,5 pontos) Uma amostra de tamanho 20 de uma população Normal forneceu os seguintes
resultados:
P20
i=1Xi = 23, 75 e
P20
i=1X
2
i = 145, 62. Construa um intervalo de confiança para
média populacional com nível de confiança de 90%.
Solução
Dos dados do problema resulta
X =
23.75
20
= 1, 1875
S2 =
1
19
µ
145.62− 23.75
2
20
¶
= 6, 1798
e
X ∼ N(μ;σ2) =⇒ X − μS√
n
∼ t(n− 1)
90% de confiança =⇒ t19;0,05 = 1, 7291 e o intervalo de confiança é"
1.1875− 1.7291×
r
6.1798
20
; 1.1875 + 1.7291×
r
6.1798
20
#
= [0, 22635; 2, 14865]
2. Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal,
com desvio padrão de 2 kg. A diretoria da firma que fabrica este produto resolveu que tiraria o
produto da linha de produção se a média do consumo mensal per capita fosse menor que 8 kg.
Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se
uma amostra de 25 indivíduos e verificou-se que
P25
i=1Xi = 180 kg, onde Xi representa o
consumo mensal do i-ésimo indivíduo da amostra.
(a) (0,5 ponto) Formule o problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as
hipóteses nula e alternativa.
Solução
Seja X a variável aleatória que representa o consumo mensal do produto, em kg. Então,
X ∼ N(μ; 4).
As suposições de interesse para o problema são
μ < 8
μ ≥ 8
Logo,
H0 : μ = 8
H1 : μ < 8
1
(b) (0,5 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%.
Solução
α = 5%, teste unilateral: z0,05 = 1, 64 e a regra de decisão é rejeitar H0 se
X − 8
2√
25
< −1, 64⇐⇒ X < 8− 1.64× 2
5
= 7, 344
(c) (0,5 ponto) Com base na amostra colhida, determine a decisão a ser tomada pela
diretoria.
Solução
Para a amostra em questão temos que n = 25 e x = 18025 = 7, 2. Logo, o valor observado
da estatística de teste é
7.2− 8
2
5
= −2, 0 < −1, 64
Como o valor observado da estatística de teste ou da média está na região crítica (−2, 0 <
−1, 64 ou 7, 2 < 7, 344), devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, as evidências amostrais
indicam que o consumo mensal per capita é menor que 8 kg e, portanto, a diretoria deve
retirar o produto da linha de produção.
(d) (0,5 ponto) Calcule o valor P.
Solução
Como o valor observado da estatística é −2, 0 e o teste é unilateral, o valor P é
Pr(Z ≤ −2, 0) = Pr(Z ≥ 2, 0) = 0, 5− tab(2, 0) = 0.5− 0.47725 = 0, 02275
e, portanto, rejeitamos a hipótese nula a qualquer nível de significância α ≥ 0, 02275 ( o
que inclui o nível de 5%). Em termos da média amostral:
Pr(X < 7, 2) = Pr
Ã
Z <
7.2− 8
2
5
!
= Pr(Z < −2, 0) = 0, 02275
(e) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade β de se tomar uma decisão errada se, na realidade,
a média populacional for μ = 7, 8 kg?
Solução
Se μ = 7, 8, decisão errada equivale a manter o produto na linha de produção. Então,
queremos
Pr
∙
X − 8
0, 4
≥ −1, 64 |X ∼ N
µ
7, 8;
4
25
¶¸
= Pr
∙
X ≥ 7, 344 |X ∼ N
µ
7, 8;
4
25
¶¸
= Pr
µ
Z ≥ 7.344− 7.8
0.4
¶
= Pr(Z ≥ −1, 14) = 0, 5 + tab(1.14) = 0, 5 + 0, 37286
= 0, 87286
3. Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que fabrica
é de, no máximo, 23 mg por cigarro. A pedido de um cliente, um laboratório realiza análise
em 6 cigarros, obtendo os seguintes níveis (em mg): 27, 24, 21, 25, 26, 22. Suponha que a
distribuição do índice de nicotina seja aproximadamente normal.
2
(a) (0,5 ponto) Formule o problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as
hipóteses nula e alternativa.
Solução
Se X representa o nível de nicotina, então X ∼ N(μ;σ2) e X − μS√
n
∼ t(n− 1)
As suposições do problema são:
μ ≤ 23
μ > 23
Logo,
H0 : μ = 23
H1 : μ > 23
(b) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 10%.
Solução
α = 10%; 5 graus de liberdade: t20;0,05 = 1, 476. A regra de decisão é rejeitar H0 se
X − 23
S√
n
> 1, 476⇐⇒ X > 23 + 1.476×
r
5.35
6
= 24, 394
(c) (1,0 ponto) Com base na amostra colhida, estabeleça a conclusão do cliente sobre o
fabricante. Certifique-se de estabelecer sua conclusão em termos não-técnicos.
Solução
Para a amostra obtida temos:
X =
6P
i=1
Xi
6
=
27 + 24 + 21 + 25 + 26 + 22
6
=
145
6
= 24, 167
S2 =
1
5
³
272 + 242 + 212 + 252 + 262 + 222 − 6× (24.167)2
´
=
=
1
5
[3531− 3504.263] ≈ 5, 35
e o valor observado da estatística de teste é
t0 =
24.167− 23q
5.35
6
= 1, 2359
Como o valor observado da estatística de teste ou da média amostral não pertence à
região crítica (1, 2359 < 1, 476 e 24, 167 < 24, 394) não rejeitamos a hipótese nula, ou
seja, as evidências amostrais indicam que o nível médio de nicotina é no máximo 23 mg
por cigarro.
4. (2,5 pontos) Uma pesquisa revelou que, das 500 donas de casas consultadas, 300 preferiam
o detergente de marca A. Teste a hipótese de que a proporção populacional das donas de
casa que preferem o detergente A seja de, no máximo, 50%, ao nível de 4% de significância.
Certifique-se de especificar as hipósteses nula e alternativa.
3
Solução
As suposições do problema são:
p ≤ 0, 5
p > 0, 5
Logo,
H0 : p = 0, 5
H1 : p > 0, 5
Aproximação normal e teste unilateral: z0,04 = 1, 75
Sob H0,o valor da estatística de teste é:
z0 =
0.6− 0.5q
0.5×0.5
500
= 4, 4721
Como o valor observado da estatística de teste encontra-se an região crítica, rejeitamos a
hipótese nula, ou seja, esses dados indicam que a proporção de donas de casa que preferem o
detergente A é maior que 50%.
Resultados importantes e fórmulas
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p)
n
¶
(amostra grande)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
"
nP
i=1
X2i −
(
P
Xi)2
n
#
4