NOTAS DE AULA DG I_PARTE 3

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Eliza Maria Baptistella Lima 
 
Notas de Aula 
 
 
 
 
Prática de Ensino I 
 
 
 
 
 
 
 
UNINOVE 
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Eliza Maria Baptistella Lima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Eliza Maria Baptistella Lima 
PRÁTICA DE ENSINO I 
 
1- INTRODUÇÃO 
I . As regras do Desenho Geométrico: 
 
Regra 1: os únicos instrumentos permitidos no Desenho Geométrico ( além de 
lápis e papel) são a régua não graduada e o compasso. 
 
Regra 2: As operações gráficas que podem ser efetuadas com os instrumentos 
acima são: 
 
i) assinalar um ponto, arbitrário sobre uma figura já desenhada no papel; 
ii) traçar uma reta arbitrária, mas passando por um ponto conhecido; 
iii) traçar uma reta que passa por dois pontos conhecidos; 
iv) traçar um arco de circunferência de centro e raio ou ambos arbitrários, ou 
um deles conhecido e outro arbitrário, ou ambos conhecidos. 
 
Queremos ressaltar que essas são as únicas operações gráficas permitidas à 
régua e ao compasso. 
Dessa forma, mesmo que a régua tenha escala, ela não pode ser utilizada para 
nenhuma operação gráfica a única exceção permitida é a colocação no papel 
não podemos usar a régua para, por exemplo, determinar o ponto médio de um 
segmento, nem para construir ângulo reto ou traçar retas paralelas usando os 
bordos da régua etc. 
 
Regra 3: É proibido fazer contas com as medidas dos dados. Considerações 
algébricas são permitidas na dedução de um problema, desde que a resposta 
seja depois obtida graficamente obedecendo-se as regras anteriores. 
 
 
 
 
 
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II . Simbologia: 
 
A, B, C ................ ponto (qualquer letra maiúscula) 
r, s, t, u ............... reta, semirreta ou segmento de reta (qualquer letra 
minúscula) 
r = .................. reta r que passa pelos pontos A e B 
r = ................. semirreta r de origem em A que se dirige para B 
r = ..................segmento de reta r com extremos A e B 
α, , , .............. plano ( qualquer letra minúscula do alfabeto grego) 
A C .................... ângulo de vértice B e lados e 
 .......................... o ponto B é o vértice do ângulo 
∠ .......................... ângulo 
ΔABC................... triângulo de vértices A, B e C 
a // b.................... a é paralelo a b 
a⊥b..................... a é perpendicular a b 
=......................... igual 
≠........................ diferente 
≡........................ coincidente ou equivalente 
 ....................... congruente 
 ....................... semelhante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
I – Polígonos 
As figuras geométricas planas formadas pela reunião de uma linha poligonal 
fechada simples com a sua região interna são denominadas polígonos. 
 
 
 
 
 
 
 1. Triângulo: é um polígono de três lados: 
Vértices: 
Lados: 
Ângulos: 
 
 
 
Classificação dos triângulos quanto aos lados: 
 
 
 
 Triângulo equilátero 
 
 
 
 
 
 
Tem os três lados congruentes 
 
 
 
Triângulo isósceles 
 
 
 
 
 
Tem dois lados congruentes 
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Classificação dos triângulos quanto aos ângulos: 
 
 
Triângulo acutângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem todos os ângulos agudos ( menor que 90º ) 
 
 
Triângulo obtusângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem um ângulo obtuso ( maior que 90º ) 
 
 
Triangulo retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem um ângulo reto ( igual a 90º ) 
 
 
 
 
 
Triângulo escaleno 
 
 
 
 
 
 
 
Tem os três lados com medidas diferentes 
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2. Quadrilátero: é um polígono de quatro lados: 
 
 
 
 
 
2.1. Trapézio: é um quadrilátero que tem apenas 2 lados paralelos chamados 
de BASE. 
Classificação dos trapézios: 
 
 
 
Trapézio isósceles 
 
 
 
 
 
 
 
 
é aquele cujos lados não paralelos são congruentes. 
 
 
 
Trapézio retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
é aquele no qual um dos lados não paralelos é 
perpendicular às bases. 
 
 
 
Trapézio escaleno 
 
 
 
 
 
 
 
 
é aquele cujos lados não paralelos não são 
congruentes. 
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2.2.Paralelogramo: é um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. 
 
 
 
 
 
Propriedades dos paralelogramos: 
• Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. 
• Em todo paralelogramo dois lados opostos quaisquer são congruentes. 
a) Retângulo: é um paralelogramo que tem os 4 ângulos congruentes (retos). 
 
 
 
 
 
 
b) Losango: é um paralelogramo que tem os 4 lados congruentes. 
Propriedade dos losangos: todo losango tem diagonais perpendiculares que se 
cortam ao meio. 
 
 
 
 
 
 
c) Quadrado: é um paralelogramo que tem os 4 lados congruentes e os 4 
ângulos congruentes (retos). 
 
 
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II - Circunferências: 
 
1. Definição: 
Circunferência é o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto 
O dado é igual a uma distância r (não nula) dada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na circunferência acima, destacamos: 
• o ponto O é o centro; 
• o segmento OP (de medida r) é o raio; 
• o segmento AB (de medida 2r) é o diâmetro; 
• o segmento CD é uma corda; 
 
2. Arcos de circunferência 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Ângulo central e ângulo inscrito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. INSTRUMENTOS DE DESENHO 
O uso adequado dos materiais de desenho é indispensável, permitindo 
desenvolver melhores hábitos de limpeza, ordem e precisão. Daremos a seguir 
algumas instruções sobre os principais instrumentos usados no Desenho 
Geométrico: 
 
 A régua: É o instrumento usado para traçar retas. 
 
 O compasso: É o instrumento usado para traçar circunferências e para 
transportar medidas. 
A ponta seca e a grafite devem estar sempre no mesmo nível. 
 
O par de esquadros: Serão utilizados para traçar retas paralelas e 
perpendiculares. 
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4 . CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
I - Retas perpendiculares: 
1. Definições: 
1.1 Retas concorrentes: Duas retas r e s são concorrentes quando têm um 
único ponto comum. 
 
r ∩ s = {P} 
 
 
1.2 Retas perpendiculares: Duas retas concorrentes são perpendiculares 
quando formam quatro ângulos congruentes, ou seja, de medidas iguais a 90º. 
 
 
 
 
2. Construção de retas perpendiculares: 
Traçar a reta s, perpendicular à reta r, passando pelo ponto p pertencente à r. 
 
1º Processo: 
• São dados a reta r e o ponto P. 
• Com centro no ponto P e raio qualquer, traçar um arco que intercepta a reta r 
nos pontos A e B. 
• Determinar o ponto C, traçando arcos com centros nos pontos A e B de 
mesmo raio, porém com medida maior do que a metade do segmento AB. 
• Traçar a reta s passando por P e C. 
• A reta s é perpendicular à reta r. 
 
 
 
 
 
 
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2º Processo: 
• São dados a reta r e o ponto P. 
• Com centro no ponto P e raio qualquer, traçar um arco que intercepta a reta r 
no ponto A. 
• Com centro no ponto A e raio igual ao anterior, traçar um arco que corta o 
arco anterior no ponto B. 
• Com o mesmo raio, determinar o ponto C com um arco de centro em B e o 
ponto D com um arco de centroem C. 
• Traçar a reta s passando por P e D. 
• A reta s é perpendicular à reta r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º Processo: para P próximo da margem do papel. 
• São dados a reta r e o ponto P. 
• Marcar um ponto C qualquer, fora da reta r. 
• Com centro no ponto C, traçar um arco passando por P que intercepta a reta r 
no ponto A. 
• Determinar o ponto B traçando a reta AC. 
• Traçar a reta s passando por P e B. 
• A reta s é perpendicular à reta r. 
 
 
 
 
 
 
 
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Traçar a reta s, perpendicular à reta r, passando pelo ponto P que não pertence 
à r. 
 
1º Processo: 
• São dados a reta r e o ponto P. 
• Com centro no ponto P, traçar um arco que intercepta a reta r nos pontos A e 
B. 
• Determinar o ponto C, traçando arcos com centros nos pontos A e B de 
mesmo raio, porém com medida maior do que a metade do segmento AB. 
• Traçar a reta s passando por P e C. 
• A reta s é perpendicular à reta r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Processo: 
• São dados a reta r e o ponto P. 
• Marcar, em r, dois pontos A e B quaisquer. 
• Com centro no ponto A e raio AP, traçar um arco. 
• Com centro no ponto B e raio BP, traçar um arco que corta o arco anterior no 
ponto C. 
• Traçar a reta s passando por P e C. 
• A reta s é perpendicular à reta r. 
 
 
 
 
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3º Processo: para P próximo da margem do papel. 
• São dados a reta r e o ponto P. 
• Marcar, em r, dois pontos A e B quaisquer. 
• Com centro nos pontos A e B traçar dois arcos ambos passando pelo ponto P. 
• Os arcos construídos interceptam-se também no ponto C. 
• Traçar a reta s passando por P e C. 
• A reta s é perpendicular à reta r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II - Mediatriz de um segmento: 
1. Definições: 
 
1.1- Ponto médio: Um ponto M é chamado ponto médio do segmento AB se 
M divide AB em dois segmentos congruentes AM e MB. 
 
 
 
1.2- Mediatriz: Uma reta m é chamada mediatriz de um segmento AB se m é 
perpendicular à AB e passa pelo ponto médio M de AB . 
 
 
 
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2. Construção de mediatriz: 
 
1º Processo: 
• É dado um segmento AB . 
• Com centros nos pontos A e B e raio qualquer, porém maior que a metade da 
medida de AB , traçar dois arcos que se interceptam nos pontos C e D. 
• Traçar a reta m passando por C e D. 
• A reta m é a mediatriz do segmento AB . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Processo: 
• É dado um segmento AB . 
• Determinar o ponto C, intersecção de dois arcos de mesmo raio (maior que a 
metade da medida de AB) e centros em A e B. 
• Determinar o ponto D, do mesmo lado que o ponto C construído, procedendo 
de modo análogo ao item anterior. 
• Traçar a reta m passando por C e D. 
• A reta m é a mediatriz do segmento AB . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3º Processo: para segmentos maiores. 
• É dado um segmento AB . 
• Determinar pontos auxiliares A. e B. tais que AA. = BB.. 
• Traçar a reta m mediatriz do segmento auxiliar ., usando o 1º ou o 2º 
processo. 
• A reta m é a mediatriz do segmento AB . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III . Retas paralelas: 
 
1. Definições: 
Retas paralelas: Duas retas r e s, de um mesmo plano, são paralelas quando 
não têm ponto comum. 
 
r ∩ s = 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2- Construção de retas paralelas: 
Traçar a reta s, paralela à reta r, passando pelo ponto P. 
 
1º Processo: 
• São dados a reta r e o ponto P. 
• Com centro no ponto P e raio qualquer, traçar um arco que intercepta a reta r 
no ponto A. 
• Determinar o ponto B, traçando um arco com centro no ponto A e raio igual ao 
anterior. 
• Com centro no ponto B e raio igual ao anterior, traçar um arco que corta o 
primeiro arco construído no ponto C. 
• Traçar a reta s passando por P e C. 
• A reta s é paralela à reta r. 
 
 
 
 
 
 
 
2º Processo: 
• São dados a reta r e o ponto P. 
• Com centro no ponto P e raio qualquer, traçar um arco que intercepta a reta r 
no ponto A. 
• Determinar o ponto B, traçando um arco com centro no ponto A e raio igual ao 
anterior. 
• Com centro no ponto A e raio igual à medida de BP, traçar um arco 
determinando o ponto C. 
• Traçar a reta s passando por P e C. 
• A reta s é paralela à reta r. 
 
 
 
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3º Processo: 
• São dados a reta r e o ponto P. 
• Marcar um ponto O qualquer na reta r. 
• Com centro no ponto O e raio OP, traçar um arco que intercepta a reta r nos 
pontos A e B. 
• Com centro no ponto B e raio igual à medida de AP, traçar um arco 
determinando o ponto C. 
• Traçar a reta s passando por P e C. 
• A reta s é paralela à reta r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º Processo: 
• São dados a reta r e o ponto P. 
• Marcar dois pontos A e B quaisquer na reta r. 
• Com centro no ponto A e raio AP, traçar um arco que intercepta a reta r no 
ponto P1. 
• Com centro no ponto B e raio igual ao anterior, traçar um arco que intercepta 
a reta r no ponto Q1. 
• Com centro no ponto Q1. e raio igual à medida de PP1, traçar um arco 
determinando o ponto Q. 
• Traçar a reta s passando por P e Q. 
• A reta s é paralela à reta r. 
 
 
 
 
 
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Traçar a reta s, paralela à reta r, conhecendo-se a distância d entre elas. 
 
• São dados a reta r e a distância d. 
• Marcar um ponto A qualquer na reta r. 
• Traçar, a partir de A, uma reta p perpendicular à reta r. 
• Com centro no ponto A e raio igual à distância dada, traçar um arco que 
intercepta a reta p no ponto P. 
• Pelo ponto P, trace a reta s paralela à reta r utilizando qualquer um dos 
processos anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
1. Trace as retas m e n perpendiculares à reta r, pelos pontos P e Q, 
respectivamente, aplicando o 1º processo: 
 
 
 
 
 . Q 
 
 I 
 P 
 
 
r 
 
 
 
 
 
 
2. Trace a reta t perpendicular ao raio OT de uma circunferência de raio 
2,5cm pela extremidade T, aplicando o 1º processo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Construa o retângulo ABCD cujos lados medem 30mm e 45mm.. 
Aplique o 1º processo para o traçado da perpendicular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Trace a reta r perpendicular ao segmento AB pela extremidade A, 
aplicando o 2º processo: 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
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5. Construa o triângulo retângulo ABC cujos catetos medem 
respectivamente 4,5cm e 5,5cm. Utilize o 2º processo para traçar a 
perpendicular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Construa o trapézio retângulo ABCD cujas bases medem 5,5cm e 3,0cm 
e sua altura é de 4,0cm. Aplique o 2º processo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Trace a reta s perpendicular ao segmentoAB pela extremidade A, 
aplicando o 3º processo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
8. Construa o triângulo retângulo ABC cujos catetos medem 5,5cm e 
5,5cm. Utilize o 3º processo para traçar a perpendicular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. Dado o triângulo ABC, trace r ⊥ pelo ponto A, s ⊥ pelo ponto B e 
t ⊥ pelo ponto C. Utilize o 1º processo. 
 
 C 
 
 
 
 
 
 B 
 
 A 
 
 
O que você observou? 
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________ 
10. Trace as retas r, s e t perpendiculares à reta m, pelos pontos R, S e T 
utilizando o 1º, 2º e 3º processos respectivamente: 
 
 
 
 
 .R 
 
 .T 
 
 
 m 
 
 
 .S 
 
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11. Pelo ponto médio do segmento PQ, trace a reta s perpendicular à reta r: 
 
 P 
 
 Q 
 
 
 
 
 r 
 
 
 
 
 
12. Construa um triangulo isósceles sabendo que sua base mede 60 mm e a 
altura desse triângulo mede 55 mm. M é o ponto médio da base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13. Trace m, mediatriz do segmento AB e n, mediatriz do segmento BC, 
aplicando o 2º processo. 
 
 
 A 
 
 
 
 
 
 
 
 B C 
 
 
Determine o ponto P, tal que {P} = m ∩ n. P é ponto médio do segmento AC? 
_______________________________________________________________ 
 
 
14. Trace a mediatriz do segmento AB, aplicando o 3º processo: 
 B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
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15. Trace as retas r e s paralelas à reta t, pelos pontos P e Q, respectivamente. 
Aplique o 1º processo: 
 
 
 P . 
 
 
 t 
 
 
 
 
 . Q 
 
 
 
 
 
16. Construa o retângulo ABCD, sabendo que P ∈ CD, utilizando o 1º processo 
de traçado de paralelas: 
 
 
 
 
 . P 
 
 
 
 
 
 A B 
 
 
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17. Trace as retas r e s paralelas à reta t, pelos pontos P e Q, respectivamente, 
aplicando o 2º processo: 
 
 
 P . 
 
 
 
 
 
 
 t 
 
 
 . Q 
 
18. Trace as retas r e s paralelas à reta t, pelos pontos P e Q, respectivamente, 
aplicando o 3º processo: 
 
 
 P . 
 
 
 t 
 
 
 
 
 . Q 
 
 
 
 
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19. Pelo ponto médio do segmento AC, trace a reta s paralela ao segmento BC 
utilizando o 3º processo. Determine o ponto D, tal que {D} = s ∩ AB: 
 
 
 A 
 
 
 
 
 
 
 
 B C 
 
 
 
D é ponto médio do segmento AB?_________________ 
 
20. Trace as retas r e s paralelas à reta t, pelos pontos P e Q, respectivamente, 
aplicando o 4º processo: 
 
 . P 
 
 
 
 
 
 t 
 
 Q . 
 
 
 
 
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21. Trace o feixe de retas paralelas r // s // t // u de modo que d(r,s) = 2 cm, 
d(s,t) = 2,5 cm e d(t,u) = 1,5 cm: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 . TEOREMA DE TALES 
 
Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina, em duas retas 
transversais quaisquer, segmentos proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I – Divisão de Segmentos: 
 
Divisão de Segmentos em partes iguais. 
 
1º Processo: 
• É dado um segmento . 
Como exemplo, vamos dividir em 5 partes iguais: 
• Traçar uma reta r, auxiliar, passando pela extremidade A. 
• Determinar, em r, os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 traçando arcos de mesmo raio 
(qualquer), marcados a partir do ponto A. 
• Traçar um segmento que liga o ponto 5 à extremidade B. 
• Determinar os pontos C, D, E e F em , traçando retas paralelas ao 
segmento B5 que passam pelos pontos 1, 2, 3 e 4. Use o par de esquadros 
para traçar as paralelas! 
• O segmento . fica dividido em 5 partes iguais. 
 
 
 
 
 
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2º Processo: 
• Dado . , traçar por A uma reta r qualquer. 
• Traçar por B uma reta s, paralela a r. 
• Marcar em r, a partir de A, e em s, a partir e B, os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 
traçando arcos de mesmo raio. 
• Determinar os pontos C, D, E e F em ., traçando segmentos que une os 
pares de pontos: A e 5, 1 e 
4, 2 e 3, 3 e 2, 4 e 1, 5 e B, como mostra a figura. 
• O segmento fica dividido em 5 partes iguais. 
 
 
 
 
 
Divisão de Segmentos em partes de medidas proporcionais. 
 
• É dado um segmento . 
Como exemplo, vamos dividir em partes proporcionais a 1, 2 e 3, usando o 
1º processo: 
• Determinar, na reta auxiliar r, os pontos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 traçando arcos de 
mesmo raio (de comprimento u), obtendo um segmento de comprimento igual a 
1u + 2u + 3u = 6u. 
• Determinar os pontos C e D em , traçando retas paralelas ao segmento B6 
que passam pelos pontos 1 e 3. 
• Os pontos C e D dividem em partes proporcionais a 1, 2 e 3. 
 
 
 
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II – Terceira e quarta proporcional: 
1. Definições: 
 
a- Dados a e b, dizemos que x é a terceira proporcional se a, b, b e x formam, 
nessa ordem, uma proporção.Ou seja: 
 
 
 = 
 
 
 
 
b- Dados a, b e c, dizemos que x é a quarta proporcional se a, b, c e x formam, 
nessa ordem, uma proporção. 
Ou seja: 
 
 
 = 
 
 
 
 
2.Construções: 
 
2.1 Dados os segmentos de medidas a, b e c, determinar, nessa ordem, a 
quarta proporcional: 
• Traçar duas retas r e s concorrentes no ponto A. 
• Sobre uma das retas ( por exemplo na reta r), posicionar os segmentos a e b. 
• a = e b = . 
• Na outra reta (reta s), posicionar o segmento c = . 
• Traçar um segmento que liga os pontos B e D. 
• Determinar o ponto E em s, traçando uma reta paralela ao segmento e 
que passa pelo ponto C. 
• Pelo Teorema de Tales, o segmento é a 4ª proporcional. 
 
 
 
 
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2.2 Dados os segmentos de medidas a e b, determinar, nessa ordem, a terceira 
proporcional. 
• Traçar duas retas r e s concorrentes no ponto A. 
• Sobre uma das retas ( por exemplo na reta s), posicionar os segmentos a e b. 
• a = e b = . 
• Na outra reta (reta r), repetir o segmento b = . 
• Traçar um segmento que liga os pontos B e D. 
• Determinar o ponto E em r, traçando uma reta paralela ao segmento e 
que passa pelo ponto C. 
• Pelo Teorema de Tales, o segmento é a 3ª proporcional. 
 
 
 
 
 
 
III – Média geométrica ou Média Proporcional 
1. Definição: Dados a e b, dizemos que x é a média geométrica se a, x, x e b 
formam, nessa ordem, uma proporção. 
Ou seja: 
 
 
 = 
 
 
 ⇒ x2 = ab ⇒ x = 
 
2. Construção: 
• São dados os segmentos de medidas a e b. 
• Traçar em uma reta r, auxiliar, os segmentos a = e b = , consecutivos. 
• Determinar o ponto médio M do segmento . 
• Traçar a semicircunferência de centro em M e raio . 
• Determinar o ponto D na semicircunferência, traçando uma reta perpendicular 
ao segmento e que passa pelo ponto B. 
• O segmento x = é a média geométrica de a e b. 
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IV- Segmento Áureo: 
 
1. Definições: 
1.1 Chama-se retângulo áureo um retângulo ABCD com a seguinte 
propriedade: se o dividirmos em um quadrado e um outro retângulo, o novo 
retângulo é semelhante ao original. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo a e b as dimensões do retângulo original, a definição acima se traduz na 
relação: 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
36 
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2. Construção: 
• É dado o segmento de medida a. 
• Determinar o ponto médio M de . 
• Traçar uma reta perpendicular ao segmento pela extremidade B. 
• Determinar o ponto D na perpendicular tal que = . 
• Traçar uma reta pelos pontos A e D. 
• Com centro em D, traçar uma circunferência de raio . 
• Determinar os pontos E e E1. de intersecção entre a reta e a 
circunferência anterior. 
• = = segmento áureo interno de 
• . =. . = segmento áureo externo de AB: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
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EXERCÍCIOS: 
 
1. Divida o segmento AB = 8,5 cm em 7 partes iguais aplicando o 1º 
processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Divida o segmento AB = 12,5 cm em 9 partes iguais aplicando o 2º 
processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Divida o segmento AB = 10 cm em partes proporcionais a 3, 4 e 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
Eliza Maria Baptistella Lima 
4. Construa um quadrado ABCD cujo perímetro mede EF = 13 cm 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
5. Construa um triângulo ABC, de perímetro DE = 11 cm, sabendo que 
seus lados são proporcionais a 4, 3 e 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Dados a = 20 mm, b = 30 mm e c = 35 mm, determine, nessa ordem, a 
4ª proporcional. 
 
 
 
 
 
 
 
39 
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7. Determine a 4ª proporcional dos segmentos de medidas a, c e b, nessa 
ordem. a = 2,0 cm , b = 3,0 cm e c = 4,0 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Dados a = 30 mm e b = 50 mm, determine, nessa ordem, a 3ª 
proporcional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Determine a 3ª proporcional dos segmentos de medidas a e b, nessa 
ordem. a = 5,0 cm e b = 3,0 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
40 
Eliza Maria Baptistella Lima 
10. Construa o triângulo ABC de lados a = 25 mm, b = 30 mm e c = 3ª 
proporcional de a e b, nessa ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Determine a média geométrica dos segmentos de medidas a = 20 mm e 
b = 30 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Determine a média geométrica dos segmentos de medidas a = 4,5 cm e 
b = 2,5 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
Eliza Maria Baptistella Lima 
13. Construa um quadrado de lado l sabendo que l é a média geométrica 
dos segmentos de medidas a = 2,0 cm e b = 4,0 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Determine o segmento áureo do segmento AB = 4,5 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
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EXERCÍCIOS DE REVISÃO 01 
1) Construa um retângulo de lados 5,0cm e 2,5cm. 
2) Construa um triângulo retângulo de catetos 60mm e 30mm. 
3) Construa um trapézio retângulo dado sua altura de 4,0cm e as bases 
6,0cm e 3,5cm. 
4) Construa um triângulo isósceles cuja base mede 4cm e os lados 5,5cm. 
5) Construa um triângulo eqüilátero de lado 3,5cm. 
6) Construa um triângulo de lados 43mm, 50mm e 60mm. 
7) Trace uma reta perpendicular a reta dada passando pelo ponto A e outra 
pelo ponto B ∈ r 
 . A 
 B r 
 
 
8) Trace uma reta paralela distante de 3,0cm da reta dada. 
 
 
 
 
 
 
9) Divida os segmentos em partes iguais. 
a) = 60mm em 7 partes 
b) = 50mm em 4 partes. 
10) Construa um triângulo cujo perímetro é = 14cm sabendo que seus 
lados são proporcionais à 3, 4 e 5. 
43 
Eliza Maria Baptistella Lima 
11) Construa um quadrado cujo lado é a 4ª proporcional a=2,0cm b=4,0cm e 
c=3,5cm. 
12) Determinar a média geométrica dos segmentos a=5,4cm e b=3,2cm. 
13) Construa um triângulo eqüilátero cujo lado é a média geométrica dos 
segmentos a e b. 
 a b 
 
 
BOM ESTUDO !! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
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6 . ÂNGULOS 
 
I . Definição: 
 
Chama-se ângulo à reunião de duas semirretas de mesma origem não 
coincidentes. 
Vértice: 
Semirretas: 
Ângulo: 
 
 
 
 
II . Transporte de ângulos: 
• É dado um ângulo AÔB de medida α. 
 
 
 
 
 
 
• Traçar uma semirreta de origem O1, que será um dos lados do ângulo a ser 
construído. 
• Com centro no ponto O e raio qualquer, traçar um arco que intercepta os 
lados do ângulo dado nos pontos C e D. 
• Com centro no ponto O1 e raio igual ao anterior, traçarum arco que intercepta 
a semirreta no ponto E. 
• Com centro no ponto E e raio igual à medida de CD, traçar um arco que corta 
o anterior no ponto F. 
• Traçar a semirreta O1F, que é o outro lado do ângulo. 
• Os ângulos AÔB e FÔ1E são congruentes; ou seja, m(AÔB) = m(FÔ1E) = α. 
 
 
 
 
 
 
45 
Eliza Maria Baptistella Lima 
III . Bissetriz de um ângulo: 
 
1. Definição: é a semirreta que tem origem no vértice do ângulo e o divide 
em dois ângulos congruentes. 
 
2. Construção da bissetriz: 
 
Traçar a bissetriz de um ângulo com vértice conhecido. 
 
1º Processo: 
• É dado um ângulo de vértice O. 
• Com centro no ponto O traçar um arco determinando os pontos A e B nos 
lados do ângulo. 
• Determinar o ponto C, traçando arcos com centros nos pontos A e B de 
mesmo raio, porém com medida maior do que a metade do segmento AB. 
• Traçar a semirreta OC que é a bissetriz do ângulo dado. 
 
 
 
 
 
 
 
2º Processo: 
• É dado um ângulo de vértice O. 
• Com centro no ponto O, traçar dois arcos consecutivos de mesmo raio em 
cada um dos lados do ângulo, determinando os pontos A, B, C e D. 
• Determinar o ponto E, traçando os segmentos AD e BC. 
• Traçar a semirreta OE que é a bissetriz do ângulo dado. 
 
 
 
 
 
46 
Eliza Maria Baptistella Lima 
 
Traçar a bissetriz de um ângulo com vértice desconhecido. 
 
• São dadas as retas r e s não paralelas. 
• Traçar uma reta t qualquer que corta as retas r e s nos pontos A e B 
respectivamente, determinando quatro ângulos. 
• Traçar as bissetrizes dos quatro ângulos formados e determinar os pontos C e 
D no cruzamento das bissetrizes. 
• Traçar a reta CD que contém a bissetriz do ângulo determinado por r e s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV . Construção de ângulos: 
 
1) Ângulo de 60º: 
• Traçar uma semirreta qualquer de origem O, que será um dos lados do 
ângulo pedido. 
• Com centro no ponto O e raio qualquer, traçar um arco determinando o ponto 
A na semirreta. 
• Com centro no ponto A e mesmo raio anterior, traçar um arco que corta o 
primeiro no ponto B. 
• Traçar a semirreta OB que é o outro lado do ângulo. 
 
 
 
 
47 
Eliza Maria Baptistella Lima 
2) Ângulo de 30º: 
• Construir um ângulo de 60º. 
• Traçar a bissetriz do ângulo de 60º obtendo um ângulo de medida 60º : 2 = 
30º. 
 
 
 
 
 
3) Ângulo de 75º: 
• Neste problema vamos construir um ângulo cuja medida é igual à soma 
(diferença) das medidas de dois ângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Utilizar os ângulos abaixo para os exercícios a) ao e). 
 
 
 
 
 
 
 
a) Transporte os ângulos α e β: 
 
 
 
 
48 
Eliza Maria Baptistella Lima 
b) Adicione os ângulos α e β: 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Subtraia o ângulo α de β: 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Multiplique o ângulo α por 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Divida o ângulo β por 4: 
 
 
 
 
 
 
49 
Eliza Maria Baptistella Lima 
2. Dados os ângulos α e β: 
 
 
 
 
 α β 
 
 
 
 
Construa o triângulo ΔABC de base AB dada, sabendo que: 
a) o ângulo  mede α e o ângulo B mede β. 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
b) o ângulo  mede 2α e o ângulo B mede 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
 
. 
50 
Eliza Maria Baptistella Lima 
c) o ângulo  mede 
 
 
 e o ângulo B mede 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
d) o ângulo  mede α + β e o ângulo B mede - : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
 
e) o triângulo ABC é retângulo de cateto AB e ângulo B mede . 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
51 
Eliza Maria Baptistella Lima 
3. Trace a bissetriz do ângulo formado pelas retas r e s. 
 
 r 
 
 
 
 
 
 s 
 
 
4. Construa os seguintes ângulos: 
 
a) 15º 
b) 45º 
c) 120º 
d) 105º 
e) 135º 
f) 150º 
g) 90º 
h) 75º 
i) 270º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
Eliza Maria Baptistella Lima 
V . Divisão de ângulos: 
Neste item, veremos como dividir um ângulo em partes congruentes. 
 
1. Divisão em n partes congruentes, sendo n uma potência de 2 (n = 2, 4, 
8,16, 32 ...): 
• Basta traçar bissetrizes. 
n=8 partes 
 
 
 
 
 
 
2. Divisão em 3 partes congruentes: 
2.1 Trissecção do ângulo de 90º: 
• Traçar uma circunferência λ qualquer com centro em O que intercepta os 
lados do ângulo nos pontos A e B. 
• Com mesmo raio de λ, traçar dois arcos com centros em A e em B, obtendo 
os pontos C e D no primeiro arco. 
• As semirretas OC e OD dividem o ângulo em três partes congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Trissecção de um ângulo qualquer: 
• Traçar uma circunferência λ qualquer com centro em O que intercepta os 
lados do ângulo nos pontos A e B. 
• Traçar a bissetriz do ângulo AÔB que corta λ no ponto C. 
• Prolongar os lados do ângulo AÔB, obtendo, em λ, os pontos D e E. 
53 
Eliza Maria Baptistella Lima 
• Determinar o ponto F na bissetriz tal que OC = CF. 
• Unir os pontos D e E ao ponto F, obtendo, em λ, os pontos G e H. 
• As semirretas OG e OH dividem o ângulo em três partes aproximadamente 
iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Divisão em n partes congruentes, sendo n um número que não é 
potência de 2: 
• Traçar uma circunferência λ qualquer com centro em O que intercepta os 
lados do ângulo nos pontos A e B. 
• Prolongar o lado AO do ângulo obtendo, em λ, o ponto C. 
• Determinar o ponto D traçando arcos de centros A e C e raio AC. 
• Nesse exemplo, dividiremos o ângulo em n = 5 partes iguais: 
• Traçar o segmento BD obtendo o ponto E em AC. 
• Dividir o segmento AE em 5 partes iguais. 
• Determinar F, G, H e I em λ, traçando as semirretas de origem em D que 
passam pelos pontos de 
divisão de AE. 
• As semirretas OF, OG, OH e OI dividem o ângulo em 5 partes 
aproximadamente iguais. 
 
54 
Eliza Maria Baptistella Lima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Divida o ângulo abaixo em 7 partes iguais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
Eliza Maria Baptistella Lima 
2. Divida o ângulo abaixo em 5 partes iguais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Divida o ângulo abaixo em 3 partes iguais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Construa o triângulo isósceles ΔDEF sabendo que a base é a média 
geométrica dos segmentos de medidas a = 2,8 cm e b=4,5 cm e que os 
ângulos da base medem 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
56 
Eliza Maria Baptistella Lima 
 
 
 
 
 
 
 
5. Construa um triângulo ΔABC cuja base AB mede 5,0cm e cujos ângulos 
da base medem α= 
 
 
 e = 
 
 
 , onde = 60º.57 
Eliza Maria Baptistella Lima 
7 . LUGARES GEOMÉTRICOS 
 
I . Definição: 
Lugar geométrico é um conjunto de pontos caracterizado por uma propriedade. 
Uma figura é um lugar geométrico se: 
a) todos os seus pontos têm essa propriedade; 
b) somente os seus pontos têm essa propriedade. 
 
II . Lg1 - A circunferência: 
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à mesma 
distância r (raio) de um ponto O (centro). 
 
 
 
 
 
III . Lg2 - A mediatriz: 
A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de dois 
pontos A e B. 
 
 
 
 A B 
 
 
 
IV . Lg3 - O par de retas paralelas: 
O par de retas paralelas é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à 
mesma distância d de uma reta r. 
 
 
 
 
58 
Eliza Maria Baptistella Lima 
V . Lg4 - O par de retas bissetrizes: 
O par de retas bissetrizes é o lugar geométrico dos pontos do plano que 
eqüidistam de duas retas concorrentes r e s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI . Lg5 - O par de arcos capazes: 
O par de arcos capazes é o lugar geométrico dos pontos do plano que 
.enxergam. um segmento AB num ângulo α. 
 
 
 
 
Construção de arcos capazes: 
a) Sob um ângulo de 60º 
• É dado um segmento AB . 
Como exemplo, vamos construir o par de arcos capazes de ver AB sob ângulo 
de 60º: 
• Traçar a mediatriz m do segmento que corta o segmento dado no ponto M. 
• Construir o ângulo BÂX = 60º (dado). 
• Construir uma reta perpendicular a AX pelo ponto A que encontra a reta m no 
ponto O. 
• O arco de centro O e extremidades A e B situado em semi-plano oposto a X, 
é o arco capaz do ângulo de 60º sobre AB. 
• Para traçar o par de arcos capazes de ver AB sob ângulo de 60º, determinar o 
ponto O. em m, traçando um arco de centro M e raio OM. 
 
59 
Eliza Maria Baptistella Lima 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
b) Sob um ângulo de 120º 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
60 
Eliza Maria Baptistella Lima 
Exercícios: 
1. Construa o lugar geométrico dos pontos que distam 20 mm do ponto A: 
 
 
 
 A . 
 
 
 
 
2.Construa o lugar geométrico dos pontos que eqüidistam dos pontos C e D: 
 
 
 . D 
 
 C . 
 
 
 
3. Construa o lugar geométrico dos pontos que distam 25 mm da reta r: 
 
 
 
 
 
 r 
 
 
 
 
4.Construa o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes das duas retas 
concorrentes r e s: r 
 s 
 
61 
Eliza Maria Baptistella Lima 
5.Determine os pontos que distam 30 mm de A e eqüidistam de B e C: 
 
 
 A . 
 
 . B 
 
 C . 
 
 
 
 6. Determine os pontos que distam 25 mm de A e 10 mm da reta r: 
 
 A . 
 r 
 
 
 
 
 
 
 
7. Determine os pontos que eqüidistam de r e s e que distam 20 mm de A ( 
ponto de intersecção entre r e s): 
 r 
 
 
 A 
 
 
 s 
 
 
 
62 
Eliza Maria Baptistella Lima 
8. Determine o ponto da reta r que eqüidista de A e B: 
 . B 
 
A . 
 
 r 
 
 
 
9.Construa o lugar geométrico dos pontos que .enxergam. os segmentos 
dados, segundo a tabela abaixo: 
 
segmento Arco capaz 
AB = 4 cm 45º 
EF= 4 cm 75º 
MN= 4 cm 90º 
OP= 4 cm 150º 
RS= 4 cm 165º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
Eliza Maria Baptistella Lima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
Eliza Maria Baptistella Lima 
8. DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 
I . Polígonos regulares inscritos: 
1. Triângulo equilátero: 
• É dada a circunferência λ de raio 3 cm na qual o polígono será inscrito. 
• Traçar um diâmetro AB. 
• Determinar os pontos C e D com arco de centro em B e raio BO. 
• O triângulo é obtido por A, C e D. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Quadrado: 
• É dada a circunferência λ de raio 2,5 cm na qual o polígono será inscrito. 
• Traçar dois diâmetro perpendiculares AB e CD. 
• O quadrado é obtido por A, C, B e D. 
 
 
 
 
 
 
 
65 
Eliza Maria Baptistella Lima 
3. Pentágono regular: 
• É dada a circunferência λ de raio 4,5 cm na qual o polígono será inscrito. 
• Traçar dois diâmetro perpendiculares AB e CD. 
• Determinar E, ponto médio de DO. 
• Determinar F com arco de centro E e raio EA. 
• O lado do pentágono regular é AF. 
• Com o lado AF determine G, H, I e J na circunferência, que são os vértices do 
pentágono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Hexágono regular: 
• É dada a circunferência λ de raio 2,5 cm na qual o polígono será inscrito. 
• Traçar um diâmetro AB. 
• Determinar os pontos C e D com arco de centro em B e raio BO e os pontos E 
e F com arco de centro em A e raio AO. 
• O hexágono é obtido por A, E, C, B, D e F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
Eliza Maria Baptistella Lima 
5. Heptágono .regular.: 
• É dada a circunferência λ de raio 3,5 cm na qual o polígono será inscrito. 
• Traçar um diâmetro AB. 
• Determinar os pontos C e D com arco de centro em B e raio BO. 
• Determinar o ponto M de intersecção entre o diâmetro AB e o segmento CD. 
• O lado do heptágono regular é DM. 
• Numa circunferência de raio 2 cm o lado do heptágono mede 1,7355 cm; com 
esta construção obtemos 1,7321 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Octógono regular: 
• É dada a circunferência λ de raio 2,0 cm na qual o polígono será inscrito. 
• Obter os vértices A, B, C e D do quadrado (veja 2.) 
• Traçar as bissetrizes dos ângulos AÔD e AÔC. 
• O octógono é obtido por A, E, C, F, B, G, D e H. 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
Eliza Maria Baptistella Lima 
7. Eneágono .regular.: 
• É dada a circunferência λ de raio 3,5 cm na qual o polígono será inscrito. 
• Traçar dois diâmetro perpendiculares AB e CD. 
• Com centro em A e raio AO determinar E em λ. 
• Com centro em B e raio BE determinar F no prolongamento de CD. Com 
centro em F e raio BF determinar G em CD. 
• O lado do eneágono é CG. 
• Numa circunferência de raio 2 cm o lado do eneágono mede 1,368 cm; com 
esta construção obtemos 1,364 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Decágono regular: 
• É dada a circunferência λ de raio 2,5 cm na qual o polígono será inscrito. 
• O traçado é o mesmo do utilizado no pentágono (veja 3.) 
• O lado do decágono regular é FO. 
 
 
 
 
 
 
 
68 
Eliza Maria Baptistella Lima 
Exercícios: 
1. Construa um triângulo inscrito em uma circunferência de raio 3,5 cm.2. Construa um hexágono inscrito em uma circunferência de raio 3,5 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
Eliza Maria Baptistella Lima 
3. Construa um octógono inscrito em uma circunferência de raio 3,5 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Construa um quadrado inscrito em uma circunferência de raio 3,5 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
Eliza Maria Baptistella Lima 
5. Construa um pentágono inscrito em uma circunferência de raio 3,5 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Construa um heptágono inscrito em uma circunferência de raio 3,5 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
Eliza Maria Baptistella Lima 
7. Construa um decágono inscrito em uma circunferência de raio 3,5 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Construa um eneágono inscrito em uma circunferência de raio 3,5 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
Eliza Maria Baptistella Lima 
II . Polígonos estrelados: 
 
Partindo das divisões da circunferência vistas acima, os polígonos estrelados 
têm os seus vértices unidos intercaladamente. 
Uma estrela de oito pontas só pode ser completada se intercalarmos dois 
pontos entre os vértices (veja exemplos 4 e 8 abaixo); já a de sete pontas, 
permite que a intercalação seja de um ou dois pontos. 
 
Nos exemplos a seguir, desenhamos os seguintes polígonos estrelados: 
1 - Estrela pentagonal com um ponto intercalado. 
2 - Estrela heptagonal com um ponto intercalado. 
3 - Estrela heptagonal com dois pontos intercalados. 
4 - Estrela octogonal com dois pontos intercalados. 
5 - Estrela eneagonal com um ponto intercalado. 
6 - Estrela eneagonal com três pontos intercalados. 
 
 
 
É importante salientar que um polígono só é estrelado, se for obtido mediante 
uma linha poligonal fechada. Os exemplos abaixo não são polígonos 
estrelados, pois são construídos pela sobreposição de dois polígonos: 
73 
Eliza Maria Baptistella Lima 
 
 
III . Processo geral de Rinaldini: 
 
Processo geral de divisão: 
• É dada a circunferência λ de raio 3 cm na qual o polígono será inscrito. 
• Traçar um diâmetro AB. 
• Dividir AB em número de partes igual ao número em que se deseja dividir a 
circunferência, enumerando-as. 
Como exemplo, vamos dividir a circunferência em 7 partes .iguais.: 
• Determinar os pontos C e D com arcos de centros A e B e raio AB. 
• Escolher entre os pontos pares ou ímpares da divisão. 
Neste exemplo, escolhemos os números pares 0, 2, 4, e 6. 
• As retas que unem C e D aos pontos de ordem par, determinam nas semi-
circunferências opostas, os pontos que dividem aproximadamente essa 
circunferência em 7 partes iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
1. Divida uma circunferência de raio 4 cm em 15 partes iguais pelo 
processo geral de Rinaldini: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Construa uma estrela pentagonal inscrita em uma circunferência de raio 
3,5 cm: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Construa uma estrela heptagonal inscrita em uma circunferência de raio 
de 3,5 cm intercalando 1 ponto entre os vértices da mesma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Inscreva em uma circunferência de raio 4 cm, uma estrela eneagonal 
intercalando 3 pontos entre os vértices da mesma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
I - Retificação de circunferência: 
1. Introdução 
 
Retificar uma circunferência significa determinar um segmento cujo 
comprimento é igual ao comprimento da circunferência dada. 
Como o número π não é um número construtível, ou seja, não pode ser 
construído com régua e compasso, não podemos obter um segmento igual ao 
comprimento de uma circunferência. 
Entretanto, podemos obter a retificação da circunferência com boa 
aproximação. Muitos processos foram inventados para se chegar a esse 
resultado de forma aproximada com erros cada vez menores, é o que veremos 
neste capítulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Construção: 
 
1º Processo: dois lados do triângulo equilátero inscrito mais dois lados do 
quadrado inscrito. 
• É dada uma circunferência λ com raio de 4 cm. 
• Inscrever um triângulo equilátero e um quadrado em uma circunferência (veja 
capítulo 8). 
• Determinar o segmento AB que mede dois lados do triângulo equilátero 
inscrito mais dois lados do quadrado inscrito que é aproximadamente igual ao 
comprimento de λ. 
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2º Processo: Método de Arquimedes. 
• É dada uma circunferência λ com raio de 4 cm 
• Dividir o diâmetro d de λ em 7 partes iguais e determinar uma unidade 
• Determinar o segmento AB de medida três vezes o diâmetro de λ, mais um 
sétimo do diâmetro de λ. Esse valor é aproximadamente igual ao comprimento 
da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II . Retificação de arcos de circunferência: 
 
1. Arcos de até 90º: 
• É dado um arco AB sobre uma circunferência λ de diâmetro AC. 
• Dividir o raio de λ em 4 partes iguais. 
• Transportar, a partir do ponto C, ¾ do raio para o prolongamento do diâmetro 
e determinar D. 
• Traçar uma reta r perpendicular ao diâmetro pelo ponto A. 
• Traçar a reta BD e determinar o ponto E na reta r. 
• O segmento AE tem aproximadamente o comprimento do arco AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Arcos entre 90º e 180º: 
• É dado um arco AB sobre uma circunferência λ. 
• Aplique o processo anterior dividindo o arco AB ao meio, ou seja retifique os 
arcos CA e CB. 
• O segmento FF. tem aproximadamente o comprimento do arco AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Arcos entre 180º e 360º: 
• Retificar a circunferência. 
• Retificar o arco replementar do arco a ser retificado (o que falta para 360º). 
• Subtraia da retificação da circunferência a retificação do arco replementar; a 
diferença é a retificação procurada. 
 
 
Exercícios: 
 
1. Retifique pelo 1º processo uma circunferência de raio 20 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Retifique pelo processo de Arquimedes uma circunferência de raio 25 
mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Desretifique uma circunferência cujo perímetro é 150 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Construa um triângulo equilátero ΔABC cujo perímetro corresponda ao 
comprimento da circunferência abaixo. Utilize o método de Arquimedes 
para retificar a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Retifique uma circunferência de raio 30 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Retifique uma circunferência de raio 20 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Retifique um arco de circunferência menordo que 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Retifique um arco de circunferência maior que 90º e menor que 180º.