Conceito de Limites em Cálculo

Prévia do material em texto

Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
1 
 
14 LIMITES 
 
O conceito de limite é utilizado para descrever o 
comportamento de uma função na medida em que o seu 
argumento se aproxima de um determinado valor. 
 
Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos 
da análise matemática para definir derivadas e a continuidade 
de funções. 
 
14.1 LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA 
 
O limite é um dos conceitos mais antigos de 
análise matemática e fornece uma definição rigorosa 
para a ideia de uma sequência que converge até um 
ponto chamado limite. 
O quadro a seguir mostra exemplos de 
sequências e seus limites. 
 
Sequência Numérica. Descrição. Observa-se que: 
1, 2, 3, 4, 5, .... 
Os termos tornam-se cada 
vez maiores sem atingir 
um limite. 
x  + 
,.....
6
5
,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
 
Os números aproximam-se 
cada vez mais de 1, sem 
nunca atingir esse valor. 
x  1 
1, 0, -1, -2, -3, ... 
Os termos tornam-se cada 
vez menores sem atingir 
um limite. 
x  - 
,.....
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,
1
1
 
Os números aproximam-se 
cada vez mais de 0, sem 
nunca atingir esse valor. 
x  0 
1, -1, 1, -1, 1, ... 
Os termos oscilam sem 
tender a um limite. 
A tendência é 
divergente. 
,...7,
7
6
,5,
4
5
,3,
2
3
,1
 
Os termos oscilam sem 
tender a um limite. 
A tendência é 
divergente. 
 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
2 
 
Um ponto L é o limite da sequência se, para 
toda a vizinhança que se defina, todos os pontos da 
sequência (com a possível exceção de um número finito 
de pontos) estão próximos a L. 
Seja f(x) uma função definida em um intervalo 
aberto em torno de a (um número real), exceto talvez em 
a, conforme mostra a figura. 
 
c a d 
 
 L 
 
Definição 1: 
 
A função f(x) tem limite L quando x tende a a 
e escreve-se: 
  Lxfax lim
 
 
Ou seja, os valores de f(x) tendem a ficar cada 
vez mais próximos do número L na medida em que x 
tende ao número a (por qualquer lado de a), mas x é 
diferente de a. 
 
Exemplo: Analisar o que acontece com os valores da 
função f(x) = 3x
2
 – x + 1, quando os valores de x se aproximam do 
valor 1. 
 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
3 
 
 
 
Percebe-se que, quando x se aproxima de 1, o valor de 
f(x) tende a 3, então se pode afirmar que 
3)13(lim 21  xxx
, 
substituindo o valor de x por 1 na função f(x). 
 
Exemplos. 
 
a) Achar o 
)23(lim 3  xx
 
 
72923*3)23(lim 3  xx
 
 
b) Encontrar o 
3lim 6  xx
 
 
39363lim 6  xx
 
 
Exercícios. 
 
1) Analisar o que acontece com os valores da função f(x) = 2x
2
 – 
x + 2, quando os valores de x se aproximam do valor 2. 
 
2) Analisar o que acontece com os valores da função f(x) = (Sen x 
/ x), quando os valores de x se aproximam do valor 1 e -1. 
 
14.2 LIMITES LATERAIS 
 
Definição 2: Pode-se escrever 
x f(x) x f(x)
0,1 0,93 1,9 9,93
0,2 0,92 1,8 8,92
0,3 0,97 1,7 7,97
0,4 1,08 1,6 7,08
0,5 1,25 1,5 6,25
0,6 1,48 1,4 5,48
0,7 1,77 1,3 4,77
0,8 2,12 1,2 4,12
0,9 2,53 1,1 3,53
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
4 
 
 
Lxf
ax


)(lim
 
 
e diz-se que o limite à esquerda de f(x) quando x 
tende a a (ou o limite de f(x) quando x tende a a pela 
esquerda) é igual a L se puder tornar os valores de f(x) 
arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente 
próximo de a e x menor que a. 
De maneira semelhante, se x for maior que a, obtém-
se “o limite à direita de f(x) quando x tende a a é igual a L” 
e escreve-se 
Lxf
ax


)(lim
 
 
Deste modo, o símbolo 
""  ax
 indica que se 
considera somente x > a. Isto está mostrado na figura a 
seguir. 
 
 
 
A seguir, a figura mostra gráficos de três funções. No 
gráfico (c), f(a) não está definida (o ponto é vazio), na parte 
(b), f(a) é diferente de L e, na parte (a), f(a) é definida. Em 
cada um dos casos, não importa o que acontece em (a), o 
  Lxfax lim
. 
 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
5 
 
 
 
De acordo com o que foi visto pode-se afirmar 
que 
 
  Lxf
ax


lim
 se e somente se 
Lxf
ax


)(lim
 e
Lxf
ax


)(lim
 
14.3 LIMITES INDETERMINADOS 
 
Há situações em que o valor encontrado para o 
limite é indeterminado e, nestes casos, é preciso 
“levantar” a indeterminação, ou seja, fazer algum artifício 
matemático (uma fatoração, por exemplo), para que se 
possa simplificar e calcular um valor determinado para o 
limite a ser calculado. 
 
Exemplo. 
 
Calcular os limites a seguir. 
 
a) 
2
4
lim
2
2



x
x
x
 
 
Solução: 
 
Substituindo o valor de x pela tendência indicada 
para o limite, vem: 
 
0
0
22
44
22
42
2
4
lim
22
2 









x
x
x
 
 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
6 
 
O valor encontrado para o limite 
0
0
 é indeterminado e 
deste modo, é preciso fatorar a função. 
Observa-se que, neste caso, a função é um produto 
notável do tipo 
)(*)()( 22 bababa 
. 
Assim, o limite a ser calculado fica transformado da 
seguinte maneira: 
 
)2(lim
2
)2(*)2(
lim
2
4
lim 22
2
2 





 x
x
xx
x
x
xxx
 
Donde: 
422)2(lim 2  xx
 
 
Logo o limite é 4 . 
 
b) Calcular o 
63
2
lim
23
2



x
xx
x
 
 
Solução: 
 
Substituindo o valor de x pela tendência indicada 
para o limite da função, vem: 
 
0
0
0
88
66
4*28
62*3
2*22
63
2
lim
2323
2 











x
xx
x
 
 
O valor encontrado para o limite é 
0
0 , logo é 
indeterminado e é preciso fatorar a função. 
Assim, o limite a ser calculado fica transformado da 
seguinte maneira: 
 
3
lim
)2(3
)2(
lim
63
2
lim
2
2
2
2
23
2
x
x
xx
x
xx
xxx  





 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
7 
 
 
Donde: 
 
...333,1
3
4
3
2
3
lim
22
2 
x
x
 
 
Logo o limite é 1.333… 
 
Outra forma de levantar a indeterminação de 
limites, no caso de quociente de polinômios é fatorar, por 
meio da divisão de polinômios, conforme mostrado no 
exemplo a seguir. 
 
Exemplo. 
 
a) Calcule o limite da função a seguir e resolva a 
indeterminação, se houver. 
 
 
 
Solução: 
 
Substituindo o valor de x pela tendência indicada 
para o limite da função, vem: 
 
0
0
44
0
2321
44
21*31*21
431
21*31*21
41*31
232
43
lim
23
2
23
2
1




















xxx
xx
x
 
 
O valor encontrado para o limite é 
0
0
, logo é 
indeterminado e é preciso fatorar a função. Desta vez será 
preciso dividir os dois polinômios por x – a, no caso, a = 1, 









232
43
lim
23
2
1
xxx
xx
x
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco)8 
 
pois x está tendendo a 1. 
 
432  xx
 x – 1 
–x
2
+ 1x x + 4 
 0 + 4x – 4 
 – 4x + 4 
 0 
 
De acordo com a propriedade do quociente, vem: 
 
432  xx
 = ( x + 4) * (x – 1) 
 
Dividindo o polinômio do denominador por x – 1, vem: 
 
 
232 23  xxx
 x – 1 
–x
3
+ 1x
2
 x
2
 – x + 2 
 0 - 1x
2
 + 3x 
 + 1x
2
 - 1x – 2 
 0 + 2x – 2 
 - 2x + 2 
 0 
 
Da mesma forma, de acordo com a propriedade do 
quociente, tem-se então que: 
 
232 23  xxx
 = (x2 – x – 2) * (x – 1) 
 
Feita a fatoração por meio da divisão dos polinômios, 
o limite a ser calculado fica transformado da seguinte maneira: 
 
1) -(x * 2) -x - (x
1) -(x * 4) +x (
lim
232
43
lim
2123
2
1  







xx
xxx
xx
 
 
Donde: 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
9 
 
 
5,2
2 
5
2 1 - 1
5
2) 1 - (1
4) + 1 (
2) - x - (x
4) + x (
lim
221




x
 
 
Logo o limite é + 2,5. 
 
Exercícios. 
 
Calcular os limites a seguir e levantar a 
indeterminação se houver. 
 
a) 
243lim 2454  xxxxx
 
 
b) 
2
6
lim
2
3



x
xx
x
 
 
c) 
43
45
lim
2
2
3



xx
xx
x
 
 
d) 
2
1385
lim
2
2
3



x
xx
x
 
 
e) 
 
 
f) 
34 )4(
1
lim


x
x
 
 
g) 
1
1
lim
2
1



x
x
x
 
 
h) 
32
23
lim
2
2
1



xx
xx
x
 
 
149
)2(
lim
22 

 xx
x
x
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
10 
 
i) 
65
32
lim
2
2
2



xx
xx
x
 
 
j) 
4
16
lim 2



x
x
x
 
 
14.4 LIMITES DE FUNÇÕES QUANDO X SE 
APROXIMA DO INFINITO 
 
Por vezes o limite de uma função tende ao 
infinito, que é representado pelo símbolo . Neste caso, 
o valor de x na função deve ser substituído pelo símbolo 
de infinito e procedem-se normalmente as operações 
indicadas. 
 
Exemplos. 
 
a) Calcular o . 
 
   33*232lim 22 xxx
 
 
b) Calcular o 
 32lim  xx
. 
 
   33)(232lim xx
 
 
14.5 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS SOBRE LIMITES 
 
O quadro a seguir mostra as operações 
fundamentais que podem ser efetuadas sobre os limites, 
com u e v funções e m um número inteiro. 
 
Proprie-
dade 
Limites Operações 
1 lim (u + v) lim u + lim v 
2 lim (u ̶ v) lim u ̶ lim v 
)32(lim 2  xxx

Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
11 
 
Proprie-
dade 
Limites Operações 
3 lim k.u k.lim u , com lim u # 0 
4 lim (u . v) lim u . lim v 
5 lim (u / v) lim u / lim v 
6 lim u
m
 (lim u)
m
 
7 
m ulim m ulim , com lim u > 0 
8 lim u
v
 (lim u)
lim v
 
 
Ou seja: 
1) O limite de uma soma é a soma dos limites. 
2) O limite de uma diferença é a diferença dos 
limites. 
3) O limite de uma constante multiplicando uma 
função é a constante multiplicando o limite da função. 
4) O limite de um produto é o produto dos limites. 
5) O limite de um quociente é o quociente dos limites, 
desde que o limite do denominador não seja zero. 
6) O limite de uma função com expoente é o limite da 
função elevado ao expoente. 
7) O limite de uma raiz índice m de uma função é a 
raiz índice m do limite da função, desde que lim u > zero. 
8) O limite de uma função elevada à uma outra 
função é igual ao limite da função elevada ao limite da função 
expoente. 
 
Exemplo: Calcule o limite a seguir, justificando cada passo. 
 
)5(lim)2(lim)2(lim)522(lim
55
3
5
3
5 

xxxx
xxxx
, pelas propriedades 1 e 2. 
 
)5(lim)2(lim2)(lim2)522(lim
55
3
5
3
5 

xxxx
xxxx
, pela propriedade 3. 
 
)5()5(2)5(2)522(lim 33
5


xx
x
, substituindo x pela tendência do limite. 
 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
12 
 
510)125(2)522(lim 3
5


xx
x
 
 
510250)522(lim 3
5


xx
x
 
 
245)522(lim 3
5


xx
x
 
 
Exercícios. 
 
Calcule os limites a seguir, justificando cada passo. 
 
a) 
)1475(lim 2
3


xx
x
 
b) 








 3
1475
lim
2
2
2 x
xx
x
 
 
14.6 IGUALDADES SIMBÓLICAS NAS OPERAÇÕES 
COM LIMITES 
 
O quadro a seguir mostra as igualdades 
simbólicas nas operações com limites. 
 
Limite de uma soma. 
 



)()(
)()(
)(l
 
 )()(
 indeterminado. 
 
Limite de um produto. 
 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
13 
 
   
   
 
  )0(*
)0(*
*
*




aa
aa


 
 0*
 indeterminado. 
 
Limite de um quociente. 
 
Sendo k uma constante positiva, valem as 
seguintes operações: 
 
0
0
0





k
k
k

 










k
k
k
0
 






0
0
0
0
 
 
Limite de função exponencial. 
 








0
00
0k
k
 
0
0







k
k
 


1
0
0
0
 
 
Símbolos de indeterminação. 
 
A seguir estão mostrados os símbolos de 
indeterminação que podem aparecer em operações com 
limites. Quando aparecem estes resultados, é preciso 
indeterminado 
indeterminado 
indeterminado 
indeterminado 
indeterminado 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
14 
 
“levantar” a indeterminação. 
 

 
0*
 
0
0
 


 
0
 00 1 
 
Exemplos de limites infinitos de operações com funções. 
 
a) Sendo 
u
 e 
2xv 
 calcule 
 vux lim
 
 
       22limlim xvu xx 
 
b) Dado 
xxu  2
 e 
12  xv
, calcular 
 vux lim
. 
 
   

 
11
1limlim
22
22 xxxvu xx
 
c) Calcule 
143
24
lim
2
2


 xx
xx
x
 e resolva a indeterminação, se 
houver. 








 1.4.3
2.4
143
24
lim
2
2
2
2
xx
xx
x
 (indeterminação). 
 
Para resolver a indeterminação de limite ao infinito de 
uma função racional, divide-se o numerador e o denominador pela 
maior potência de x que aparece no denominador. No caso, a 
maior potência de x no denominador é x2. Em seguida, resolve-se 
e aplicam-se as propriedades dos limites. 
143
24
lim
2
2


 xx
xx
x
=
2
2
2
2
143
24
lim
x
xx
x
xx
x 


=
2
2
2
2
14
3
21
4
lim
x
xx
x
xx
x


 
 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
15 
 
2
2
14
3
21
4
lim
xx
xx
x



=
















2
2
14
3lim
21
4lim
xx
xx
x
x
= 
 
=
2
2
1
lim
4
lim3lim
2
lim
1
lim4lim
xx
xx
xxx
xxx




=2
2
14
3
21
4








 
 
=
003
004


=
3
4
 
 
Exercícios. 
 
1) Dado 
23 43 xxu 
 e , calcular: 
a) 
b) 
c) 
2) Calcule 
5
200
lim
3 

x
x
 
 
3) Calcule 
20
7
lim
2 

x
x
 
 
4) Calcule 
157
232
lim
3
2


 xx
xx
x
 e resolva a 
indeterminação, se houver. 
 
 
14.7 LIMITES E CONTINUIDADE 
 
42  xv
).(lim 4 vux
)/(lim 3 vux
)(lim 2 vux 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
16 
 
A continuidade do limite de uma função f ocorre 
quando x tende para a e pode ser simplesmente calculado 
com o valor da função f em a. Esta função f é contínua em a. 
 
Definição: Uma função f é contínua em um número a 
se 
)()(lim afxf
ax


 
 
Para isto, três condições devem ser atendidas: 
1) f(a) está definida, ou seja, a está no domínio de f; 
2) 
)(lim xf
ax
 existe; 
3) 
)()(lim afxf
ax


. 
Geometricamente, pode-se afirmar que uma função f 
é contínua, em todo número de um intervalo, quando o gráfico 
de f não se quebra, ou seja, o gráfico pode ser desenhado 
sem retirar o lápis do papel. 
 
A função inversa de uma função contínua é 
também uma função contínua. 
 
Os tipos de funções contínuas, para todos os 
números de seus domínios são os seguintes: 
- polinômios; 
- funções racionais; 
- funções raízes; 
- funções trigonométricas; 
- funções trigonométricas inversas; 
- funções exponenciais; 
- funções logarítmicas. 
 
Exemplo 1. 
 
No gráfico a seguir, em que pontos a função f é 
descontínua? 
 
 
y 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em x = 4 o gráfico tem um buraco e, neste ponto f(4), 
a função f não está definida, então em 4 existe 
descontinuidade. 
O gráfico tem uma quebra em x = 11, portanto, a 
função é descontínua neste ponto. Embora f(11) exista, o 
)(lim
11
xf
x
 não existe, pois os limites esquerdo e direito são 
diferentes. Logo f é descontínua em 11. 
Em x = 14, o gráfico tem um buraco e um ponto cheio 
acima. Logo, em 14, no ponto cheio existe 
)(lim
14
xf
x
, tanto 
pela esquerda, quanto pela direita, mas ocorre que 
)14()(lim
14
fxf
x


, pois em 14 está vazio na curva, logo f é 
descontínua em 14. 
 
Exemplo 2. 
 
Onde a função 
1
43
)(
2



x
xx
xf
é descontínua? 
 
Solução: 
Observa-se que, se for calculado o 
0
0
1
43
lim)(lim
2
11









 x
xx
xf
xx
, existe uma indeterminação, 
logo f é descontínua em 1, mas é determinada para os demais 
números, pois têm valores determinados para 
1x
. 
Resolvendo a indeterminação, vem: 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
18 
 
 
5
1
)1)(4(
lim
1
43
lim)(lim
1
2
11

















 x
xx
x
xx
xf
xxx
 
 
Logo, 
)1()(lim
1
fxf
x


, o que mostra que f não é 
contínua em 1. 
Usando o software Geogebra®, pode-se fazer o 
gráfico da função f(x) e o cálculo do limite, conforme mostra 
a figura a seguir. 
 
 
 
A linha tracejada foi acrescentada no gráfico, para 
mostrar que, usando o comando limite( f(x), 1 ), onde a=1, 
resulta b=5 e o ponto (a, b) = (1, 5) está em cima da reta. 
 
 
Exercícios. 
1) Onde a função 2
2
)(
2



x
xx
xf
é descontínua? 
 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
19 
 
2) Mostre onde a 2
1
)(
x
xf 
 é descontínua. 
 
3) Analisando o gráfico de f a seguir, indique os números 
nos quais f é descontínua e justifique por que. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Para cada um dos números indicados no exercício 3, 
determine se f é contínua à direita ou à esquerda, ou 
nenhum deles. 
 
14.8 APLICAÇÕES DE LIMITES 
 
A seguir estão apresentados alguns exemplos de 
aplicação dos conceitos de limites. 
 
Exemplo 1. 
 
A função de produção de certo bem em relação à 
quantidade de matéria prima, em quilogramas, é dada por: 
 
2
4
)(
2



x
x
xP
 
 
Determine a produção quando se tem 3 quilogramas 
de matéria-prima. 
Solução: Como a produção P = P(x) não está 
y 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X 
Trecho do Livro Cálculo I – Fundamentos e Aplicações (Autor: Orlando 
Frizanco) 
 
20 
 
definida para x = 3, é preciso calcular este limite. 
 
5
1
49
23
43
)
2
4
(lim)(lim
22
33 







 
x
x
xP xx
 
 
Resposta: Serão produzidas 5 unidades. 
 
Exercícios. 
 
1) A evolução no tempo t da capacidade de produção 
de uma fábrica é dada por: 
 
2)100(8000
25000
)(


t
tP
 
 
a) Calcule P(8), P(20), P(40), P(100) e P(150) e 
comente o que está acontecendo com a produção. 
 
b) Calcule 
)(lim 80 tPt
. 
 
c) Calcule 
)(lim 200 tPt
 e explique o resultado.