EP06 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP06 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do desta semana voceˆ encontra no seguinte cap´ıtulos do livro:
Geometria Ba´sica - Mo´dulo 1 - Vol. 1,(Autores:Dirce Uesu Pesco/Roberto Geraldo Tavares Arnaut),
Aula 5: Quadrila´teros Nota´veis.
Voceˆ tambe´m pode encontrar o conteu´do dessa aula na Plataforma, na sec¸a˜o Cadernos Dida´ticos.
Exerc´ıcio 1: Dois paralelogramos ABCD e CDEF teˆm um lado comum CD. Mostre que se os
pontos A,B,E e F na˜o forem colineares, sera˜o os ve´rtices de um novo paralelogramo.
Soluc¸a˜o:
Considere os paralelogramos ABCD e CDEF teˆm um lado comum CD. Sejam os pontos A,B,E
e F na˜o colineares:
A B
C D
FE
AB//CD e AB = CD pois ABCD e´ um paralelogramo.
CD//EF e CD = EF pois CDEF e´ um paralelogramo.
Enta˜o AB//EF e AB = EF , logo AEFB e´ um paralelogramo.
Exerc´ıcio 2: Qual figura obtida quando ligamos os pontos me´dios dos lados de um retaˆngulo ABCD?
Soluc¸a˜o:
Seja ABCD um retaˆngulo e P, Q,R e S pontos me´dios dos lados AB,BC,CD e DA, respecti-
vamente.
A B
C
Q
D R
P
S
Os quatro triaˆngulos retaˆngulos que sa˜o ∆APS, ∆BPQ, ∆CQR e ∆DSR sa˜o congruen-
tes ja´ que AS = SD = CQ = BQ e DR = RC = AP = PB, pelo crite´rio LAL. Enta˜o
PS = SR = RQ = QP . Logo a figura obtida e um losango.
Exerc´ıcio 3: Verifique se um paralelogramo fica perfeitamente determinado quando sa˜o dados ape-
nas os comprimentos de dois dos seus lados.
Geometria Plana – EP06 Tutor 2
Soluc¸a˜o: Na˜o, pois ter´ıamos de fixar ainda um aˆngulo do paralelogramo ou o valor de uma diagonal.
Observe na figura que (i) e (ii) tem as mesmas medidas dos lados, no entanto na˜o representam o
mesmo paralelogramo.
A
B
C
D A
B
C
D
(i) (ii)
A
B
C
D
(iii) (iv)
A
B
C
D
Em (iii) fixamos tambe´m um aˆngulo e em (iv) fixamos ale´m dos lados, uma diagonal.
Exerc´ıcio 4: Calcule o menor dos aˆngulos de um trapezoide sabendo que os mesmos esta˜o expressos
no sistema sexagesimal, pelos nu´meros (2x− 1)◦, (4x+ 3)◦, (11x− 8)◦ e (11x+ 2)◦.
Soluc¸a˜o:
Temos que
2x− 1 + 4x+ 3 + 11x− 8 + 11x+ 2 = 360 ⇒ 28x− 4 = 360 ⇒ 28x = 364
Logo x = 13. Da´ı o menor dos aˆngulos e´ (2 · 13− 1)◦ = 25◦.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ