ANÁLISE COMBINATÓRIA OBJETIVA E DISCURSIVA COM RESOLUÇÕES.

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Questão 1/12 - Análise Combinatória
Considere AA o conjunto formado por todos os números naturais de 3 algarismos, isto é, A={100,101,…,999}A={100,101,…,999}. Com base neste conjunto, analise as afirmativas: 
 
I. Há 1000 números no conjunto AA. 
II. O conjunto AA possui exatamente 648 números com os três algarismos distintos. 
III. O conjunto AA possui exatamente 450 números pares. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
No conjunto AA, temos 900 números. Isso porque o algarismo da centena não permite o algarismo 0. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 9×10×10=9009×10×10=900 números e a afirmativa I é incorreta. Para a afirmativa II, existem 9 modos de escolhermos o algarismo da centena (o algarismo 0 não é permitido), 9 modos de escolhermos o algarismo da dezena (não podemos utilizar o algarismo usado na centena) e para a unidade existem 8 modos. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 9×9×8=648 números com os três algarismos distintos. Com isso, a afirmativa II é correta. Passamos para a afirmativa III: existem 5 modos de escolhermos o algarismo da unidade: 0, 2, 4, 6 e 8. Já para a centena, temos 9 modos (o algarismo 0 não é permitido) e para a dezena há 10 modos. Logo, teremos 9×10×5=450 números pares em AA e a afirmativa III é correta.
Questão 2/12 - Análise Combinatória
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo:
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1331
Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) A terceira linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=2n=2, isto é, (20),(21)(20),(21) e (22).(22).
 
II. (   ) A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 6, 4 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
III. (   ) Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento do binômio  (x+a)5(x+a)5 com a∈R,a≠0a∈R,a≠0 são 1, 5 e 10. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V
Você acertou!
A terceira linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (20)=1,(21)=2 e (22)=1. Logo, a afirmativa I é verdadeira. A 5ª linha é formada pelos números binomiais: (40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4,(40)=1. Assim, a afirmativa II é verdadeira. Notamos também que a 6ª linha do triângulo de Pascal contém os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)5. Calculando os números binomiais com n=6, encontramos os coeficientes: 1, 5 e 10. Portanto, a afirmativa III é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 3/12 - Análise Combinatória
Em um grupo formado por 10 professores, dos quais figuram Denise, Eduardo, Otto e Zaudir, considera-se comissões formadas por 5 professores. Com base nisso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) Ao todo, é possível formar 252 comissões. 
II. (   ) Sem a presença do professor Otto, é possível formar exatamente 126 comissões.
III. (   ) Ao todo, é possível formar 70 comissões com a presença do professor Eduardo e sem a presença do professor Zaudir. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V
Você acertou!
O número de modos de escolher 5 professores num grupo formado por 10 é C10,5=10!/5!(10−5)!=252. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Sem a presença do professor Otto, devemos escolher 5 professores num total de 9. Isso pode ser feito de C9,5=126 maneiras e a afirmativa II é verdadeira. Como Eduardo estará na comissão e Zaudir não, restam oito pessoas para 4 vagas, ou seja, C8,4=8/!4!(8−4)!=70 comissões possíveis. Portanto, a afirmativa III é verdadeira.
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 4/12 - Análise Combinatória
Dois dados são jogados simultaneamente. Assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces de cima seja 7.
Nota: 10.0
	
	A
	1/36
	
	B
	1/12
	
	C
	1/6
Você acertou!
O espaço amostral consiste de todos pares (i,j), onde i e j são números naturais compreendidos entre 1 e 6, incluindo estes valores. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos #Ω=6×6=36 eventos elementares. Seja A o conjunto dos pares (i,j) tais que i+j=7. Então, A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} e #A=6. Portanto, a probabilidade procurada é P(A)=6/36=1/6.
	
	D
	1/3
	
	E
	1/2
Questão 5/12 - Análise Combinatória
Os 45 funcionários de uma empresa multinacional falam inglês ou espanhol. Sabe-se que 40 funcionários sabem falar inglês e 25 sabem falar inglês e espanhol. Escolhendo-se aleatoriamente um funcionário, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I.  (   ) A probabilidade do funcionário escolhido falar inglês e espanhol é 1/5. 
II. (   ) A probabilidade do funcionário escolhido falar inglês e não falar espanhol 1/3.
III. (   ) A probabilidade do funcionário escolhido falar espanhol e não falar inglês é 1/9. 
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V, V, V
	
	B
	V, F, V
	
	C
	V, V, F
	
	D
	V, F, F
	
	E
	F, V, V
Dos 45 funcionários, 25 destes falam inglês e espanhol. Assim, a probabilidade do funcionário escolhido falar os dois idiomas é 25/45=5/9.. Logo, a afirmativa I é falsa. Ao todo, 40−25=15 funcionários falam inglês e não falam espanhol. Logo, a probabilidade do funcionário escolhido falar inglês e não falar espanhol é 15/45=1/3. Com isso, a afirmativa II é verdadeira. Notamos que 45−40=5 funcionários sabem falar espanhol e não sabem falar inglês. Daí, a probabilidade do funcionário escolhido falar espanhol e não falar inglês é 5/45=1/9 e a afirmativa III é verdadeira. 
Questão 6/12 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta a soma dos coeficientes do polinômio .p(x)=(x+1)5.
Nota: 0.0
	
	A
	16
	
	B
	24
	
	C
	32
Desenvolvendo p(x) com auxílio do Binômio de Newton, temos p(x)=5∑p=0(5p)x5−p. Da expressão acima, garantimos que a soma dos coeficientes do polinômio p(x) é obtida fazendo-se x=1, ou seja, p(1)=(1+1)5=32.
	
	D
	40
	
	E
	48
Questão 7/12 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x2 no desenvolvimento de (x+2)5:
Nota: 10.0
	
	A
	60
	
	B
	70
	
	C
	80
Você acertou!
O termo geral do desenvolvimento de (x+2)5 é dado por Tp+1=(5p)2px5−p com 0≤p≤5. Como queremos o coeficiente de x2, devemos impor que 5−p=2, isto é, p=3. Portanto, T4=(53)23x2=80x2. 
	
	D
	90
	
	E
	100
Questão 8/12 - Análise Combinatória
Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (AA, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J,Q,KJ,Q,K) de cada naipe (ouros - ♢♢, copas - ♡♡, paus - ♣♣ e espadas - ♠♠). Com base nesse experimento, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral ΩΩ associado a este experimento possui exatamente 52 eventos elementares. 
II. A probabilidade de que a carta sorteada seja um JJ é 152152. 
III. Sabendo que a carta sorteada é de copas, a probabilidade de que ela seja um JJ é 113.113. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
Você acertou!
O baralho possui 4×13=52 cartas. Logo, o espaço amostral possui 52 eventos elementares e a afirmativa I é correta. Consideremos M o evento "sortear J". Logo, #M=4 e a probabilidade da carta sorteada ser um J é P(M)=4/52=1/13. Com isso, a afirmativa II é incorreta. Passamos para a afirmativa III. Trata-se de uma probabilidade condicional. Seja BB o evento "sortear copas". Então, P(M∩B)=1/52 e P(B)=13/52. Portanto, a probabilidade da carta sorteada ser JJ, dado que é de copas é P(M∖B)=P(M∩B)/P(B)=1/13.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 9/12 - Análise Combinatória
Brasil e Alemanha participam de um campeonatointernacional de futebol no qual competem oito seleções. Na primeira rodada serão realizadas quatro partidas, nas quais os adversários são escolhidos por sorteio. Assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de Brasil e Alemanha se enfrentarem na primeira rodada.
Nota: 10.0
	
	A
	1/8
	
	B
	3/8
	
	C
	1/2
	
	D
	1/7
Você acertou!
São 7 possíveis adversários para o Brasil com a mesma chance de serem escolhidos. Com isso, a probabilidade da Alemanha ser adversária do Brasil na primeira rodada é 1/7.
	
	E
	4/7
Questão 10/12 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x2 no desenvolvimento do binômio (3x+2)3.
Nota: 0.0
	
	A
	18
	
	B
	27
	
	C
	36
	
	D
	54
O termo geral do desenvolvimento do binômio (3x+2)3 é dado por Tp+1=(3p)2p(3x)3−p=(3p)2p33−px3−p. Como estamos interessados no coeficiente de x2, devemos impor que 3−p=2, isto é, p=1p=1. Portanto, este coeficiente vale (31)21⋅32=54.
	
	E
	63
Questão 11/12 - Análise Combinatória (questão opcional)
As noções de arranjo e combinação simples são ferramentas fundamentais no processo de contagem. Com base nessas noções, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I.  (   ) Um arranjo de n elementos (distintos), tomados p a p, é qualquer maneira de listar ordenadamente p elementos dentre os n elementos dados.
II. (   ) Em uma combinação simples, apenas o conjunto dos elementos escolhidos é relevante, de modo que a ordem em que eles são tomados não importa. 
III.(   ) Quatro atletas participam de uma corrida. Ao todo, existem C4,3=4 resultados possíveis para o 1º, 2º e 3º lugares. 
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois trata-se da definição de arranjo. A afirmativa II também é verdadeira. Na combinação simples, a ordem como os elementos são tomados não é relevante. Já a afirmativa III é falsa. Neste problema, a ordem como os atletas são dispostos no pódio é relevante. Assim, o número de resultados possíveis é A4,3=4!/(4−3)!=24.
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Questão 12/12 - Análise Combinatória (questão opcional)
Assinale a alternativa que apresenta o número exato de anagramas da palavra PRÁTICO que iniciam com R e terminam com I.
Nota: 10.0
	
	A
	24
	
	B
	60
	
	C
	120
Você acertou!
Uma vez fixadas as letras R e I, devemos permutar as 5 letras restantes: P, A, T, C, O. Logo, teremos 5!=120 anagramas que iniciam com a letra R e terminam com a letra I.
	
	D
	360
	
	E
	720
Questão 1/3 - Análise Combinatória DISCURSIVA
Com relação à palavra PASTEL: 
a) Quantos anagramas existem? 
b) Quantos anagramas começam com L? 
c) Quantos anagramas começam com L e terminam com A?
Nota: 33.3
	a) Cada anagrama é uma permutação das letras P, A, S, T, E, L. Logo, existem 6!=720 anagramas.
b) Fixado L como primeira letra do anagrama, temos somente que permutar as letras P, A, S, T, E. Logo, existem 5!=120 anagramas que iniciam com a letra L.
c) Fixado L como primeira letra do anagrama e A como sua última letra, devemos permutar somente as letras P, S, T, E. Portanto, teremos 4!=24 anagramas com iniciam com T e terminam com A.
Resposta: 
	
Questão 2/3 - Análise Combinatória
Quantos números naturais de 4 algarismos, que sejam menores do que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5? Justifique sua resposta.
Nota: 33.3
	Observamos que o último algarismo só pode ser 5 (pois o número em questão é divisível por 5). O primeiro algarismo pode ser escolhido de 3 modos (não podemos escolher o algarismo 5), já que o número em questão é menor do que 5000. Tanto o segundo quanto o terceiro algarismo podem ser escolhidos de 4 modos (usando os algarismos 2, 3, 4 e 5). Pelo Princípio Fundamental da Contagem, obtemos 3×4×4×1=48 números satisfazendo as condições dadas.
Resposta: 
	
Questão 3/3 - Análise Combinatória
Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x+1/x)6(x−1/x)6.
Nota: 10.0
	Inicialmente, notamos que é um produto notável a diferença de dois quadrados:
(x+1/x)6(x−1/x)6=[(x+1/x)(x−1/x)]6=(x2−1/x2)6.
O termo geral do desenvolvimento deste binômio é
Tp+1=(6p)(−1x2)p(x2)6−p=(6p)(−1)px−2px12−2p=(6p)(−1)px12−4p.
Como estamos interessados no coeficiente independente de x, devemos impor que 12−4p=0, donde p=3. Logo, o termo independente de x vale T4=(63)(−1)3=−20.
Resposta: