Folha2

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Mecaˆnica Cla´ssica (I)- 2013/2014
folha 1
1. Considere uma part´ıcula sujeita a` forc¸a da gravidade que se move apenas na vertical.
Obtenha a equac¸a˜o de movimento da part´ıcula a partir da sua energia mecaˆnica. Con-
sidere o movimento unidimensional.
R: y = y0 + v0(t− t0)− g/2(t− t0)2.
2. Uma part´ıcula de massa m pendurada numa mola executa um movimento unidimensional
sujeita ao potencial
U(y) = −mgy +
k
2
y2,
onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade e k e´ a constante de elasticidade da mola.
Obtenha a equac¸a˜o de movimento da part´ıcula a partir da sua energia mecaˆnica. Con-
sidere o movimento unidimensional.
R: y = gm/k +
√
2E/k + g2 sin(ω(t− t0) + δ0).
3. Considere o potencial uni-dimensional
U(x) =
−Wd2(x2 + d2)
x4 + 8d4
Represente U(x) em func¸a˜o de x. O movimento e´ limitado ou ilimitado? Quais sa˜o
os pontos de equil´ıbrio? Sa˜o esta´veis ou insta´veis? Calcule os pontos de retorno para
E = −W/8 supondo que W e´ uma constante positiva.
R: Movimento limitado; x0,1 = 0 insta´vel, x0,2 =
√
2d esta´vel, x0,3 = −
√
2d esta´vel; Pontos
de retorno: x1 = 0, x2 = 2
√
2d, x3 = −2
√
2d.
4. Uma part´ıcula, com movimento unidimensional, move-se sob a influeˆncia da forc¸a
F = −kx+ kx3/α2,
onde k e α sa˜o constantes e k > 0.
(a) Determine U(x) e discuta os movimentos poss´ıveis que a part´ıcula pode ter.
(b) O que se passa em E = kα2/4?
(c) Determine o ponto de equil´ıbrio esta´vel e a frequeˆncia das pequenas oscilac¸o˜es em
torno deste ponto.
R: (a) U(x) = −(kx2)/(4α2) + kx2/2; (c) x = 0
5. Considere uma part´ıcula sujeita ao potencial V (x) = −A sin4(αx), onde A, α > 0.
(a) Determine a forc¸a exercida sobre a part´ıcula.
(b) Determine x(t) quando a energia mecaˆnica da part´ıcula e´ E = 0.
(c) Em que condic¸o˜es a part´ıcula tem uma o´rbita ilimitada?
(d) Se a energia da part´ıcula for E = −A/16 indique dois pontos de retorno.
(e) Em que pontos e´ ma´xima e mı´nima a energia cine´tica da part´ıcula?