GABARITO AD1 met det II 2017 1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2017
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 1 - AD1
Questa˜o 1: (2,0pts) Resolva a equac¸a˜o 5e7−x = 10x+3.
Soluc¸a˜o: Existem mais de uma forma de encontrar a soluc¸a˜o desta equac¸a˜o. Vou dar duas formas
Forma A Veja que e 5 = eln 5 e 10 = eln 10
5e7−x = 10x+3 ⇐⇒ eln 5e7−x = e7−x+ln 5 = (eln 10)x+3 = e(x+3) ln 10.
Logo, precisamos resolver
7− x+ ln 5 = (x+ 3) ln 10⇔ 7 + ln 5− 3 ln 10 = x ln 10 + x⇐⇒ 7 + 5
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= x(1 + ln 10)
Portanto, x = 7−ln 2001+ln 10 .
Forma B Aplicando o ln dos dois lados da equac¸a˜o temos:
ln
(
5e7−x
)
= ln 10x+3 ⇔ ln 5 + 7− x = (x+ 3) ln 10⇔ 7 + ln 5− 3 ln 10 = x(1 + ln 10)
O qual claramente da´ o mesmo resultado do anterior.
Questa˜o 2: (2,0pts) Fac¸a cada um dos itens:
a) Se f(x) =
√
x+ 1, g(x) = x2 + 2 e h(x) = x+ 3 encontre f ◦ g ◦ h.
b) Se H(x) = 3
√√
x− 1 determine func¸o˜es f , g e h tal que H(x) = (f ◦ g ◦ h)(x).
Soluc¸a˜o: a)
(f ◦ g ◦ h)(x) = (f ◦ g)(x+ 3)
= f((x+ 3)2 + 2) = f(x2 + 6x+ 11)
=
√
x2 + 6x+ 12.
b) Existem diversas formas de resolver este item - todas sera˜o consideradas desde que na˜o tenham
erros matema´ticos - vou dar um exemplo de uma possibilidade de resoluc¸a˜o deste item. Chame de
h(x) =
√
x, g(x) = x− 1 e f(x) = 3√x, pois
(f ◦ g ◦ h)(x) = (f ◦ g)(√x)
= f(
√
x− 1)
=
3
√√
x− 1.
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Questa˜o 3: (2,0pts) Se g(x) = 3 + x+ ex encontre g−1(4).
Soluc¸a˜o: Observe que calcular g−1(4) e´ equivalente a determinar x ∈ R para os quais 3 + x+ ex =
4⇔ x+ ex = 1.
Veja que se x < 0 enta˜o ex < 1 e da´ı, na˜o pode existir x ∈ R tal que x + ex = 1. Se x = 0 a
equac¸a˜o e´ satisfeita. Por outro lado, tanto y = x e y = ex sa˜o func¸o˜es crescentes, logo, x+ ex tambe´m
o e´. Da´ı que se encontramos uma soluc¸a˜o ela deve ser u´nica.
Questa˜o 4: (1,0pts) Calcule lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a e limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
quando f(x) = x3 − 3x2 + 2 e
a = 2.
Soluc¸a˜o: Vamos iniciar calculando f(2) = 23− 4× 22+2 = −2 e vamos precisar dividir x3− 3x2+4
por x− 2 que da´ x2 − x− 2.
lim
x→2
f(x)− f(a)
x− a = limx→2
x3 − 3x2 + 2− (−2)
x− 2
= lim
x→2
(x− 2)(x2 − x− 2)
x− 2 = limx→2(x
2 − x− 2) = 0,
e o outro limite fica
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
h→0
(2 + h)3 − 3(2 + h)2 + 2− (−2)
h
= lim
h→0
h3 + 3h2
h
= lim
h→0
(h2 + 3h)h
h
= lim
h→0
(h2 + 3h) = 0.
Questa˜o 5: (2,0pts) Estime o valor do lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
, por avaliar a func¸a˜o f(t) =
√
t2+9−3
t2
em
pelo menos 10 valores pro´ximos de 0.
Soluc¸a˜o:
t f(t)
±0.6 0.165033
±0.5 0.165525
±0.1 0.16662
±0.01 0.166666
±0.001 0.166667
Portanto, se espera que este limite convirja para 0.16666 . . . .
Questa˜o 6: (1,0pts) Uma pedra e´ jogada em um lago, criando uma onda circular que viaja na
velocidade de 60 cm/s.
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a) Expresse o raio r desta circunfereˆncia em func¸a˜o do tempo.
b) Se A e´ a a´rea desta regia˜o circular em func¸a˜o do raio, encontre A ◦ r e deˆ uma interpretac¸a˜o desta
func¸a˜o.
Soluc¸a˜o: a) Vamos expressar o raio em func¸a˜o do tempo. Como a onda circular viaja a 60 cm/s, ja´
que o raio e´ o mesmo aspecto deste fenoˆmeno, podemos escrever r(t) = 60t. No primeiro segundo o
raio tera´ 60 cm de comprimento e assim sucessivamente.
b) Como a a´rea da regia˜o circular e´ dado em func¸a˜o do raio por pir2. Fazendo a composta temos:
(A ◦ r)(t) = A(r(t)) = A(60t) = pi(60t)2 = 3600pit2
Esta func¸a˜o nos fornece a a´rea da regia˜o circular, em func¸a˜o do tempo, de t segundos.
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