P2 com Gabarito-A

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BC0406 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e a` Estat´ıstica
Turma A-Noturno (Sa˜o Bernardo)
Prof. Vladimir Perchine
Prova - 2 (gabarito)
1. Um conjunto de 100 itens conte´m 6 itens defeituosos. Calcule a probabilidade
de que uma amostra de 10 itens escolhidos aleatoreamente contenha mais de
dois itens defeituosos.
Aproximadamente, o nu´mero k de itens defeituosos na amostra pode ser considerado uma
varia´vel binomial com n = 10, p = 0, 06:
P (0) = 0, 9410 = 0, 539; P (1) = 10 · 0, 06 · 0, 949 = 0, 344;
P (2) =
(
10
2
)
0, 062 · 0.948 = 0.099; P (k > 2) = 1− P (0)− P (1)− P (2) = 0, 018
Obs. A distribuic¸a˜o exata e´ hipergeome´trica P (k) =
(
6
k
)(
94
10−k
)/(
100
10
)
e temos:
P (0) =
(
6
0
)(
94
10
)/(
100
10
)
= 0, 522; P (1) =
(
6
1
)(
94
9
)/(
100
10
)
= 0, 369;
P (2) =
(
6
2
)(
94
8
)/(
100
10
)
= 0, 096; P (k > 2) = 1− P (0)− P (1)− P (2) = 0, 013
Agradec¸o o aluno Gustavo Santos Costa por ter questionado o uso da distribuic¸a˜o binomial
nesta questa˜o.
2. O tempo necessa´rio para a manutenc¸a˜o de uma ma´quina e´ uma varia´vel aleato´ria
exponencialmente distribu´ıda com o valor me´dio de 2 horas. Qual e´ a probabil-
idade de que um reparo dure mais de 2 horas?
E(X) =
1
λ
= 2, ⇒ λ = 1/2, P (X > 2) = 1− F (2) = e−2λ = 1/e ≈ 0, 37
3. A func¸a˜o de probabilidade conjunta de X e Y e´ dada por P (2, 3) = 3/8, P (2, 5) =
1/4, P (4, 3) = 1/4, P (4, 5) = 1/8.
As distribuic¸o˜es marginais sa˜o
P (X = 2) = 5/8, P (X = 4) = 3/8; P (Y = 3) = 5/8, P (Y = 5) = 3/8.
(a) Calcule a func¸a˜o de probabilidade condicional P (X|Y = 3).
P (X = 2|Y = 3) = 3/8
5/8
=
3
5
, P (X = 4|Y = 3) = 1/4
5/8
=
2
5
(b) Calcule Cov(X, Y ).
E(X) = 2 · 5
8
+ 4 · 3
8
= 11
4
, E(Y ) = 3 · 5
8
+ 5 · 3
8
= 15
4
,
E(XY ) = 2 · 3 · 3
8
+ 2 · 5 · 1
4
+ 4 · 3 · 1
4
+ 4 · 5 · 1
8
= 41
4
Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = − 1
16
4. Para os dados a seguir, determine a moda, a me´dia e a mediana, e fac¸a o box-plot
e o histograma: 221 240 236 235 225 234 228 227 234 225
Duas modas: 225 e 234, mediana=231, me´dia= 230,5; Q1 = 225, Q3 = 235. Para fazer o
histograma, dividimos a amplitude = 19 em k = [
√
10] = 3 classes.
5. Doze por cento da populac¸a˜o sa˜o de canhotos. Obtenha uma aproximac¸a˜o para
a probabilidade de que existam pelo menos 20 canhotos em uma escola de 200
alunos.
O nu´mero de canhotos na escola e´ uma variavel binomial X200 com n = 200, p = 0, 12,
E(X) = np = 24, Var(X) = np(1 − p) = 21, 12. Usando uma varia´vel normal Z200 para
aproximar X200, temos:
P (X200 ≥ 20) = P (X200 > 19, 5) = P
(
X200 − 24√
21, 12
>
19, 5− 24√
21, 12
)
≈ P (Z200 > −0, 98) = 1− Φ(−0, 98) = Φ(0, 98) ≈ 0, 84