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29/08/2016
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Aula 1
Especialista em controladoria e
finanças
Bacharel em ciências contábes
Medida de Tendência Central
Média Aritmética:
A medida de tendência central mais comum para um 
conjunto de dados é a média aritmética. A média 
aritmética amostral de um conjunto de dados é a razão 
entre a soma de todos os valores do conjunto de dados 
e o número total dos valores.
X = média amostral e µ = 
média populacional
n
x
sobservaçõenúmero de 
xalores de soma dos v
 ou μx
n
i
i
 1
EXEMPLO: Calcule a média aritmética 
populacional (µ) do seguinte conjunto de dados 
{5,7,8,9,11}.
Software EXCEL: =
MÉDIA(5;7;8;9;11)
 
8
5
40
5
119875




n
x
μ
i
Medida de Tendência Central
Média Aritmética Ponderada:
No cálculo da média ponderada, cada valor coletado na 
série tem uma participação proporcional ao seu peso:
Onde:
xi – observações ou números 
da variável em estudo; 
pi – ponderações ou pesos da 
variável.







n
i
i
n
i
ii
n
nn
p
px
pppp
pxpxpxpx
x
1
1
321
332211
....
*....***
Medida de Tendência Central
Média Aritmética Ponderada:
EXEMPLO: Calcule a média aritmética ponderada 
dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os 
seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5.
22
11
242
5321
5*303*182*141*10



x
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Medida de Tendência Central
Média Aritmética Ponderada:
EXEMPLO: Uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D, E. O 
lucro por unidade comercializada destes produtos é 
respectivamente R$200,00; R$300,00; R$500,00; R$1000,00 e 
R$5000,00. Sabendo-se que a loja vendeu em determinado mês 
20; 30; 20; 10 e 5 unidades de A, B, C, D, E respectivamente, o lucro 
médio por unidade comercializada (média ponderada) desta loja 
neste mês é:
85,682
85
58000
510203020
5*500010*100020*50030*30020*200



x
682,35
Medida de Tendência Central
Média (Dados Agrupados):
Quando os dados estiverem agrupados numa 
distribuição de frequência usaremos a média aritmética 
dos valores x1, x2, x3,....xn, ponderados pelas 
respectivas frequência absolutas f1, f2, f3,..., fn, Assim:
Onde: xi é o ponto médio da 
classe
 



i
ii
f
fx
x
Medida de Tendência Central
Média (Dados Agrupados):
EXEMPLO: Considere a tabela de frequências abaixo, que 
apresenta a distribuição dos salários dos funcionários de certa 
empresa. Com base nestes dados, calcule o valor da média dos 
salários dos funcionários desta empresa.
Salários (R$) Frequências (fi)
1000  2000 35
2000  3000 17
3000  4000 10
4000  5000 5
5000  6000 3
Total 70
 
29,2414
70
169000



i
ii
f
fx
x
Medida de Tendência Central
Média (Dados Agrupados):
EXEMPLO (RESOLUÇÃO):
Salários (R$) Frequências (fi)
1000  2000 35
2000  3000 17
3000  4000 10
4000  5000 5
5000  6000 3
Total 70
 
29,2414
70
169000



i
ii
f
fx
x
xi xi*fi
1500 52500
2500 42500
3500 35000
4500 22500
5500 16500
169000
Medida de Tendência Central
Mediana:
 A mediana é o valor que ocupa a posição central do 
conjunto de dados ordenados (ROL), portanto está 
localizada na posição central tal que 50% dos valores 
são menores que a mediana, e os demais 50% são 
maiores.
 Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, 
depois de ordenada a amostra 
de n elementos dispostos 
segundo uma ordem 
(crescente ou decrescente).
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Medida de Tendência Central
Mediana:
n ímpar: Se o número de elementos (n) da série estatística 
for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos 
elementos da série. Neste caso existirá um único valor de 
posição central, e esse valor será a mediana. 
EXEMPLO: Calcule a mediana {2, 3, 5, 7, 5, 6, 9, 12, 5}
ROL: 2, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 9, 12 . A Mediana é o elemento central, 
o 5.
Software EXCEL: =
MED(2;3;5;7;5;6;9;12;5)
Medida de Tendência Central
Mediana:
n par: Se o número de elementos da série estatística for par, 
nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da 
série de dados. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 
elementos centrais da série de dados. 
EXEMPLO: Calcule a mediana do seguinte conjunto de dados {31, 
20, 26, 40, 23, 43, 27, 47, 20, 22}.
ROL: 20, 20, 22, 23, 26, 27, 31, 40,43, 47. Como n=10 (par), a 
mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais 
da série de dados. Neste caso: Mediana = 
(26 + 27)/2 = 26,50.
Software EXCEL: =MED(31;20;26;
40;23;43;27;47;20;22)
Medida de Tendência Central
Mediana (Dados Agrupados):
Para se calcular a mediana em dados agrupados devemos seguir 
os seguintes passos:
1º) Determinamos as frequências acumuladas ( Fi = n);
2º) Calculamos n/2; como a variável é contínua, não se preocupe 
se n é par ou ímpar.
3º) Marcamos a classe correspondente à frequência 
acumulada imediatamente superiorà Fi/2. Tal classe será a classe 
mediana (classe Md); 
4º) Calculamos a Mediana pela 
seguinte fórmula: 
Medida de Tendência Central
Mediana (Dados Agrupados):
4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:
Onde:
lMd = limite inferior da classe 
mediana;n = tamanho da amostra 
ou número de elementos;
FAA = é a frequência acumulada da 
classe anterior à classe mediana;
h = é a amplitude do intervalo da 
classe mediana;
FMd = é a frequência da classe 
mediana;
Md
Md
F
hFAA
n
lMediana














*
2
Medida de Tendência Central
Mediana (Dados Agrupados):
EXEMPLO: Calcule a mediana do seguinte conjunto de dados.
Intervalos das 
Classes
Frequência (fi)
35 I- 45 5
45 I- 55 12
55 I- 65 18
65 I- 75 14
75 I- 85 6
85 I- 95 3
Total 58
Frequência 
Acumulada (Fac)
5
17
35 (Classe Md)
49
55
58
Medida de Tendência Central
Mediana (Dados Agrupados):
RESOLUÇÃO: 
1º) Frequências acumuladas ( Fi = n = 58);
2º) Calculamos n/2; como a variável é contínua, não se 
preocupe se n é par ou ímpar (58/2=29);
3º) Classe mediana (classe Md): 55 I- 65, pois apresenta 
frequência acumulada (35) 
imediatamente superior à 
Fi/2 (29);
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Medida de Tendência Central
Mediana (Dados Agrupados):
Neste Exemplo:
lMd = limite inferior da classe mediana (55);
n = tamanho da amostra ou número de elementos (58);
FAA = é a frequência acumulada da 
classe anterior à classe mediana 
(17);
h = é a amplitude do intervalo da classe mediana (10);
FMd = é a frequência da classe 
mediana (18);
4º) Calculamos a Mediana pela 
seguinte fórmula:
Md
Md
F
hFAA
n
lMediana














*
2
67,6167,655
18
10*17
2
58
55 













Mediana
Medida de Tendência Central
Moda (Dados Não Agrupados): É o valor da amostra 
que mais se repete; ou seja, valor que ocorre com maior 
frequência. 
EXEMPLO: Calcule a MODA do seguinte conjunto de 
dados {7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12} 
RESPOSTA: A moda é igual a 10 (valor que mais se 
repete)
Software EXCEL: =MODO.
ÚNICO (7;8;9;10;10;10;11;12)
Medida de Tendência Central
Moda (Dados Agrupados) :
A classe que apresenta a maior frequência é 
denominada classe modal.
Fórmula de CZUBER : 1°) Identifique a classe 
modal (aquela que possuir maior frequência).
2°) Aplicar a fórmula 
abaixo:
 
h
dd
d
lMo *
21
1








Onde:
l = limite inferior da classemodal
d1 = frequência da classe modal –
frequência da classe anterior à da classe modal
d2 = frequência da classe modal - frequência da 
classe posterior à da classe modal
h = amplitude da classe 
modal
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Medida de Tendência Central
Moda (Dados Agrupados) - Fórmula de CZUBER:
EXEMPLO: Calcule a MODA do seguinte conjunto de 
dados agrupados em intervalos de classe.
Classe Preços (R$)
N de 
produtos
1 100 I- 120 12
2 120 I- 140 16
3 140 I- 160 13
4 160 I- 180 5
5 180 I- 200 4
Medida de Tendência Central
Moda (Dados Agrupados) - Fórmula de CZUBER:
RESOLUÇÃO: 
Classe Preços (R$)
N de 
produtos
1 100 I- 120 12
2 120 I- 140
16 (Classe
Modal)
3 140 I- 160 13
4 160 I- 180 5
5 180 I- 200 4
A classe modal é a segunda classe (contém 16 produtos);
l = limite inferior da classe modal (120)
d1 = frequência da classe modal - frequência da classe 
anterior à da classe modal 
(16-12=4)
d2 = frequência da classe modal – frequência da classe 
posterior à da classe modal (16-13=3)
h = amplitude da classe modal (20)
43,13120*
34
4
120 






Mo
Medidas de Dispersão
São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de 
variabilidade ou dispersão, dos valores em torno da média 
aritmética. 
Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y 
e Z: 
X = {70, 70, 70, 70, 70} 
Y = {68, 69, 70, 71, 72} 
Z = {5, 15, 50, 120, 160}
Podemos observar que os três 
conjuntos apresentam a mesma 
média aritmética = 350/5 = 70
b.1) Variância populacional (2) e amostral (s 2) :
b.2) Desvio Padrão populacional ( ) e 
amostral (s):
 
n
.Fxx
σ
ii 

2
2
 
1
2
2




n
.Fxx
s
ii
2  2ss 
Medidas de Dispersão
EXEMPLO: Calcule a variância e o desvio padrão (amostral e 
populacional) do seguinte conjunto de dados {5,7,8,9,11}. 
Média = 8
 
xi Fi 
xxi 
   ii Fxx *2 
5 1 
385 
 9 
7 1 
187 
 1 
8 1 
088 
 0 
9 1 
189 
 1 
11 1 
3811 
 9 
Total n=5 20 
 
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Software EXCEL: 
Variância Amostral (s2)=VAR.A
(5;7;8;9;11) 
Desvio Padrão Amostral (s)=
DESVPAD.A(5;7;8;9;11)
Variância Populacional (2)=
VAR.P(5;7;8;9;11) 
Desvio Padrão Populacional ()=
DESVPAD.P(5;7;8;9;11)
 
24
4
5
20
:
2
2
2







n
.Fxx
alPopulacion
ii
 
24,25
5
15
20
1
:
2
2
2








ss
n
.Fxx
s
Amostral
ii
Medidas de Dispersão
EXEMPLO: As vendas mensais (em toneladas) de uma fábrica de 
tecidos são: {1; 2; 2; 1; 1; 3; 1; 5; 2; 4}, calcule a amplitude, a 
variância e o desvio padrão populacional deste conjunto de 
dados.
Resolução:
Medidas de Dispersão
EXEMPLO: Considerando a amostra {5, 8, 6, 9, 10, 16}, calcule a 
variância e o desvio-padrão amostral.
Resolução:
Medidas de Dispersão
Coeficiente de Variação (CV):
Medida de Dispersão Relativa - Trata-se de uma medida relativa 
de dispersão útil para comparação em termos relativos do grau de 
dispersão em torno da média de séries distintas. É dado por:
Onde: s= desvio-padrão amostral 
e 𝑥 = média 
EXEMPLO: Em determinada 
empresa o salário médio é de 
R$ 3000,00 com desvio-padrão de 
R$ 450,00. Com base nestes dados 
calcule o coeficiente de variação 
(CV).
𝐶𝑉 =
𝑠
 𝑥
∗ 100
𝐶𝑉 =
450
3000
∗ 100 = 15%
FREUND, John E. Estatística aplicada: economia, administração e 
contabilidade. 11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.
GARCIA, R. - UNOPAR. Estatística. São Paulo: Editora: Pearson 
Education do Brasil, 2009.
NEUFELD, John L. Estatística aplicada à administração: usando 
Excel. São Paulo: Pearson, 2002. 
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: 
Pearson, 2008. 
MCCLAVE, James T; BENSON, P. George; SINCICH, Terry. Estatística 
para administração e economia. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2009.