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Prof. Dr. Bruno Honda Probabilidade e Estatística UNIDADE III Medidas de tendência central Média Moda Mediana Medidas de dispersão Variância Desvio padrão Coeficiente de variação (CV) Tópicos – Unidade III Média: valor médio, constante Medidas de tendência central Moda: é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Mediana: valor que ocupa a posição central dos dados ordenados (divide a série de valores exatamente na metade). Considere um conjunto de dados: Para a mediana, temos 2 situações: Número de termos ímpares: próprio elemento central. Ex.: 1,2,3,4,5 – a mediana é 3 (termo central). Número de termos pares: média dos elementos centrais. Ex.: 2,4,6,8,10,12 – os elementos centrais são 6 e 8. A mediana é, portanto, a média simples desses valores: Mediana Md = 7 Considere a seguinte sequência de dados: 3,4,4,4,5,6,6,7,8,9 Exemplo n = 10 (10 elementos na série) Média: Moda: Mo = 4 Mediana: Md = 5,5 Considere a seguinte sequência de dados: 2,3,4,4,5,6,6,7,8 Exemplo n = 9 Média: Moda: 4 e 6 Mediana: Md = 5 Considere a seguinte sequência de dados: 3,4,5,6,7,8,9 Exemplo n = 7 Média: Moda: não há Mediana: Md = 6 Considere a sequência de dados: 1, 2, 2, 4, 5, 10. Assinale a alternativa correta: a) A média é igual a 10. b) O valor da mediana é 4. c) O valor da mediana é 2. d) O valor da média é 3. e) A moda é igual a 2. Interatividade Considere a sequência de dados: 1, 2, 2, 4, 5, 10. Assinale a alternativa correta: a) A média é igual a 10. b) O valor da mediana é 4. c) O valor da mediana é 2. d) O valor da média é 3. e) A moda é igual a 2. Resposta Média = 4 Mediana = 3 Vamos considerar este exemplo: Dados agrupados sem intervalos de classe A tabela mostra a frequência em que cada evento ocorre. “Coluna auxiliar”. fi – frequência faci – frequência acumulada Classe Nº de irmãos fi faci xi* fi 1 0 5 5 0 2 1 14 19 14 3 2 6 25 12 4 3 10 35 30 5 4 5 40 20 total 40 76 Tabela – Número de irmãos dos alunos de Estatística do professor X Fonte: livro-texto Média: Dados agrupados sem intervalos de classe Moda: valor com maior frequência (fi) Mo = 1 Mediana: o valor da variável que possui frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências. Classe Nº de irmãos fi faci xi* fi 1 0 5 5 0 2 1 14 19 14 3 2 6 25 12 4 3 10 35 30 5 4 5 40 20 total 40 76 Tabela – Número de irmãos dos alunos de Estatística do professor X Fonte: livro-texto Mediana Como n = 40, temos que: n/2 = 20. Na tabela, identificamos a primeira classe cuja frequência acumulada é maior que 20. Md = 2. Classe Nº de irmãos fi faci xi* fi 1 0 5 5 0 2 1 14 19 14 3 2 6 25 12 4 3 10 35 30 5 4 5 40 20 total 40 76 Tabela – Número de irmãos dos alunos de Estatística do professor X Fonte: livro-texto Vamos considerar outro exemplo: Dados agrupados com intervalos de classe Ponto médio (PM) Média: i classe PMi fi faci xi* fi 1 155├─161 158 4 4 632 2 161├─167 164 10 14 1640 3 167├─173 170 10 24 1700 4 173├─179 176 11 35,0 1936 5 179├─185 182 1 36 182 6 185├─191 188 4 40 752 TOTAL 40 6842 Tabela –Altura dos alunos de Estatística do professor X Fonte: livro-texto Moda: define-se classe modal como sendo aquela que apresenta a maior frequência; e moda bruta como o ponto médio da classe modal. Classe 4: 11 eventos Classe modal 173├─ 179 Moda bruta 176 cm i classe PMi fi faci xi* fi 1 155├─161 158 4 4 632 2 161├─167 164 10 14 1640 3 167├─173 170 10 24 1700 4 173├─179 176 11 35,0 1936 5 179├─185 182 1 36 182 6 185├─191 188 4 40 752 TOTAL 40 6842 Tabela –Altura dos alunos de Estatística do professor X Fonte: livro-texto Mediana: classe mediana como sendo aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências e é nela que se encontra a mediana. Problema: determinar exatamente o valor da “metade” LI – limite inferior da classe fac(anterior) – frequência acumulada inferior h – amplitude da classe f – frequência absoluta da classe Passo a passo: n = 40 – metade (n/2 = 20) Classe com frequência 20: classe 3 Classe 3: LI = 167 h = 6 f = 10 Fac(anterior) = 14 Mediana i classe PMi fi faci xi* fi 1 155├─161 158 4 4 632 2 161├─167 164 10 14 1640 3 167├─173 170 10 24 1700 4 173├─179 176 11 35,0 1936 5 179├─185 182 1 36 182 6 185├─191 188 4 40 752 TOTAL 40 6842 Tabela –Altura dos alunos de Estatística do professor X Fonte: livro-texto De acordo com a tabela a seguir, qual o valor da média de salários apresentada? a) R$ 8.944,44. b) R$ 2.359,60. c) R$ 4.727,80. d) R$ 2.000,00. e) R$ 500,00. Interatividade Salário (em R$) Número de funcionários 500,00 20 1.000,00 10 1.500,00 10 2.000,00 20 2.500,00 15 3.000,00 6 50.000,00 5 10.000,00 3 15.000,00 1 Fonte: livro-texto De acordo com a tabela a seguir, qual o valor da média de salários apresentada? a) R$ 8.944,44. b) R$ 2.359,60. c) R$ 4.727,80. d) R$ 2.000,00. e) R$ 500,00. Resposta Salário (em R$) Número de funcionários 500,00 20 1.000,00 10 1.500,00 10 2.000,00 20 2.500,00 15 3.000,00 6 50.000,00 5 10.000,00 3 15.000,00 1 Fonte: livro-texto Medidas de dispersão: precisão e acurácia Medidas de dispersão precisão e acurácia Fonte: br.freepik.com Medidas de dispersão: precisão e acurácia Medidas de dispersão precisão e acurácia Fonte: br.freepik.com Medidas de dispersão: precisão e acurácia Medidas de dispersão precisão e acurácia Fonte: br.freepik.com Variância: Desvio padrão: Dados agrupados: Amplitude: diferença entre os valores extremos Considere a sequência: 3,4,4,4,5,6,6,7,8,9 (n = 10) Exemplo: variância e desvio padrão Passo 1: calcular a média: Variância Desvio padrão Passo 2: tabela auxiliar – organização xi (xi – x) 2 3 6,76 4 2,56 4 2,56 4 2,56 5 0,36 6 0,16 6 0,16 7 1,96 8 5,76 9 11,56 Σ=56 Σ=34,4 Fonte: livro-texto Tabela (colunas auxiliares) Dados agrupados sem intervalos de classe Variância: Desvio padrão: i Classe PMi fi xi* fi x 2* fii 1 155├─ 161 158 4 632 99856 2 161├─ 167 164 10 1640 268960 3 167├─ 173 170 10 1700 289000 4 173├─ 179 176 11 1936 340736 5 179├─ 185 182 1 182 33124 6 185├─ 191 188 4 752 141376 TOTAL 40 6842 1173052 Fonte: livro-texto Considere a seguinte sequência de números inteiros: O valor do desvio padrão é: a) 1,79. b) 2,29. c) 0,01. d) 0,05. e) 3,14. Interatividade Fonte: livro-texto Considere a seguinte sequência de números inteiros: O valor do desvio padrão é: a) 1,79. b) 2,29. c) 0,01. d) 0,05. e) 3,14. Resposta Fonte: livro-texto Comparação relativa (percentual) do desvio padrão em relação à média. Coeficiente de variação (CV) Considere a sequência: 2,3,4,4,5,6,6,7,8 (n = 9) xi (xi – x)2 2 9 3 4 4 1 4 1 5 0 6 1 6 1 7 4 8 9 Σ=45 Σ=30 Fonte: livro-texto Considere a sequência: 3,4,5,6,7,8,9 (n = 7) Tabela auxiliar Dados sem intervalo de classe Classe Nº de irmãos fi xi* fi xi 2 * fi 1 0 5 0 0 2 1 14 14 196 3 2 6 12 72 4 3 10 30 300 5 4 5 20 100 Total 40 76 668 Fonte: livro-texto Medidas de posição: são aquelas associadas às principais posições dos dados dentro do seu conjunto. Medidas de tendência central: determinam um valor em torno do qual tende a se concentrar a maioria dos dados. Média: valor utilizado quando há necessidade de uma medida de posição que possua maior estabilidade, é também o valor assumido pela variável caso seja necessário como constante. Moda: valor que ocorre com maior frequência. Mediana: ponto central dos dados ordenados (divide a série de valores ordenados exatamente na metade). Resumo Amplitude: é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Variância: é definida como sendo a média da soma dos quadrados dos desvios em relação à médiaaritmética. Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância. Considere uma pesquisa realizada com os seguintes resultados para média e variância: O valor do coeficiente de variação é: a) 10%. b) 8%. c) 62,5%. d) 1,6%. e) 12%. Interatividade Considere uma pesquisa realizada com os seguintes resultados para média e variância: O valor do coeficiente de variação é: a) 10%. b) 8%. c) 62,5%. d) 1,6%. e) 12%. Resposta ATÉ A PRÓXIMA!
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