Livro- Texto - Unidade III Probabilidade e Estatística

Prévia do material em texto

Prof. Dr. Bruno Honda
Probabilidade 
e Estatística
UNIDADE III
Medidas de tendência central
 Média
 Moda 
 Mediana
Medidas de dispersão
 Variância 
 Desvio padrão
 Coeficiente de variação (CV)
Tópicos – Unidade III
 Média: valor médio, constante
Medidas de tendência central
 Moda: é o valor que ocorre com maior frequência em 
uma série de valores. 
 Mediana: valor que ocupa a posição central dos 
dados ordenados (divide a série de valores 
exatamente na metade). 
Considere um conjunto de dados:
 Para a mediana, temos 2 situações:
 Número de termos ímpares: próprio elemento central.
Ex.: 1,2,3,4,5 – a mediana é 3 (termo central).
 Número de termos pares: média dos elementos centrais.
Ex.: 2,4,6,8,10,12 – os elementos centrais são 6 e 8.
A mediana é, portanto, a média simples desses valores:
Mediana
Md = 7
 Considere a seguinte sequência de dados:
3,4,4,4,5,6,6,7,8,9
Exemplo
n = 10 (10 elementos na série)
Média:
 Moda: Mo = 4
 Mediana: Md = 5,5
 Considere a seguinte sequência de dados:
2,3,4,4,5,6,6,7,8 
Exemplo
n = 9
Média:
 Moda: 4 e 6
 Mediana: Md = 5
 Considere a seguinte sequência de dados:
3,4,5,6,7,8,9
Exemplo
n = 7
 Média:
 Moda: não há
 Mediana: Md = 6
Considere a sequência de dados: 1, 2, 2, 4, 5, 10.
Assinale a alternativa correta:
a) A média é igual a 10.
b) O valor da mediana é 4.
c) O valor da mediana é 2.
d) O valor da média é 3.
e) A moda é igual a 2.
Interatividade
Considere a sequência de dados: 1, 2, 2, 4, 5, 10.
Assinale a alternativa correta:
a) A média é igual a 10.
b) O valor da mediana é 4.
c) O valor da mediana é 2.
d) O valor da média é 3.
e) A moda é igual a 2.
Resposta
Média = 4
Mediana = 3
Vamos considerar este exemplo:
Dados agrupados sem intervalos de classe 
 A tabela mostra a frequência em que cada evento ocorre.
 “Coluna auxiliar”.
fi – frequência
faci – frequência acumulada
Classe
Nº de 
irmãos
fi faci xi* fi
1 0 5 5 0
2 1 14 19 14
3 2 6 25 12
4 3 10 35 30
5 4 5 40 20
total 40 76
Tabela – Número de irmãos dos alunos de Estatística do professor X
Fonte: livro-texto
Média:
Dados agrupados sem intervalos de classe 
 Moda: valor com maior frequência (fi) 
Mo = 1
 Mediana: o valor da variável que possui frequência 
acumulada imediatamente superior à metade da 
soma das frequências.
Classe
Nº de 
irmãos
fi faci xi* fi
1 0 5 5 0
2 1 14 19 14
3 2 6 25 12
4 3 10 35 30
5 4 5 40 20
total 40 76
Tabela – Número de irmãos dos alunos de Estatística do professor X
Fonte: livro-texto
Mediana
 Como n = 40, temos que: n/2 = 20.
 Na tabela, identificamos a primeira classe cuja frequência 
acumulada é maior que 20.
 Md = 2.
Classe
Nº de 
irmãos
fi faci xi* fi
1 0 5 5 0
2 1 14 19 14
3 2 6 25 12
4 3 10 35 30
5 4 5 40 20
total 40 76
Tabela – Número de irmãos dos alunos de Estatística do professor X
Fonte: livro-texto
Vamos considerar outro exemplo:
Dados agrupados com intervalos de classe
 Ponto médio (PM)
Média:
i classe PMi fi faci xi* fi
1 155├─161 158 4 4 632
2 161├─167 164 10 14 1640
3 167├─173 170 10 24 1700
4 173├─179 176 11 35,0 1936
5 179├─185 182 1 36 182
6 185├─191 188 4 40 752
TOTAL 40 6842
Tabela –Altura dos alunos de Estatística do professor X
Fonte: livro-texto
 Moda: define-se classe modal como sendo aquela que apresenta a maior frequência; e moda 
bruta como o ponto médio da classe modal.
Classe 4: 11 eventos
 Classe modal 173├─ 179 
 Moda bruta 176 cm
i classe PMi fi faci xi* fi
1 155├─161 158 4 4 632
2 161├─167 164 10 14 1640
3 167├─173 170 10 24 1700
4 173├─179 176 11 35,0 1936
5 179├─185 182 1 36 182
6 185├─191 188 4 40 752
TOTAL 40 6842
Tabela –Altura dos alunos de Estatística do professor X
Fonte: livro-texto
 Mediana: classe mediana como sendo aquela correspondente à frequência 
acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências e é nela 
que se encontra a mediana.
Problema: determinar exatamente o valor da “metade”
LI – limite inferior da classe
fac(anterior) – frequência acumulada inferior
h – amplitude da classe 
f – frequência absoluta da classe 
Passo a passo:
 n = 40 – metade (n/2 = 20)
 Classe com frequência 20: classe 3
Classe 3:
 LI = 167
 h = 6
 f = 10
 Fac(anterior) = 14
Mediana 
i classe PMi fi faci xi* fi
1 155├─161 158 4 4 632
2 161├─167 164 10 14 1640
3 167├─173 170 10 24 1700
4 173├─179 176 11 35,0 1936
5 179├─185 182 1 36 182
6 185├─191 188 4 40 752
TOTAL 40 6842
Tabela –Altura dos alunos de Estatística do professor X
Fonte: livro-texto
De acordo com a tabela a seguir, qual o valor da média de salários apresentada?
a) R$ 8.944,44.
b) R$ 2.359,60.
c) R$ 4.727,80.
d) R$ 2.000,00.
e) R$ 500,00.
Interatividade
Salário (em R$)
Número de 
funcionários
500,00 20
1.000,00 10
1.500,00 10
2.000,00 20
2.500,00 15
3.000,00 6
50.000,00 5
10.000,00 3
15.000,00 1
Fonte: livro-texto
De acordo com a tabela a seguir, qual o valor da média de salários apresentada?
a) R$ 8.944,44.
b) R$ 2.359,60.
c) R$ 4.727,80.
d) R$ 2.000,00.
e) R$ 500,00.
Resposta
Salário (em R$)
Número de 
funcionários
500,00 20
1.000,00 10
1.500,00 10
2.000,00 20
2.500,00 15
3.000,00 6
50.000,00 5
10.000,00 3
15.000,00 1
Fonte: livro-texto
 Medidas de dispersão: precisão e acurácia
Medidas de dispersão
precisão e acurácia
Fonte: br.freepik.com
 Medidas de dispersão: precisão e acurácia
Medidas de dispersão
precisão e acurácia
Fonte: br.freepik.com
 Medidas de dispersão: precisão e acurácia
Medidas de dispersão
precisão e acurácia
Fonte: br.freepik.com
Variância:
Desvio padrão:
Dados agrupados:
 Amplitude: diferença entre os valores extremos
 Considere a sequência:
3,4,4,4,5,6,6,7,8,9 (n = 10)
Exemplo: variância e desvio padrão
 Passo 1: calcular a média:
Variância
Desvio padrão
 Passo 2: tabela auxiliar – organização
xi (xi – x)
2
3 6,76
4 2,56
4 2,56
4 2,56
5 0,36
6 0,16
6 0,16
7 1,96
8 5,76
9 11,56
Σ=56 Σ=34,4
Fonte: livro-texto
 Tabela (colunas auxiliares)
Dados agrupados sem intervalos de classe
 Variância:
 Desvio padrão:
i Classe PMi fi xi* fi x 
2* fii
1 155├─ 161 158 4 632 99856
2 161├─ 167 164 10 1640 268960
3 167├─ 173 170 10 1700 289000
4 173├─ 179 176 11 1936 340736
5 179├─ 185 182 1 182 33124
6 185├─ 191 188 4 752 141376
TOTAL 40 6842 1173052
Fonte: livro-texto
Considere a seguinte sequência de números inteiros:
O valor do desvio padrão é: 
a) 1,79.
b) 2,29.
c) 0,01.
d) 0,05.
e) 3,14.
Interatividade
Fonte: livro-texto
Considere a seguinte sequência de números inteiros:
O valor do desvio padrão é: 
a) 1,79.
b) 2,29.
c) 0,01.
d) 0,05.
e) 3,14.
Resposta
Fonte: livro-texto
 Comparação relativa (percentual) do desvio padrão em relação à média.
Coeficiente de variação (CV)
 Considere a sequência:
2,3,4,4,5,6,6,7,8 (n = 9)
xi (xi – x)2
2 9
3 4
4 1
4 1
5 0
6 1
6 1
7 4
8 9
Σ=45 Σ=30
Fonte: livro-texto
 Considere a sequência: 3,4,5,6,7,8,9 (n = 7)
 Tabela auxiliar
Dados sem intervalo de classe
Classe
Nº de 
irmãos
fi xi* fi xi
2 * fi
1 0 5 0 0
2 1 14 14 196
3 2 6 12 72
4 3 10 30 300
5 4 5 20 100
Total 40 76 668
Fonte: livro-texto
 Medidas de posição: são aquelas associadas às principais posições dos dados dentro do seu 
conjunto.
 Medidas de tendência central: determinam um valor em torno do qual tende a se concentrar 
a maioria dos dados.
 Média: valor utilizado quando há necessidade de uma medida de posição que possua maior 
estabilidade, é também o valor assumido pela variável caso seja necessário como constante. 
 Moda: valor que ocorre com maior frequência.
 Mediana: ponto central dos dados ordenados (divide a série de 
valores ordenados exatamente na metade).
Resumo
 Amplitude: é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados.
 Variância: é definida como sendo a média da soma dos quadrados dos desvios em 
relação à médiaaritmética.
 Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância.
Considere uma pesquisa realizada com os seguintes resultados para média e variância:
O valor do coeficiente de variação é:
a) 10%.
b) 8%.
c) 62,5%.
d) 1,6%.
e) 12%.
Interatividade
Considere uma pesquisa realizada com os seguintes resultados para média e variância:
O valor do coeficiente de variação é:
a) 10%.
b) 8%.
c) 62,5%.
d) 1,6%.
e) 12%.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!