prova Calculo A 2017 1- ufes- ccae P1+P2+P3+P4

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Exatas, Naturais e da Sau´de
Primeira Avaliac¸a˜o de Ca´lculo A
10 de maio de 2017
NOME: NOTA:
Justifique todas as respostas!
1. (1 pt cada) Determine a(s) soluc¸a˜o(o˜es) em R de:
(a) |x− 2| = 2x+ 1 (b) 3x = 2x + 2x+1
2. Considere a func¸a˜o f(x) = log5(2x
2 − 5x+ 2):
(a) (0,75 pt) Determine o domı´nio de f.
(b) (0,75 pt) Determine, caso exista, o(s) valor(es) de x tal que f(x) = 1.
3. (1 pt cada) Calcule os limites, se existir (sem usar L’Hoˆpital):
(a) lim
x→2
x4 − 16
x− 2
(b) lim
x→9
x2 − 81
√
x− 3
(c) lim
x→0
(2+ x)3 − 8
x
(d) lim
x→∞
2x+ 3x3 + 2
2x3 − 2x2 − 1
4. Seja f uma func¸a˜o dada por
f(x) =


4x+ 10 se x < −1
5 se x = −1
x2 − 3x+ 2 se x > −1
(a) (1 pt) Calcule lim
x→−1
f(x) se existir.
(b) (0,5 pt) A func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = −1? Justifique.
(c) (1 pt) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f.
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Exatas, Naturais e da Sau´de
Segunda Avaliac¸a˜o de Ca´lculo A
07 de junho de 2017
NOME: NOTA:
Justifique todas as respostas!
1. Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) (1 pt) y =
3x− 2
2x3 − 5x2
(b) (1 pt) y = x.ex. cos x
(c) (1 pt) y = ln(sec x)
(d) (1 pt) y = (tg2 x+ sen x)8
2. (a) (1,5 pts) Seja f uma func¸a˜o dada por
f(x) =
{
2− x se x 6 1
x2 − 2x+ 2 se x > 1
f e´ diferencia´vel em x = 1? Justifique.
(b) (1 pt) Determine
dy
dx
derivando implicitamente: x2 − x4y+ y3 = 5.
(c) (1,5 pts) Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = e3x que seja paralela a` reta
x− 4y = 1.
3. Uma escada com 13m de comprimento esta´ apoiada em uma parede vertical. A base da escada
desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 2 m/s.
(a) (1 pt) A que velocidade o topo da escada esta´ escorregando para baixo na parede quando
a base da escada esta´ a 12m da parede?
(b) (1 pt) Qual a taxa de variac¸a˜o da a´rea do triaˆngulo formado pela escada, parede e solo
quando a base da escada esta´ a 12m da parede?
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Exatas, Naturais e da Sau´de
Terceira Avaliac¸a˜o de Ca´lculo A
05 de julho de 2017
NOME: NOTA:
Justifique todas as respostas!
1. Calcule os limites:
(a) (1 pt) lim
x→0
e5x − 1
x
(b) (1 pt) lim
x→∞ x sen
(pi
x
)
(c) (1 pt) lim
x→0
tg x− x
x3
2. (1,5 pt) Se 1200 cm2 de material estiverem dispon´ıveis para fazer uma caixa com uma base
quadrada e sem tampa, encontre o maior volume poss´ıvel da caixa.
3. (1,5 pt) Determine os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f(x) = 3
√
x(8− x) no
intervalo [−4, 8].
4. Considere a func¸a˜o
f(x) =
x2
(x− 2)2
(a) (0,8 pt) Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais de f(x), se existirem;
(b) (0,6 pt) Mostre que f ′(x) =
−4x
(x− 2)3
e f ′′(x) =
8x+ 8
(x− 2)4
(c) (0,7 pt) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x), indicando, caso
existam, seus pontos de ma´ximo e de mı´nimo locais;
(d) (0,7 pt) Determine os intervalos em que o gra´fico de f(x) tem concavidade para cima e em
que tem concavidade para baixo e determine os pontos de inflexa˜o de f(x), se existirem;
(e) (1,2 pt) Utilize as informac¸o˜es obtidas nos itens anteriores para esboc¸ar o gra´fico de f(x).
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Centro de Cieˆncias Exatas, Naturais e da Sau´de
Quarta Avaliac¸a˜o de Ca´lculo A
24 de julho de 2017
NOME: NOTA:
Justifique todas as respostas!
1. Calcule as integrais:
(a) (1,2 pts)
∫
x (
√
x+ 3
√
x)2 dx
(b) (1,2 pts)
∫1
0
x e−x
2
dx
(c) (1,2 pts)
∫
x2
√
1− x
dx
(d) (1,2 pts)
∫pi/4
pi/6
cossec3x cotg xdx
(e) (1,2 pts)
∫
tg x ln(cos x)dx
2. (2 pts) Determine a a´rea entre as curvas y = x2 − 3 e o eixo x no intervalo de 0 a 5.
3. (2 pts) Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas
y =
√
x e pelas reta y = 1 e x = 4 em torno do eixo x.