Aula 2 - Movimento 1D

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MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
Posição
Figura 1
Deslocamento
 x≡x t 2−x t1
Duração do intervalo de tempo
 t≡t 2−t 1
Velocidade média
v≡
x t 2−x t1
t 2−t 1
= x
 t
 [ v̄ ]=L T−1⇒Unidade S.I.: m/s
Ponto t (s) x (m)
A 0 30
B 10 52
C 20 38
D 30 0
E 40 -37
F 50 -53
X > 0 X > 0 X
0
Referencial
Figura 2
v AB=
x B−x A
tB−tA
=52−30
10−0
=2,2 m/s
v DE=
xE−xD
tE−t D
=−37−0
40−30
=−3,7 m/s
Velocidade Escalar Média
vem≡
distância percorrida
tempo gasto
vem∣v∣0
v AF=
−53−30
50−0
=−83
50
=−1,7m/s
vem
AF=22105
50−0
=127
50
=2,5 m/s
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 10 20 30 40 50 60x
 (
m
)
t (s)
A
B
C
D
E
F
Inclinação = vAB > 0
Inclinação = vDE < 0
Velocidade Instantânea
Figura 3
v (t 1)≡lim
t2 →t 1
x (t 2)−x (t1)
t 2−t1
≡dx
dt
( t1)
Velocidade Escalar Instantânea
A velocidade escalar instantânea é igual ao módulo da velocidade instantânea.
Aceleração Média
a≡
v t2−v t1
t 2−t1
= v
 t
 [ ā]=L T
−2⇒Unidade S.I. :m/s2
Aceleração Instantânea
Figura 4
a t 1≡lim
t2 t 1
v t 2−v t 1
t 2−t1
≡dv
dt
t1
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10 12
x
 (
m
)
t (s)t1
t2
Inclinação = velocidade média
Inclinação = velocidade instantânea
t
1 t2 t
v
Inclinação = aceleração média
Inclinação = aceleração instantânea
v(t
1 
)
v(t
2 
)
Exemplo
Figura 5
Movimento Unidimensional com Aceleração Constante
Figura 1
0,t 1:v=cte.0 e a=0
t1 ,t 2: v0 e a0
t 2 , t3: v=0 e a=0
t3 , t4: v=cte.0 e a=0
t 4 , t 5: v0 e a0
t5 ,t 6: v0 e a0
x
tt
1 t2 t3 t4 t5
0 t
6
t
v
0
v
0
v - v
0
t
a=
v−v0
t
a=cte.⇒a=a=
v−v0
t−t0
⇒ v−v0=a t−t 0⇒ v=v 0a t−t 0
Normalmente t0=0⇒ v=v0a t
Figura 2
Equação de Torricelli
Exemplo: Uma partícula move-se em linha reta e, num determinado instante, tem velocidade de
1,50 m/s, mas entra em repouso, após se deslocar 250 cm. (a) Qual é o valor da aceleração da
partícula, suposta constante? (b) Quanto tempo ela leva para percorrer os 250 cm? (c) Quanto tempo
ela leva para percorrer a primeira metade dos 250 cm?
(a) v2=v0
22a x⇒a=
v2−v0
2
2 x
=0
2−1,52
2×2,5
=−0,450 m/s2
(b) v=v0a t⇒ t=
v−v0
a
=0−1,5
−0,45
=3,33 s
(c)
t = 5,69 s não serve, porque a partícula entra em repouso em t = 3,33 s. A resposta é t = 0,976 s.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 2 4 6 8 10 12
x
 (
m
)
t (s)
x0
Inclinação = v0
x= x0+v0 t+
1
2
a t 2
Fazendo x0≡0⇒ x=v0 t+
1
2
a t 2⇒1,25=1,5 t+1
2
(−0,45) t2
0,225 t 2−1,5 t+1,25=0⇒t=5,69 s ou t=0,976 s
x−x0=v t=
vv0
2
t 1
v=v0at⇒t=
v−v0
a
2
Substituindo (2) em (1), resulta:
x−x0=
vv0
2

v−v0
a
=
v2−v0
2
2a
⇒v 2−v0
2=2a x−x0⇒ v
2=v0
22a x
v̄≡
x−x0
t−0
⇒ x−x0=v̄ t⇒ x=x0+ v̄ t
Quando a=cte., pode-se mostrar que v̄=
v+v0
2
=
(v0+a t)+v0
2
=v0+
1
2
a t
Então x=x0+(v0+
1
2
a t) t⇒ x= x0+v0t+
1
2
a t 2
Queda Livre
Um corpo está em movimento de queda livre, quando a única força que atua sobre ele é o
seu peso. Portanto, mesmo quando um corpo está em movimento ascendente, sujeito somente ao
seu peso, ele é considerado em queda livre.
Próximo à superfície da Terra e no vácuo, todo o corpo, independentemente da sua massa,
tem a mesma aceleração de aproximadamente 9,80 m/s2 dirigida para baixo. Consequentemente,
queda livre é um movimento unidimensional vertical cuja aceleração pode ser considerada
constante.
Portanto, vamos aproveitar as equações desenvolvidas anteriormente com as seguintes
substituições:
→
v=v0−g t
y= y0v0t−
1
2
g t 2
v 2=v0
2−2 g y
, com g ≡ + 9,80 m/s2.
Exemplo: Uma pedra é jogada para cima com uma velocidade de 12,0 m/s. Desprezando a
resistência do ar, (a) qual o tempo que a pedra leva para atingir a altura máxima? (b) Qual é a altura
máxima? (c) Quando a pedra atinge 5,00 m acima do seu ponto de lançamento?
(a) v=v0−g t⇒ t=
v0−v
g
=12−0
9,8
=1,22 s
(b) v2=v0
2−2 g  ymax−0⇒ ymax=
v0
2−v2
2 g
=12
2−02
2×9,8
=7,35 m
(c)
Resposta: A pedra atinge 5,00 m acima da altura de lançamento 0,532 s e 1,92 s após o arremesso,
na subida e na descida, respectivamente.
v=v0at
x= x0v0 t
1
2
a t 2
v2=v0
22a x
y= y0+v0t−
1
2
g t 2→5=0+12 t−1
2
(9,80)t 2
4,9 t 2−12 t+5=0⇒ t=0,532 s ou t=1,92 s
x y
a−g