CÁLCULO IV

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CÁLCULO IV
Aula 1: Integrais Múltiplas
Objetivos da aula: 
Conhecer e Calcular as Integrais Duplas
Interpretação geométrica da integral dupla
Conhecer suas propriedades
Conhecer o Teorema de Fubine
Integral Definida Definição: Seja f uma função definida ao menos no intervalo fechado [a,b]. Então a área com sinal sob o gráfico de f entre x=a e x=b é denotada por
Portanto, podemos escrever,
Acrescentando mais um símbolo de integral a esta aprendida anteriormente. Agora ela recebe o nome de integral dupla.
 Integral dupla → 
 Vamos denotar f(x, y) por z = f(x, y)
Exemplo:
Interpretação Geométrica da Integral Dupla
Considere uma função real z = f(x,y) definida e contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d]. 
O retângulo R pode ser escrito como: 
R = { (x,y) 2| a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d } 
Ambas as notações podem ser usadas, pois estão descrevendo a mesma região.
Integral definida → 
 
Área da função y = f(x) no intervalo [a,b] e geometricamente seria descrita por: 
Agora vamos analisar a integral dupla.
z= f(x,y) é uma superfície situada acima do retângulo R. 
A região que se formará no espaço chamaremos de W e será definida pelo retângulo R e os quatro planos 
x = a, x = b, y = c e y = d
A região W define um volume. Ele será chamado de volume de integral dupla de f sobre R, denotado por:
Exemplo
Se f(x, y) = 1 - x e R = [0,1] x [0,1]. 
A região R será definida pelos pontos: 
f(x, y) no ponto x = 0, y = 0 será f(x, y) = 1. Então teremos o ponto (0,0,1).
f(x, y) no ponto x = 0, y = 1 será f(x, y) = 0. Então teremos o ponto (0,1,0).
f(x, y) no ponto x = 1, y = 0 será f(x, y) = 0. Então teremos o ponto (1,0,0).
f(x, y) no ponto x = 1, y = 1 será f(x, y) = 0. Então teremos o ponto (1,1,0).
Observe nas figuras abaixo que a função f(x,y) é o plano vermelho e a região R. 
Cálculo da Integral Dupla
Resolvendo a primeira integral dupla
Seja f(x,y) = 1 – x e R = [0,1] x [0,1].
Resolver primeiro a integral mais interna
Resolver agora a segunda integral a partir do resultado da primeira.
Portanto,
Definição da integral dupla através do método das somas de Riemann.
Seja z = f(x,y) definida numa região fechada e limitada R do plano xy.
Agora vamos considerar os retângulo Rk contidos na região R e enumerados de 1 a n.
Em cada retângulo Rk vamos escolher um ponto (xk,yk). 
A área de cada retângulo Rk será dada por ∆Ak = ∆xk . ∆yk 
Agora veja:
 
A área do retângulo Rk : ∆Ak = ∆xk . ∆yk 
Agora podemos formar a seguinte soma:
A partir dela temos:
Se o limite existe, então chamamos integral dupla de f(x, y) sobre a região R.
Observe as figuras abaixo:
Chamada de Soma de Riemann de z = f(x,y) sobre R. 
Quando z = f(x,y) ≥ 0, a integral dupla é interpretada como um volume.
A soma de Riemann representa uma aproximação do volume da porção do espaço compreendido abaixo do gráfico de z = f(x,y) e acima da região R do plano xy.
Portanto, quando f(x,y) ≥ 0, 
Temos o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x,y), e inferiormente pela região R. 
Teorema: 
Toda função contínua definida num retângulo R é integrável sobre R.
Propriedades
Linearidade 
Seja f e g funções integráveis num retângulo R e c1, c2 constantes reais. Então c1 f + c2 g é integrável sobre R. 
Monotonicidade
Seja f e g funções integráveis num retângulo R e f(x,y) ≥ g(x,y), (x,y) , então:
Ou seja, se conhecemos duas funções e uma é menor ou igual a outra, então esta propriedade será preservada na integral dupla.
Aditividade 
Se o retângulo R é subdividido em n retângulos e se f é integrável sobre cada Ri, i =1, ..., n, então f é integrável sobre R, podemos escrever: 
Ou seja, se a função possui um conjunto de pontos de descontinuidade poderemos descrever f como uma união finita de gráficos de funções contínuas. A função f continuará a ser integrável sobre R. Se a região R é composta de duas sub-regiões R1 e R2 que não têm pontos em comum, excetos os pontos de suas fronteiras, então
Teorema de Fubine
Se z = f(x,y) é contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d], então a integral dupla de f sobre R pode ser obtida através de integrais iteradas, ou seja:
O Teorema de Fubine é prático para o cálculo de integrais duplas através de duas integrações sucessivas de funções de uma variável. 
Exemplo
Seja f(x,y) em R = [-1,1] x [0, π/2].
Podemos escrever:
Observação
As integrais duplas surgiram para cálculo de volume, mas também podem ser usadas para calcular áreas.
A integral dupla será escrita da seguinte forma:
Integrais dupla sobre regiões mais gerais 
Vamos definir dois tipos de regiões:
Região do tipo I
	
Exercício 2
Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 – x – y, inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e 
 e lateralmente pelo cilindro vertical cuja
base é o contorno de R.
Vamos desenhar a região R, de acordo com as informações dadas.