Aula_20_Transformada_Fourier_Continuo_Parte2

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Transformada de Fourier
Tempo Continuo – Pt 2
Modelagem de Sistemas Dinâmicos Michel Leles
Introdução
� Nessa aula continuaremos a discutir a modelagem de 
sinais a partir do domínio da frequência.
� Continuaremos a trabalhar com sinais Aperiódicos no 
tempo continuo que são tratados pela Transf. de Fourier
Michel Leles Transf. Fourier - Tempo Continuo - Pt2 |2
� Capítulo 4: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
� Seção 9.4: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
� Capítulos 7: Sinais e Sistemas Lineares – Lathi (2004), 2ª ed.
Introdução
� No nosso estudo sobre Série de Fourier e Sistemas LTI, 
vimos que: 
Michel Leles Transf. Fourier - Tempo Continuo - Pt2 |3
� H(.) é a resposta em frequência do sistema:
� Modifica as amplitudes e fases das diversas exponenciais 
complexas da entrada.
� Mas não muda a frequência das mesmas!
Transf. de Fourier para sinais periódicos
� Série � Sinais Periódicos
� Transformada � Sinais Aperiódicos
� Contexto unificado:
� Utilizar a Transformada de Fourier para ambos os tipos de sinais
Michel Leles Transf. Fourier - Tempo Continuo - Pt2 |4
� Utilizar a Transformada de Fourier para ambos os tipos de sinais
� Resultados obtidos são diferentes, mas parecidos...
Transf. de Fourier para sinais periódicos
� Exemplo:
� Considere um sinal x(t) cuja Transf. de Fourier resulta em: 
� Obter x(t) � através da Tranf. Inversa de Fourier
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� Solução:
Transf. de Fourier para sinais periódicos
� Considere um sinal periódico qualquer:
∑
+∞
∞−
=
)( 01)( tjkKeXTtx
ω
∫
+
−
=
2/
)( 0)(
T
tjk
k dtetxX
ω
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� : coeficientes complexos
∫
− 2/T
k
Transf. de Fourier para sinais periódicos
� Podemos aplicar a Transf. de Fourier tanto ao sinal original 
x(t) quanto em sua versão na forma de Série de Fourier:
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� exemplo do slide
� da pág. 5...
� DUALIDADE
Transf. de Fourier para sinais periódicos
� Conclusões:
� O espectro do sinal periódico é formado pelas mesmas 
frequências da Série de Fourier:
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� Os coeficientes são alterados por uma constante:
� Surgimento de termos impulsivos:
Transf. de Fourier para sinais periódicos
� Exemplo:
� Determinar a Transf. de Fourier para o sinal:
� Solução:
� Euller �
{
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� Coeficientes:
� Substituindo...
{
Transf. de Fourier para sinais periódicos
� Exemplo(cont.):
� Determinar a Transf. de Fourier para o sinal:
� Solução:
� Graficamente...
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� Para o cosseno de duração infinita basta usar apenas uma frequência, 
� O impulso é a maneira que possuímos de amostrar uma 
função contínua X(jw)
Transformada Vs Série de Fourier
� Tabela Comparativa:
Michel Leles Transf. Fourier - Tempo Continuo - Pt2 |11
� Para o sinal �
� Transformada: Série:
Algumas Propriedades
� Linearidade:
� Exemplo:
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� Exemplo:
� Determine a Transformada Inversa de: 
� Pelo método de Heaviside:
� Resolvendo as frações parciais:
Algumas Propriedades
� Deslocamento no tempo:
{
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� Diferenciação no tempo:
� Integração no tempo:
{
{
Algumas Propriedades
� Diferenciação na frequência:{
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� Deslocamento na frequência:{
Algumas Propriedades
� Mudança de escala no tempo:{
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� Relação de Parseval�
Algumas Propriedades
� Conjugação:
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Algumas Propriedades
� Conjugação (cont.):
� Se o sinal é real e par, a FT será também real e par. 
� Se o sinal é real e ímpar, a FT será puramente imaginária e ímpar. 
� Lembrando que um sinal pode ser decomposto em uma soma 
de partes par e ímpar, pode-se concluir que, para um sinal real:
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Algumas Propriedades
� Dualidade:
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A propriedade da Convolução
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� Considerando que todos os sinais e sistemas de 
significado físico ou prático obedecem às condições de 
Dirichlet, pode-se afirmar que todo sistema LTI estável
possui Resposta em Frequência. 
� Estudar desenvolvimento matemático no livro...
� Oppenheim (2011)
A propriedade da Multiplicação
� A multiplicação de dois sinais no domínio do tempo pode 
ser interpretada como utilizar um sinal para modular a 
amplitude de outro
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amplitude de outro
� A multiplicação de dois sinais é conhecida como modulação 
em amplitude, 
� A propriedade é também conhecida como propriedade da 
modulação. 
� Essa propriedade tem muitas aplicações importantes em 
sistemas de comunicação!!! 
Convolução e Multiplicação
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� A convolução no tempo resulta em produto na frequência.
� O produto no tempo resulta em convolução na frequência. 
� Isso já era esperado � DUALIDADE
Tabelas
� Propriedades:
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Tabelas
� Pares de transformadas:
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Aplicando as Propriedades
� Exemplo:
� Dada a resposta ao impulso , e o sinal de 
entrada , determine a saída do sistema.
� Solução:
� Aplicando as transformadas...
Michel Leles Transf. Fourier - Tempo Continuo - Pt2 |24
� Aplicando as propriedade:
� Obtém-se:
� Frações Parciais �
Sistemas caracterizados por EDO’s
� Exemplo 1: 
� Para um sistema LTI caracterizado pela equação diferencial 
apresentada a seguir, determine a resposta em frequência e a 
resposta ao impulso. 
Michel Leles Transf. Fourier - Tempo Continuo - Pt2 |25
� Exemplo 4.24, Oppenheim (2011))(
)()( jwX
jwYjwH =
Sistemas caracterizados por EDO’s
� Exemplo 2: 
� refazer o exemplo 1, mas considerando a equação 
diferencial apresentada a seguir:
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� Exemplo 4.25, Oppenheim (2011)
�
)(
)()( jwX
jwYjwH =
Laplace Vs Fourier
� Condição suficiente para existência da Transf. Fourier
� O sinal f(t) deve ser absolutamente integrável:
Entretanto, alguns sinais que não possuem essa característica 
Michel Leles Transf. Fourier - Tempo Continuo - Pt2 |27
� Entretanto, alguns sinais que não possuem essa característica 
possuem transformada:
� Senóides
� Degrau
� Constantes
Laplace Vs Fourier
� Consequência � surgimento de termos impulsivos
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Laplace VsFourier
� Sinais persistentes que não admitem representação por 
Fourier só podem ser analisados no domínio do tempo?
� Alternativa �Transformada de Laplace
� Uma maneira de forçar que o sinal seja absolutamente integrável
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Laplace Vs Fourier
� Matematicamente...
� Fourier�
� Multiplicando o sinal x(t) por : 
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� Sendo
� Assim: Transformada de Laplace�
Cálculo Geométrico da Transf. Fourier
2
1}Re{,
21
1)( −>
+
= s
s
sX
2/1
1)()(
+
=⇒
= ω
ω
ω jjXsX js
1)( 2ω =jX
� Exemplo 9.12 � Oppenheim (2011)
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)2(tan)(
)2/1(
1)(
1
22
2
ωω
ω
ω
−
−=∠
+
=
jX
jX
Cálculo Geométrico da Transf. Fourier
� Para um sistema de 1ª ordem:
ττ
1}Re{,
1
1)( −>
+
= s
s
sX
)(1)( / tueth t τ
τ
−
=
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Material de Estudo
� Material de Estudo:
� Capítulo 4: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
� Estudar Exemplos de 4.9 a 4.26
� Estudar � Seção 9.4
� Capítulo 7: Sinais e Sistemas Lineares – Lathi (2004), 2ª ed.
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� Capítulo 7: Sinais e Sistemas Lineares – Lathi (2004), 2ª ed.
� Estudar Seção 7.3, 7.4 (apenas páginas 632 e 633)
� Estudar Exemplos de 7.11 a 7.18
� Exercícios:
� Oppenheim (2011) � 4.5 a 4.20, 4.31 a 4.36, 9.23 a 9.28
� Lathi (2004) � 7.2.1 a 7.3.11, 7.4.1 e 7.4.2