Lista 2 MAT1

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UFRRJ – Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro 
DEMAT – Departamento de Matemática 
Lista de matemática I 
Lista III – Extremos relativos e problemas de otimização 
Professor Alan Freitas 
 
 
1-)Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como 
máximo relativo, mínimo relativo ou não possui extremos relativos: 
a-) ( ) 2683 234 ++−= xxxxf b-) ( ) ( )51−= xxf c-) ( )
22
2
−+
=
xx
x
xf 
 
2-)Determine os pontos críticos de f(x) e classifique cada ponto crítico como máximo 
relativo, mínimo relativo ou não possui extremos, nas funções derivadas abaixo: 
a-) ( ) ( )22 4 xxxf −=′ b-) ( ) ( ) ( )( )22
32
1
341
+
−+
=′
x
xx
xf 
 
3-)Seja ( )2310 xp −= , para 30 ≤≤ x , o preço pelo qual são vendidas x centenas de 
unidades de um certo produto e seja R(x)=xp(x) a receita com a venda das x unidades. 
Determine a receita marginal.Para que nível de produção a receita é máxima? 
 
4-)A concentração de um medicamento t horas após ter sido injetado no braço de um 
paciente é dada por: 
( )
81,0
15,0
2 +
=
t
t
tC 
Para que valor de t a concentração é máxima? 
 
5-)A empresa determina que se x milhares de reais forem investidos na propaganda de 
um certo produto, S(x) unidades do produto serão vendidas, onde: 
( ) 170,207132272 23 ≤≤+++−= xxxxxS 
a-)Quantas unidades serão vendidas se a empresa não investir em publicidade? 
b-)Quanto a empresa deve investir em publicidade para maximizar as vendas?Qual é o 
nível máximo de vendas? 
 
6-)Uma projeção válida para 5 anos, revela que daqui a t anos a população de um certo 
bairro será ( ) 50489 23 +++−= ttttP mil habitantes. 
a-)Em que instante, dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população 
será máxima? 
b-)Em que instante, dentro de periodo de 5 anos, a taxa de crescimento da população 
será mínima? 
c-)Em que instante a taxa de crescimento da população está variando mais rapidamente? 
 
7-)Determine dois números positivos cuja soma é 50 e cujo o produto é o maior 
possível. 
 
 
 
 
8-)Uma loja está vendendo um video-game por R$40,00 a unidade e por este preço tem 
vendido 50 unidades por mês.O dono da loja quer aumentar o preço do jogo e calcula 
que, para cada R$ 1,00 de aumento do preço, 3 unidades a menos serão vendidas por 
mês.Se o armazenamento de cada unidade custa à loja R$25,00, por que preço deve ser 
vendido o jogo para que o lucro seja máximo? 
 
9-)Um fazendeiro de São Paulo calcula que, se plantar 60 pés de laranja, cada árvore 
produzirá em média 400 laranjas.A produtividade diminui de 4 laranjas por árvore para 
cada árvore a mais que é plantadano mesmo terreno.Quantas árvores o fazendeiro deve 
plantar para maximizar a produção? 
 
10-)Uma fábrica de produtos de plástico recebeu uma encomenda para fabricar 8.000 
pranchas de isopor. A firma possui 10 máquinas, cada uma das quais com capacidade 
para produzir 30 pranchas por hora. O custo de programar as máquinas para fabricar as 
pranchas é de R$20,00 por máquina.As máquinas são automáticas e necessitam apenas 
de um supervisor que ganha R$15,00 por hora. 
a-)Quantas máquinas devem ser usadas para minimizar o custo de produção? 
b-)Quanto ganhará o supervisor pelo trabalho se o número ideal de máquinas for usado? 
c-)Qual será o custo para programar as máquinas? 
 
11-)Duas fábricas, A e B, estão situadas a 18 quilometros de distância e emitem, 
respectivamente, 80 ppm(partes por milhão) e 720 ppm de material particulado. A 
fábrica A está cercada por uma área de segurança com 1 quilômetro de raio, enquanto a 
área de segurança em torno da fábrica B tem 2 quilômetros de raio.A concentração de 
poluentes em qualquer ponto outro ponto Q nas vizinhaças das fábricas é inversamente 
proporcional a distância entre o ponto Q e a fábrica considerada.Em que ponto da 
estrada que liga as duas fábricas deve ser construída uma casa para que a poluição 
proveniente das duas fábricas seja a menor possível?