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UNIFEI 1a Prova de Equac¸o˜es Diferenciais II - Turma da Noite Professora:Gisele Leite 01/09/2016 Justifique todas as respostas! 1) a) Calcule a tranformada de Laplace da func¸a˜o f(t) = 0, t < pi, t− pi, pi ≤ t < 2pi, 0, t ≥ 2pi. b) Calcule a tranformada de Laplace inversa de F (s) = ln ( s+ 2 s− 5 ) 2) Uma massa presa a uma mola e´ liberada do repouso 1 metro abaixo da posic¸a˜o de equil´ıbrio para o sistema massa-mola e comec¸a a vibrar. Depois de pi/2 segundos, a massa e´ atingida por um martelo exercendo um impulso sobre ela. O sistema e´ controlado pelo problema de valor inicial simbo´lico d2x dt2 + 9x = −3δ ( t− pi 2 ) ; x(0) = 1, dx dt (0) = 0, em que x(t) indica o deslocamento a partir do equil´ıbrio no instante t. O que acontece com a massa depois que ela e´ atingida? 3) Considere a equac¸a˜o φ(t) + ∫ t 0 (t− ξ)φ(ξ)dξ = 1. a) Resolva a equac¸a˜o dada usando transformada de Laplace. b) Diferenciando a equac¸a˜o dada duas vezes, converta-a em um problema de valor inicial. c) Resolva o problema de valor incial no item (b). A soluc¸a˜o do PVI e´ a mesma encontrada no item (a)?
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