Funcoes1_2

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F U N Ç Õ E S 
 
Referência histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático 
suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque 
para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável 
também pela adoção do símbolo 
( )f x
 para representar uma função de 
x
. Hoje, função é uma das 
idéias essenciais em Matemática. 
Definição 1: Sejam 
A
 e 
B
 conjuntos não vazios. Uma função de 
A
 em 
B
 é uma relação que a 
cada elemento de 
A
 associa um único elemento de 
B
. 
Notação: 
:
( )
f A B
x f x


 ou 
( )
f
A B
x y f x

 
 
Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada: 
 O domínio 
A
 da relação. 
 O contradomínio 
B
 da relação. 
 Todo elemento de 
A
 deve ter correspondente em 
B
. 
 Cada elemento de 
A
 só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio 
B
. 
 Estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma linha 
no plano, contida em 
A B
, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer 
que seja esta reta. 
Exemplo: A circunferência definida por 
2 2 2 2{( , ) : }R x y x y a   
 
é uma relação que não é uma função, pois tomando a reta vertical 
0x 
, obtemos ordenadas diferentes 
para a mesma abscissa 
x
. 
 
Neste caso 
( ) [ , ]Dom R a a 
 e 
( ) [ , ]CoDom R a a 
. 
 
 
 2 
Relações que não são funções (Contraexemplos): 
1. Seja 
 { , , , } A a b c d
e 
{1, 2, 3}B 
. A relação 
4R = { ( ,1), ( ,2), ( ,3), ( ,3), ( ,3) }a b c d a
não é 
uma função em 
A B
, pois associado ao mesmo valor 
a
 existem dois valores distintos que são 
1 e 3. 
 
 
2. Seja 
 { , , , } A a b c d
e 
{1, 2, 3}B 
. A relação 
5R = { ( , 1 ) , ( , 3 ) , ( , 2 ) , ( , 3 ) }a a b c
não é uma 
função em 
A B
, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto 
A
 estão associados a 
elementos do segundo conjunto B . 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
(1) No Cálculo estaremos interessados, de um modo especial, em funções com domínio e 
contradomínio contidos no conjunto dos números reais, as chamadas funções reais de variável real. 
(2) Quando uma função for dada apenas por sua lei de formação, sem indicar o domínio e o 
contradomínio, tomaremos para domínio o maior subconjunto dos números reais, no qual a lei de 
formação pode ser aplicada, fornecendo números reais e, para contradomínio, o conjunto dos números 
reais. 
Exemplos: 
(i) Suponhamos que uma função é dada por 
( ) 7f x x 
, ou 
7y x 
 
 Então seu domínio é constituído dos números reais 
x
 para os quais 
7x
 é um número real, ou 
seja, os números reais 
x
 para os quais seja satisfeita a inequação: 
7 0x 
 ou 
7x  
. 
 Portanto, 
( ) { / 7} [ 7, )D f x x      
. 
 3 
ii) A função 
 : 0,f  
 dada por 
( ) 3 5f x x 
, e a função 
( ) 3 5g x x 
, apesar de terem a 
mesma lei de formação, são diferentes, pois 
 ( ) 0, ( )D f D g   
 
Definição 2: Seja 
:f A B
. 
(i) Dado 
x A
, o elemento 
( )f x B
 é chamado o valor da função 
f
 no ponto 
x
 ou imagem de 
x
 
por 
f
. 
(ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de 
f
 e é 
denotado por 
Im( )f
. 
Exemplos: 
(a) Sejam 
{1, 2, 3, 4, 5}A
, 
B 
 (conjunto dos inteiros) e 
:f A B
 definida pela regra que a cada 
elemento de 
A
 faz corresponder o seu dobro. 
Então: 
# A regra que define 
f
 é 
2y x
; 
# A imagem do elemento 1 é 2; de 2 é 4, etc.; 
# O domínio de 
f
: 
( )D f A
; 
# A imagem de 
f
: 
Im( ) {2, 4, 6, 8, 10}f 
. 
(b) Seja 
 
2
:f
x x


 
Então: 
( )D f 
 e 
 Im( ) 0,f   
. 
Exercício 
 Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo: 
( a ) 
1
( )f x
x

 ( b ) 
( )f x x
 ( c ) 
( ) 1f x x  
 
Definição 3: Seja 
f
 uma função. O gráfico de 
f
 é o conjunto de todos os pontos 
 , ( )x f x
 de um 
plano coordenado, onde 
x
 pertence ao domínio de 
f
. Assim, para 
:f A B
, temos: 
  ( ) , ( ) :G f x f x x A 
 
 4 
 Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de 
f
 pode 
então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto 
 , ( )x f x
 quando 
x
 percorre o 
domínio de 
f
. 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
(1) Seja 
:{2, 4, 6, 8}f 
 dada por 
( )
2
x
f x 
. Então, 
 ( ) (2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)G f 
. 
 
(2) Seja 
:g 
 dada por 
( )
2
x
g x 
. Então, 
( ) , :
2
x
G f x x
  
   
  
, 
isto é, o gráfico de 
g
é formado por todos os pontos da reta que contém os pontos do gráfico da função 
dada no exemplo anterior. 
 
( , ( ))x f x
 
x
 
( )f x
 
f
 
 5 
 
OBSERVAÇÃO 
 A lei de formação de uma função pode envolver mais de uma sentença matemática, cada 
uma se referindo a uma parte do domínio. Por exemplo, escrever 
2, se 1
( )
2, se 1
x x
f x
x
 
 

 
significa que a função 
f
 associa cada número real 
1x 
 ao número 
2x
 e cada real 
1x 
 ao número 
2. Veja o gráfico da função: 
 
Na sequencia, apresentaremos alguns exemplos importantes de funções reais: 
 
Funções Crescentes e Decrescentes 
 
Definição 4: Uma função 
f
 é crescente, se quaisquer que sejam 
1x
 e 
2x
 no Domínio de 
f
, com 
1 2x x
, tivermos 
1 2( ) ( )f x f x
. Isto é, conforme o valor de 
1x
 aumenta, o valor da imagem de 
1x
 pela 
função também aumenta. 
Exemplo: Seja a função 
:f 
 definida por 
( ) 8 2f x x 
. 
 6 
Para os valores: 
1a 
 e 
2b 
, obtemos 
( ) 10f a 
 e 
( ) 18f b 
. Como o gráfico de 
f
 é uma reta, 
a b
 e 
( ) ( )f a f b
 então a função é crescente. 
Definição 5: Uma função 
f
 é decrescente, se para quaisquer 
1x
 e 
2x
 do Domínio de 
f
, com 
1 2x x
, tivermos 
1 2( ) ( )f x f x
. Isto é, conforme os valores de 
1x
 aumentam, os valores da imagens 
de 
1x
 pela função 
f
 diminuem. 
Exemplo: Seja a função 
:f 
 definida por 
( ) 8 2f x x  
. 
Para 
1a 
 e 
2b 
, obtemos 
( ) 6f a  
 e 
( ) 14f b  
. Como o gráfico de 
f
 é uma reta, 
a b
 e 
( ) ( )f a f b
, a função é decrescente. 
 
 
 
 
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras 
 
Definição 6: Uma função 
:f A B
 é injetora se quaisquer dois elementos distintos de 
A
, sempre 
possuem imagens distintas em 
B
, isto é: 
1 2x x
 implica que 
1 2( ) ( )f x f x
 
ou de forma equivalente 
1 2( ) ( )f x f x
 implica que 
1 2x x
. 
Exemplos: 
(1) A função 
:f 
 definida por 
( ) 3 2f x x 
 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores 
diferentes para 
x
, obtemos dois valores diferentes para 
( )f x
. 
(2) A função 
:f 
 definida por 
2( ) 5f x x 
 não é injetora, pois para 
1x 
 temos 
(1) 6f 
 e 
para 
1x  
 temos 
( 1) 6f  
. 
 7 
Definição 7: Uma função 
:f A B
 é sobrejetora se todo elemento de 
B
 é a imagem de pelo 
menos um elemento de 
A
. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve serexatamente igual a 
B
 que é o contradomínio da função, ou seja, para todo 
y
 em B existe 
x
 em 
A
 tal que 
( )y f x
. 
Exemplos: 
(1) A função 
:f 
 definida por 
( ) 3 2f x x 
 é sobrejetora, pois todo elemento de é imagem 
de um elemento de pela função. 
(2) A função 
: (0, )f  
 definida por 
2( )f x x
 é sobrejetora, pois todo elemento pertencente a 
(0, )
 é imagem de pelo menos um elemento de pela função. 
(3) A função 
:f 
 definida por 
( ) 2xf x 
 não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do 
contradomínio e não é imagem de qualquer elemento do domínio. 
 
Definição 8: Uma função 
:f A B
 é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. 
Exemplo: A função 
:f 
 dada por 
( ) 2f x x
 é bijetora, pois é injetora e sobrejetora. 
 
PERGUNTA 
 
É possível perceber através do gráfico se uma função é injetora? 
E sobrejetora? 
 
Funções Pares e Ímpares 
Definição 9: Uma função real 
f
 é par se, para todo 
x
 do domínio de 
f
, tem-se que 
( ) ( )f x f x 
. Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY. 
 
Exemplo: A função 
2( )f x x
 é par, pois 
2( ) ( ), ( )f x x f x x D f    
. Observe o gráfico de 
f
! 
Outra função par é 
( ) cosg x x
 pois 
( ) cos( ) cos( ) ( )g x x x g x    
. 
Definição 10: Uma função real 
f
 é ímpar se, para todo 
x
 do domínio de 
f
, tem-se que 
( ) ( )f x f x  
. Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema 
cartesiano. 
 8 
Exemplo: As funções reais 
( ) 5f x x
 e 
( )g x sen x
 são ímpares, pois: 
( ) 5( ) 5 ( )f x x x f x      
 
e 
( ) ( ) ( ) ( )g x sen x sen x g x      
. Veja o gráfico para observar a simetria em relação à origem. 
 
 
 
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
 Dadas duas funções 
f
 e 
g
, vamos definir 4 novas funções: 
f g
, 
f g
, 
f g
 e 
f
g
, da 
seguinte maneira: 
Definição 11: Sejam 
f
 e 
g
 duas funções. 
(i) 
 ( ) ( ) ( )f g x f x g x  
; 
(ii) 
 ( ) ( ) ( )f g x f x g x  
; 
(iii) 
 ( ) ( ) ( )f g x f x g x  
; 
(iv) 
( )
( )
( )
f f x
x
g g x
 
 
 
, para 
( ) 0g x 
. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
 ( )f g x
 existe, se e somente se existe 
( )f x
 e 
( )g x
, ou seja, se e somente se 
( )x D f
 e 
( )x D g
. 
Logo, 
( ) ( ) ( )D f g D f D g  
. 
 O mesmo vale para 
f g
 e 
f g
. 
 Já, 
 ( ) ( ) { / ( ) 0}
f
D D f D g x g x
g
 
    
 
. 
 9 
Exemplos: Sejam 
( ) 5f x x
 e 
( ) 3g x x 
. 
 Então, 
 ( ) 0,D f  
 e 
 ( ) 3,D g  
. Assim: 
(i) 
( )( ) 5 3f g x x x   
; 
 ( ) 3,D f g  
; 
(ii) 
( )( ) 5 3f g x x x   
; 
 ( ) 3,D f g  
; 
(iii) 
( )( ) 5 3f g x x x   
; 
 ( ) 3,D f g  
; 
(iv) 
5
( )
3
f x
x
g x
 
 
 
; 
 3,
f
D
g
 
  
 
 
PERGUNTA 
 
 Seria correto escrever 
 ( ) 5 ( 3)f g x x x  
 e 
5
( )
3
f x
x
g x
 
 
 
? 
Resposta: NÃO! As funções 
( ) 5 3u x x x  
 e 
( ) 5 ( 3)v x x x 
 não são iguais. De fato, 
 ( ) 3,D u  
, enquanto 
   ( ) , 0 3,D v    
. CONFIRA! 
 A propriedade 
a b a b  
 vale apenas se “
a
” e “
b
” forem números reais não negativos. 
Assim sendo, podemos fazer a operação 
5 3 5 ( 3)x x x x   
, com a ressalva: 
5 0x 
 e 
3x 
, ou 
seja, 
3x 
. 
 Portanto, o que seria correto é escrever: 
 ( ) 5 ( 3)f g x x x  
, com 
3x 
. 
Isto é equivalente a 
 ( ) 5 3f g x x x   
. 
 Analogamente, poderíamos escrever: 
5
( )
3
f x
x
g x
 
 
 
, com 
3x 
. 
 
 
 
 10 
Composição de Funções 
 
Definição 12: Dadas as funções 
:f A B
 e 
:g B C
, a função composta de 
g
 com 
f
, 
denotada por 
g f
, é a função definida por 
( )( ) ( ( ))g f x g f x
. 
g f
 pode ser lida como "
g
 bola 
f
". Para que a composição ocorra o 
( ) ( )CoDom g Dom f
. 
 
Exemplo: Sejam as funções reais definidas por 
( ) 4 2f x x 
 e 
( ) 7 4g x x 
. As composições 
f g
 
e 
g f
são possíveis e neste caso serão definidas por: 
( )( ) ( ( )) (7 -4) 4(7 -4) 2 28 -14f g x f g x g x x x    
 
( )( ) ( ( )) (4 2) 7(4 2) -4 28 10g f x g f x g x x x      
 
Observação: Em geral, 
f g
 é diferente de 
g f
. 
Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por 
2( ) 1f x x 
 e 
( ) 2 4g x x 
. Então: 
( )( ) ( ( )) (2 -4) (2 -4)² 1 4 ² -16 17f g x f g x f x x x x     
 

 
( )( ) ( ( )) ( ² 1) 2( ² 1) -4 2 ² -2g f x g f x g x x x     
 
 
Função Inversa 
 
Definição 13: Dada uma função bijetora 
:f A B
, denomina-se função inversa de 
f
 a função 
:g B A
 tal que se 
( )f a b
, então 
( )g b a
, quaisquer que sejam 
a A
 e 
b B
. Denotamos a 
função inversa de 
f
 por 
1f 
. 
Observação importante: Se 
g
 é a inversa de 
f
 e 
f
 é a inversa de 
g
, valem as relações: 
 e A Bg f I f g I 
 
onde 
AI
 e 
BI
 são, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos 
A
 e 
B
. Esta característica 
algébrica permite afirmar que os gráficos de 
f
 e de sua inversa (
g
) são simétricos em relação à 
função identidade 
( )y x
. 
 11 
Exemplo: Sejam 
{1, 2, 3, 4, 5}A
, 
{2, 4, 6, 8, 10}B 
 e a função 
:f A B
 definida por 
( ) 2f x x
 
e 
:g B A
 definida por 
( )
2
x
g x 
. Observemos nas representações abaixo as situações das setas 
indicativas das ações das funções. 
 
Obtenção da inversa: Seja 
:f 
, 
( ) 3f x x 
. Tomando 
y
 no lugar de 
( )f x
, teremos 
3y x 
. Trocando 
x
 por 
y
 e 
y
 por 
x
, teremos 
3x y 
 e isolando 
y
 obteremos 
3y x 
. Assim, 
( ) 3g x x 
 é a função inversa de 
( ) 3f x x 
, ou seja, 
1( ) 3f x x  
. Com o gráfico observamos a 
simetria em relação à reta identidade. 
 
 
 
Função Afim 
Definição 14: Sejam 
a
 e 
b
 números reais, sendo 
0a 
. Uma função afim é uma função 
:f 
 que para cada 
x
, associa 
( )f x ax b 
. 
Exemplos: 
1. 
( ) 3 1f x x  
; 
2. 
( ) 2 7g x x 
; 
3. 
1
( ) 4
2
h x x 
. 
 O gráfico da função afim é uma reta. Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é uma reta 
que não passa pela origem (0,0). 
 12 
 
Observação: “
a
” chama-se coeficiente angular e “
b
”, coeficiente linear. 
 
Casos Particulares da Função Afim 
Definição 15: Seja 
b
 um número real. A função constante associa a cada 
x
 o valor 
( )f x b
. 
Exemplos: 
1. 
( ) 1f x 
; 
2. 
( ) 7f x  
; 
3. 
( ) 0f x 
. 
 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal). 
 
Definição 16: Chamamos de função identidade a função 
:f 
 que para cada 
x
, associa 
( )f x x
. 
 O gráfico da função identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro 
quadrante em duas partes iguais. 
 
 
 
 13 
Definição 17: Seja 
( 0)a a 
.Uma função linear é uma função 
:f 
 que para cada 
x
, 
associa 
( )f x ax
. 
Exemplos: 
1. 
( ) 3f x x ; 
2. 
( ) 2f x x
; 
3. 
1
( )
2
f x x
. 
 O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem (0,0). 
 
 
 
Função Quadrática 
 
Definição 18: Sejam 
a
, 
b
 e 
c
 números reais, sendo 
0a 
. Uma função quadrática é uma função 
:f 
 que para cada 
x
, associa 
2( )f x ax bx c  
. 
Exemplos: 
1. 
2( )f x x
; 
2. 
2( ) 4f x x 
; 
3. 
2( ) 4f x x x 
; 
4. 
2( ) 2 7f x x x   
. 
 O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. 
 
 
 
 
 14 
Função Polinomial 
 
Definição 19: Uma função polinomial 
:f 
 é uma função da forma 
 
3 2
3 2 1 0 ( ) 
n
ny f x a x a x a x a x a         
; 
 
onde: 
# n é o grau do polinômio; 
# 
3 2 1 0; ; ; ; ; na a a a a  
, chamados coeficientes do polinômio, são constantes
( 0)na 
; 
# 
x
 é a variável independente; 
# O domínio de toda função polinomial é ; 
# 
( )y f x
 é a variável dependente. 
 
Exemplo: 
3 2( ) 4 2 1y f x x x   
 é uma função polinomial de grau 3. 
 
 O gráfico da função polinomial depende do grau do polinômio que a representa. 
 
 Por exemplo, para 
:f 
 dada por 
3( )f x x
 temos: 
 
 
 
Função Racional 
 
Definição 20: Uma função racional é do tipo 
( )
( )
( )
p x
f x
q x

, sendo 
p
 e 
q
 polinômios. O domínio 
de 
f
 é: 
 ( ) / ( ) 0Dom f x q x   
. 
Exemplos: 
1. 
2
1
( )
1
x
f x
x



; 
( )D f 
 
2. 
1
( )
3
g x
x


; 
( ) { 3}D g   
 
3. 3
3
4 1
( )
x x
h x
x x
 


; 
( ) {0, 1, 1}D h   
 
4. 
4 2
2
( )
5 3
k x
x x x

  
; 
( )D k
 já não é tão simples de ser determinado. 
 15 
OBSERVAÇÃO: Não podemos fazer generalizações sobre o gráfico destas funções. É importante 
fazer pelo menos uma vez o gráfico de funções como 
1
y
x

 e 
2
1
y
x

 (LISTA DE EXERCÍCIOS). 
Módulo (ou Valor Absoluto) de um número real 
 
Definição 21: Seja a . Então: 
 
se 0
se 0
a a
a
a a

 
 
 
Observações: 
1. 
0,a a  
. 
2. 
a
 representa a distância do ponto 
a
 à origem, na reta real. 
 
Propriedades do Módulo 
1. 
, ,x y x y x y    
; 
2. 
2 2,x x x  
; 
3. 
, , {0}
xx
x y
y y
     
; 
4. 
,x x x x    
; 
5. Desigualdade Triangular: 
, ,x y x y x y     
; 
6. 
 *,x a a x a a      
; 
7. 
 *oux a x a x a a      
. 
 
Função Modular 
 
Definição 22: A função 
:f 
 chama-se função modular, se a cada número real 
x
 associa o 
módulo de 
x
, ou seja, a distância de 
x
 à origem. Temos assim: 
 
, se 0
( )
, se 0
x x
f x
x x

 
 
 
 
 O gráfico dessa função tem o seguinte aspecto: 
 16 
Perceba que 
Im( ) [0, )f  
. 
 Outra maneira interessante de olhar para o gráfico de 
y x
 é considerar que ele coincide com a 
reta 
y x
 para valores de 
x
 positivos ou zero, enquanto que para valores negativos de 
x
, tomamos a 
semi-reta "rebatida", pois, nesse caso, 
x x 
. Esta semi-reta "rebatida", evidentemente, é simétrica 
da original em relação ao eixo horizontal. 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Definição 23: Dado um ângulo de medida 
x
, a função seno é a relação que associa a cada 
x
, o 
seno do ângulo 
x
, denotado pelo número real 
( )sen x
. A função é denotada por 
( ) ( )f x sen x
 ou 
( )y sen x
. 
 Segue uma tabela com valores de 
f
 no intervalo 
[0, 2 ]
. 
x
 0 
4

 
2

 
3
4

 

 
5
4

 
3
2

 
7
4

 
2
 
y
 0 
2
2
 1 2
2
 0 2
2

 -1 2
2

 0 
Gráfico: Na figura, o segmento 
'OY
 que mede 
( )sen x
, é a projeção do segmento 
OM
 sobre o eixo 
OY
. 
 17 
 
 
Propriedades da função seno 
1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim 
( )Dom f 
; 
2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo 
[ 1, 1]
; 
3. Periodicidade: A função é periódica de período 
2T 
. 
 Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de 
medida 
2
. 
 
4. Sinal: 
Intervalo [0,

 /2] [

/2,

] [

,3

/2] [3

/2,2

] 
Função seno positiva positiva negativa negativa 
5. Monotonicidade: 
Intervalo [0,

 /2] [

/2,

] [

,3

/2] [3

/2,2

] 
Função seno crescente decrescente decrescente crescente 
6. Limitação: O gráfico de 
( )y sen x
 está inteiramente contido na faixa do plano situada entre 
as retas horizontais 
1y  
 e 
1y 
. Para todo 
x
 temos: 
-1 ( ) 1sen x 
 
7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo 
x
, tem-se que: 
( ) ( )sen x sen x  
 
 
 18 
Definição 24: Dado um ângulo de medida 
x
, a função cosseno é a relação que associa a cada 
x
 
o número real 
cos( )x
. Esta função é denotada por 
( ) cosf x x
 ou 
cosy x
. 
 Segue uma tabela com valores de f no intervalo 
[0, 2 ]
. 
x
 0 
4

 
2

 
3
4

 

 5
4

 
3
2

 
7
4

 
2
 
y
 1 2
2
 0 2
2

 -1 2
2

 0 2
2
 1 
Gráfico: O segmento 
OX
, que mede 
cos( )x
, é a projeção do segmento 
OM
 sobre o eixo horizontal 
OX
. 
 
Propriedades da função cosseno 
1. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim 
( )D f 
; 
2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo 
[ 1, 1]
; 
3. Periodicidade: A função é periódica de período 
2T 
; 
 
4. Sinal: 
Intervalo [0,

 /2] [

/2,

] [

,3

/2] [3

/2,2

] 
Função cosseno positiva negativa negativa positiva 
5. Monotonicidade: 
Intervalo [0,

 /2] [

/2,

] [

,3

/2] [3

/2,2

] 
Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente 
 19 
6. Limitação: O gráfico de 
cosy x
 está inteiramente contido na faixa do plano situada entre 
as retas horizontais 
1y  
 e 
1y 
. Para todo 
x
 temos: 
1 cos( ) 1x  
 
7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo 
x
, tem-se que: 
cos( ) cos( )x x 
 
Definição 25: Como a tangente não existe para arcos da forma 
2
n


, onde 
n
, estaremos 
considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente 
como a relação que associa a este 
x
 real, a tangente de 
x
, denotada por 
( )tg x
 ou 
tan( )x
. 
( ) ( )
cos
sen x
f x tg x
x
 
 
 Segue uma tabela com valores de f no intervalo 
[0, 2 ]
. 
x
 0 
4

 
2

 
3
4

 

 
5
4

 
3
2

 
7
4

 
2
 
y
 0 
1
 

 
1
 0 
1
 

 
1
 0 
 
Gráfico: O segmento 
AT
 mede 
( )tg x
. 
 
 Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco 
AM
 está próximo de 
2

 
ou de 
2
 
 
 
, a 
função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por 
OM
 tem coeficiente angular cada 
vez maior e vai se tornando cada vez mais vertical sendo que a interseção com a reta 
t
 vai ficando 
mais distante do eixo 
OX. 
Propriedades da função tangente 
1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma 
2
n


, 
n
, temos: 
( ) : ,
2
Dom f x x n n
       
 
; 
 20 
2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim 
Im( )f 
; 
3. Periodicidade: A função é periódica de período 
T 
; 
 Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma 
ordem em que se apresentam. 
 
4. Sinal: 
Intervalo [0,

 /2] [

/2,

] [

,3

/2] [3

/2,2

] 
Função tangente positiva negativa positiva negativa 
5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos 
2
n
x


, 
n
, 
onde a função não está definida. 
6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de 
(2 1)
2
k 
, a função cresce (ou decresce) sem controle. 
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, 
tem-se que: 
( ) ( )tg x tg x 
 
Definição 26: Como a cotangente não existe para arcos da forma 
n
 onde 
n
, estaremos 
considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente 
como a relação que associa a cada 
x
 a cotangente de 
x
, denotada por: 
cos
( ) ( )
x
f x cotg x
sen x
 
 
 Segue uma tabela com valores de f no intervalo 
[0, 2 ]
. 
x
 0 
4

 
2

 
3
4

 

 
5
4

 
3
2

 
7
4

 
2
 
y
 

 
1
 
0
 
1
 

 
1
 
0
 
1
 

 
Gráfico: O segmento 
'OS
 mede 
cot ( )g x
. 
 21 
 
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco 
AM
 está próxima de 
(ou - ) 
, 
podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa 
por 
OM
 vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interseção com a reta 
s
 vai se tornando muito 
longe. 
Propriedades da função cotangente 
1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma 
n
 onde 
n
, temos: 
( ) { : , }Dom f x x n n   ; 
2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim 
Im( )f 
; 
3. Periodicidade: A função é periódica de período 
T 
; 
 
4. Sinal: 
Intervalo [0,

 /2] [

/2,

] [

,3

/2] [3

/2,2

] 
Função tangente positiva negativa positiva negativa 
 
 
5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos 
( )x n n 
, onde a função não está definida. 
 
6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de 
( )
2
n
n


, a função cresce (ou decresce) sem controle. 
 
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que: 
 
cot ( ) cot ( )g x g x  
 
 
 22 
Definição 27: Como a secante não existe para arcos da forma 
2
n


, onde 
n
, estaremos 
considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante 
como a relação que associa a este 
x
, a secante de 
x
, denotada por 
sec( )x
. 
1
( ) sec( )
cos
f x x
x
 
 
 Segue uma tabela com valores de f no intervalo 
[0, 2 ]
. 
x
 0 
4

 
2

 
3
4

 

 5
4

 
3
2

 
7
4

 
2
 
y
 
1
 
2
 

 
2
 1 
2
 

 
2
 1 
Gráfico: O segmento 
OV
mede 
sec( )x
. 
 
Quando 
x
 assume valores próximos de 
2

 ou de 
3
2

, 
cos( )x
 se aproxima de zero e a fração 
1
cos( )x
, 
em valor absoluto, tende ao infinito. 
Propriedades da função secante 
1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma 
2
n


, onde 
n
, temos: 
( ) : ;
2
Dom f x x n n
       
 
; 
2. Imagem: Para todo 
x
 pertencente ao domínio da secante, temos que 
sec( ) 1x 
 ou 
sec( ) 1x 
, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos: 
Im( ) { : 1 1}f y y ou y    
; 
3. Periodicidade: A função é periódica de período 
2T 
; 
 23 
 
4. Sinal: 
Intervalo [0,

 /2] [

/2,

] [

,3

/2] [3

/2,2

] 
Função secante positiva negativa negativa positiva 
5. Monotonicidade: 
Intervalo [0,

 /2] [

/2,

] [

,3

/2] [3

/2,2

] 
Função secante crescente crescente decrescente decrescente 
 
6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de 
2
n


, 
onde 
n
, a função cresce (ou decresce) sem controle. 
 
7. Simetria: A função secante é par, pois para todo 
x
 onde a secante está definida, tem-se que: 
sec( ) sec(- )x x
 
Definição 28: Como a cossecante não existe para arcos da forma 
( )n n 
, estaremos 
considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cossecante 
como a relação que associa a este 
x
, a cossecante de 
x
, denotada por 
cossec( )x
. 
1
( ) cossec( )f x x
sen x
 
 
 Segue uma tabela com valores de f no intervalo 
[0, 2 ]
. 
x
 0 
4

 
2

 
3
4

 

 5
4

 
3
2

 
7
4

 
2
 
y
 

 
2
 
1
 2  2 1 2  
 
Gráfico: O segmento 
OU
 mede 
cossec( )x
. 
 24 
 
Quando 
x
 assume valores próximos de 0, 

ou de 
2
, 
( )sen x
 se aproxima de zero e a fração 
1
( )sen x
, 
em valor absoluto, tende ao infinito. 
Propriedades da função cossecante 
1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma 
( )n n 
, temos: 
( ) { : , }Dom f x x n n   ; 
2. Imagem: Para todo 
x
 pertencente ao domínio da cossecante, temos que 
cossec( ) -1 x 
 ou 
cossec( ) 1x 
, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos: 
Im( ) { : -1 1}f y y ou y   
; 
3. Periodicidade: A função é periódica de período 
2T 
; 
 
4. Sinal: 
Intervalo [0,

 /2] [

/2,

] [

,3

/2] [3

/2,2

] 
Função cossecante positiva positiva negativa negativa 
5. Monotonicidade: 
Intervalo [0,

 /2] [

/2,

] [

,3

/2] [3

/2,2

] 
Função 
cossecante 
decrescente crescente crescente decrescente 
 
6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de 
( )n n 
, a função cresce (ou decresce) sem controle. 
 
 25 
7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo 
x
 onde a cossecante está definida, tem-
se que: 
 
cossec( ) cossec( )x x  
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
 Uma função f, de domínio 
D
 possui inversa somente se 
f
 for bijetora, por este motivo nem todas 
as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar 
subconjuntos desses domínios para gerar novas funções que possuam inversas. 
Exemplo: A função 
( ) cos( )f x x
 não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos 
números reais, pois para um valor de 
y
 correspondem infinitos valores de 
x
. Por exemplo, se 
cos( ) 1x 
, podemos tomar 
0x 
, 
2x 
, 
4x 
, 
2x  
,..., isto é, 
2x n
, onde 
n
; isto quer 
dizer que não podemos definir a inversa de 
( ) cos( )f x x
 em seu domínio. Devemos então restringir o 
domínio para um subconjuntodos números reais onde a função é bijetora. 
 Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. 
É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no 
qual a função percorra todo seu conjunto imagem. 
Definição 29: Consideremos a função 
( ) ( )f x sen x
, com domínio no intervalo 
,
2 2
  
 
 
 e 
imagem no intervalo 
[ 1, 1]
. A função inversa de 
f
, denominada arco seno e definida por 
1( ) :[ 1, 1] ,
2 2
f x
      
 
 é denotada por 
( ) ( )f x arcsen x
 
Gráfico da função arco-seno: 
 
Definição 30: Seja a função 
( ) cos( )g x x
, com domínio 
[0, ]
 e imagem 
[ 1, 1]
. A função inversa 
de 
g
, denominada arco cosseno é definida por 
1( ) :[ 1, 1] [0, ]g x   
 e denotada por 
( ) arccos( )g x x
 
 
 26 
Gráfico da função arco-cosseno: 
 
Definição 31: Dada a função 
( ) ( )f x tg x
, com domínio 
,
2 2
  
 
 
 e imagem em , a função 
inversa de 
f
, denominada arco-tangente é definida por 
1( ) : ,
2 2
f x
     
 
 e denotada por 
( ) arc ( )f x tg x
 
Gráfico da função arco-tangente: 
 
Definição 32: Dada a função 
( ) cot ( )f x g x
, com domínio (0, 

) e imagem em , a função 
inversa de 
f
, denominada arco-cotangente é definida por 
1( ) : (0, )f x  
 e denotada por 
( ) arc ( )f x cotg x
 
Gráfico da função arco-cotangente: 
 
 27 
Definição 33: Dada a função 
( ) sec ( )f x x x
, com domínio (0, 

) e imagem 
1x 
, a função 
inversa de 
f
, denominada arco-secante é definida por 
 1( ) : 1 0,
2
f x x
     
 
 e denotada por 
( ) arcsec( )f x x
 
Gráfico da função arco-secante: 
 
Definição 34: Dada a função 
( ) cossec( )f x x
, com domínio (0, 

) e imagem 
1x 
, a função 
inversa de 
f
, denominada arco-cossecante é definida por 
 1( ) : 1 , 0
2 2
f x x
       
 
 e 
denotada por 
( ) arccossec( )f x x
 
Gráfico da função arco-cossecante: 
 
Observação: Para as funções das definições 33 e 34, adotamos as seguintes definições: 
 
 
1
( ) arcsec( ) arccos ;
1
( ) arccossec( ) arcsen .
y f x x
x
y f x x
x
 
    
 
 
    
 