Aula 02 - Modelos em Variável de Estado

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Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 1
1 INTRODUÇÃO
Conforme já foi mencionado, o modelo matemático de um sistema dinâmico é obtido a
partir da aplicação de Leis Físicas e de Equações Constitutivas dos elementos que compõem o
sistema, o que conduz, normalmente, a um sistema de equações diferenciais e/ou equações
algébricas. Tal sistema de equações, usualmente, é representado de três maneiras:
(1) Representação no Espaço de Estados
(2) Representação por Equação I/O (Input/Output = Entrada/Saída)
(3) Representação por Matriz de Transferência
Na aula de hoje veremos o primeiro tipo de representação.
2 REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS
É um enfoque mais moderno, que repousa sobre o conceito de Variáveis de Estado.
Nesta representação, um modelo matemático descrito por uma equação diferencial de ordem n
é substituído por um sistema de n equações diferenciais, todas de 1a ordem. Se o modelo
matemático for descrito por m equações diferenciais de ordem n, então ele será substituído
por um sistema de m x n equações diferenciais de 1a ordem. A representação no espaço de
estados é particularmente útil na análise e no projeto de sistemas de controle. Ela possui as
seguintes características:
Q Usa o domínio do tempo
Q Quaisquer condições iniciais
Q Aplicabilidade mais ampla: sistema
sistema
sistema Output) e
Q Interpretação física mais abstrat
02
Representação De
Modelos de Sistemas Dinâmicos:
- Espaço de Estados
s lineares e
não-lineares
s invariantes no tempo e
variantes notempo
s SISO (Single Input, Single
MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs)
a
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 2
A seguir, apresentaremos os fundamentos do método a partir de exemplos simples.
Exemplo 1: Representação de um sistema mecânico de 2a ordem com um grau de liberdade,
sendo a entrada u(t), que é a força externa aplicada sobre a massa m, e a saída y(t), que é o
deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio estático.
Modelo matemático: dado pela EDOL )t(ukyycym
... =++
Duas questões aparecem:
Q1 Æ Quantas variáveis de estado são necessárias?
A quantidade de variáveis de estado é igual à quantidade de condições iniciais. Como o
sistema é de 2a ordem, ele possui duas condições iniciais, logo necessita de duas variáveis de
estado para descrever completamente a dinâmica do sistema.
Q2 Æ Quais são as variáveis de estado do problema?
São as correspondentes às condições iniciais do problema. No caso, as variáveis de
estado são então, o deslocamento y(t) e a velocidade )t(y
. .
Obs.: é importante não confundir variável de estado (ente matemático) com variável física. Por
exemplo, consideremos um sistema dinâmico descrito pelo sistema de equações diferenciais
abaixo, onde x1, x2 e suas derivadas são variáveis físicas:
 
0xx2x
0xxxx
212
.
211
.
1
..
=+−
=−++
Nesse caso, existem 3 variáveis de estado: duas para a coordenada x1 e uma para a
coordenada x2:
x1 = x1 x2 = x2
 deslocamento (físico) deslocamento (físico)
variável de estado variável de estado
 (matemática) (matemática)
x3 = 1
.
x
 velocidade (física)
variável de estado
 (matemática)
Voltemos ao exemplo 1. As variáveis de estado serão x1 e x2:
x1 = y
x2 = 
.
y
Derivando, obtemos:
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 3
u
m
1)ycky(
m
1x
yx
.
2
.
.
1
.
+−−=
=
Vemos que a primeira equação não depende da dinâmica do sistema, enquanto que a
segunda depende. Em termos de variáveis de estado:
u
m
1x
m
cx
m
kx
xx
212
.
21
.
+−−=
=
que são s equações de estado. Sob forma matricial:
A equa
equaçã
onde
 
Exemp
Pedem-
(a) var
(b) sup
da 
(c) rep
 a
 u
m
1
0
x
x
m
c
m
k
10
x
x
2
1
2
.
1
.



+






−−=



ção de saída, y = x1, pode ser escrita
 [ ] [ ] 

==
2
1
x
x
01yy
Essas duas últimas equações matriciais são, respectivamente, a equação de estado e a
o de saída. Em forma padrão:
DuCxy
BuAxx
.
+=
+=
[ ]u(t) 
x
x x
x
1
.
1
.
.
2
1 =



=

= uxx
 [ ] [ ]0 01 
m
1
0
 
m
c
m
k
10
==


=



−−= DCBA
lo 2: Representação de um sistema de 2a ordem com dois graus de liberdade.
Seja o sistema mecânico da fig. 1.
Fig. 1 Sistema mecânico com 2 GDL
se:
iáveis de estado e equação de estado;
ondo que as entradas do sistema sejam f1(t) e f2(t) e que a saída seja x1, obter a equação
saída.
etir o item (b), porém agora as saídas são x1 e 1
.
x .
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 4
Solução
Modelo matemático: é dado pelo sistema de EDOL's
)t(fxkxkxcxcxm
)t(fxkx)kk(xcx)cc(xm
222122
.
21
.
22
..
2
1221212
.
21
.
211
..
1
=+−+−
=−++−++
 (a) Como cada equação diferencial é de 2a ordem, existem quatro condições iniciais e, portanto,
quatro variáveis de estado:
2
.
41
.
32211 xx x x x x xx ====
Derivando e usando as equações diferenciais do modelo matemático, obtemos, após
manipulações algébricas:
)t(f
m
1x
m
cx
m
cx
m
kx
m
kx
)t(f
m
1x
m
cx
m
ccx
m
kx
m
kkx
xx
xx
2
2
4
2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
4
.
1
1
4
1
2
3
1
21
2
1
2
1
1
21
3
.
42
.
31
.
+−+−=
+++−++−=
=
=
Notemos que as duas primeiras equações não dependem da dinâmica do sistema,
enquanto que a duas últimas dependem. Em forma matricial:
 
1x22
1
2x42
1
1x44
3
2
1
4x42
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
21
1
2
1
21
1x44
.
3
.
2
.
1
.
)t(f
)t(f
m
10
0
m
1
00
00
x
x
x
x
m
c
m
c
m
k
m
k
m
c
m
cc
m
k
m
kk
1000
0100
x
x
x
x















+




















−−
+−+−=










ou seja, BuAxx
. +=
onde os vetores e matrizes podem ser facilmente identificados.
(b) Considerando x1 como saída, i.é., y = x1, a equação de saída é
 [ ] [ ] [ ]
1x22
1
2x1
1x44
3
2
1
4x11x1 )t(f
)t(f
00
x
x
x
x
0001y 

+








=
ou seja, y = Cx + Du
onde os vetores e matrizes podem ser facilmente identificados.
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 5
(d) Considerando como saídas x1 e 1
.
x :
 
1x22
1
2x2
1x44
3
2
1
4x21x23
1
)t(f
)t(f
00
00
x
x
x
x
0100
0001
x
x




+










=

=y
onde os vetores e matrizes podem ser facilmente identificados.
FORMALIZAÇÃO DO MÉTODO
Definições:
Estado de um sistema dinâmico: menor conjunto de variáveis (denominadas variáveis de
estado) independentes tal que o conhecimento dessas variáveis no instante t = t0, juntamente
com o conhecimento da entrada para t ≥ t0, determina completamente o comportamento do
sistema para t ≥ t0. Portanto, o estado para t ≥ t0 não depende do estado e da entrada para t <
t0. No caso de sistemas lineares invariantes no tempo, usualmente escolhemos t0 = 0.
Variáveis de estado de um sistema dinâmico: são as n variáveis que compõem o menor
conjunto de variáveis que determinam o estado do sistema. É importante notarque essas
variáveis não representam necessariamente quantidades físicas e que o conjunto de variáveis de
estado de um determinado sistema dinâmico não é único. Tendo em vista que as variáveis de
estado são independentes, uma variável de estado não pode ser expressa como função algébrica
de outra(s) variável(eis) de estado.
Vetor de estado de um sistema dinâmico: é o vetor x(t) cujas componentes são as n variáveis
de estado. Um vetor de estado x(t) determina univocamente o estado do sistema para qualquer
instante t ≥ t0, uma vez que o estado em t = t0 seja dado e a entrada u(t) para qualquer
instante t ≥ t0 seja especificada.
Espaço de estado: é o espaço n-dimensional cujos eixos coordenados são as variáveis de estado
x1, x2, ... , xn. Portanto, qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço de
estado. Assim, no sistema do exemplo 3, temos as variáveis de estado x1 = y e x2 = 
.
y , logo o
espaço de estados é bidimensional, podendo ser localizado num plano com eixos x1 e x2.
Equações do espaço de estados
Três tipos de variáveis aparecem na modelagem de sistemas dinâmicos por espaço de estados:
„ variáveis de entrada
„ variáveis de saída
„ variáveis de estado
Seja o sistema dinâmico da fig. 2, o qual possui
r variáveis de entrada:u1(t), u2(t), ... , ur(t)
m variáveis de saída: y1(t), y2(t), ... , ym(t)
n variáveis de estado: x1(t), x2(t), ... , xn(t)
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 6
Então, o sistema pode ser descrito por n equações diferenciais de 1a ordem, que são as
equações de estado:
(1)
 
onde f1, f2, ... , fn são não lineares, em geral. Por outro lado, as saídas do sistema são funções
das variáveis de entrada, das variáveis de estado e do tempo, constituindo as equações de
saída:
(2)
onde g1, g2, ... , gn são não lineares, em geral.
Definindo
saída de vetor
)t(y
...
)t(y
)t(y
)t(
entrada de vetor 
)t(u
...
)t(u
)t(u
)t(
estado de vetor 
)t(x
...
)t(x
)t(x
)t(
1mxm
2
1
1rxr
2
1
1nxn
2
1
=










=
=










=
=










=
y
u
x
as equações de estado e de saída podem ser escritas sob forma matricial compacta como
Fig. 2 Sistema com r
entradas e m saídas
(3)
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 7
Se as funções vetoriais f e g envolvem o tempo t explicitamente, então o sistema é dito
variante no tempo.
Caso particular: o sistema é variante no tempo e linear. Neste caso:
(4)
onde 
Se o sistema é
certos casos, podem s
uso das equações de es
Por outro lado
então o sistema é dit
podem ser simplificada
Caso particular: o sist
onde agora as matrize
Não Unicidade das Va
Podemos mostr
selecionar um conjunt
representado por um c
Consideremos 
A(t) é a matriz de estado n x n
B(t) é a matriz de entrada n x r
C(t) é a matriz de saída m x n
D(t) é a matriz de transmissão direta m x r
 variante no tempo e não-linear, as equações de estado e de saída, em
er linearizadas em torno de um estado de operação, de modo a permitir o
tado e de saída para um sistema linear.
, se as funções vetoriais f e g não envolvem o tempo t explicitamente,
o invariante no tempo e, nesse caso, as equações de estado e de saída
s para:
ema é invariante no tempo e linear. Neste caso:
 (5)
(6)
s A, B, C e D são matrizes constantes.
riáveis de Estado
ar que o conjunto de variáveis de estado não é único, ou seja, podemos
o diferente de variáveis de tal modo que o modelo do sistema possa ser
onjunto de equações semelhante ao das eqs. (6).
um sistema dinâmico para o qual um conjunto de n variáveis de estado
x(t) = [x1, x2, ..., xn]T
No nosso curso, trataremos apenas de sistemas
invariantes no tempo e lineares.
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 8
foi escolhido adequadamente e para o qual a representação no espaço de estados é dada pelas
eqs. (6). Consideremos, também, um outro conjunto de variáveis
x*(t) = [x1*, x2*, ..., xn*]T
relacionado ao primeiro pela transformação matricial
x = P x* (7)
onde P é uma matriz n x n não singular (determinante não nulo), com elementos constantes.
Substituindo a eq. (7) na eq. (6):
 
DuCPxy
BuAPxxP
+=
+=
*
*
.
*
Pré-multiplicando a primeira equação por P-1, obtemos
 
DuCPxy
BuPAPxPx
+=
+= −−
*
1*1
.
*
(8)
Definindo: P-1AP = A*
P-1B = B*
C P = C*
ficamos com
 
DuxCy
uBxAx
+=
+=
**
***
.
*
(9)
que está precisamente na mesma forma da eq. (6), logo representa também o mesmo sistema
dinâmico, porém utilizando um outro conjunto de variáveis de estado, o que vem demonstrar que
o conjunto de variáveis de estado não é único.
Desacoplamento das Variáveis de Estado
Na maioria dos casos, as variáveis de estado estão acopladas, conforme ilustra o
exemplo 4, no qual podemos ver que a matriz de estado A é uma matriz cheia (ou seja, não é uma
matriz diagonal ou triangular), o que denuncia a presença de uma variável de estado em mais de
uma equação. Tal fato se chama acoplamento e, matematicamente, significa que as equações não
podem ser tratadas separadamente, a não ser que consigamos desacoplá-las.
Para desacoplar as equações de estado, podemos usar a transformação matricial
 x = P x* (10)
onde P é a matriz modal associada com a matriz A, ou seja, P é a matriz cujas colunas são os
autovetores da matriz A. Da Álgebra Linear sabemos que
 P-1 A P = Λ (11)
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 9
onde Λ é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os autovalores da
matriz A. Então, as equações de estado que utilizam um vetor de estados x* que satisfaça a
transformação da eq. (10) tomam a forma especial (acompanhar pela eq. (8))
 
DuCPxy
uBPxx
+=
+= −
*
1*
.
* Λ (12)
o que garante o desacoplamento das equações de estado, já que a matriz Λ é diagonal.
Exemplo 3: Seja um sistema dinâmico cujo modelo matemático é a EDOL )t(fx4x5x
... =++ , onde
f(t) é a entrada e x(t) é a saída. Pedem-se:
(a) representação no espaço de estados; (b) desacoplar as equações de estado.
Solução
(a) Variáveis de estado: x1 = x
x2 = 
.
x
Derivando:
)t(fx4x5xx
xxx
...
2
.
2
.
1
.
+−−==
==
e as equações de estado são
)t(fx5x4x
xx
212
.
21
.
+−−=
=
que podem ser colocadas na forma matricial BuAxx
. += :
 
)t(f
1
0
x
x
54
10
x
x
2
1
2
.
1
.


+




−−=



Equação da saída: y = x = x1
que pode ser colocada na forma matricial y = Cx + Du:
[ ] [ ][ ])t(f0x
x
01y
2
1 +

=
(b) Autovalores e autovetores da matriz A = 


−− 54
10
Usando o método clássico, o MatLab ou a HP48:
λ1 = - 4 

−=
4
1
1v
λ2 = - 1 


−= 1
1
2v
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 10
Matriz modal: P = 


−
−
14
11
Diagonalização: Λ = P-1 A P = 


−
−=


−
−



−−


−
− −
10
04
14
11
54
10
14
11 1
Aplicando as eqs. (12):
 
[ ]
[ ] [ ][ ])t(f0
14
11
01
)t(f
1
0
14
11
*
1
*
.
*
+


−
−=





−
−+

=
−
xy
xx
1-0
04-
Finalmente:
[ ]
[ ] *
*
.
*
11
)t(f
3
1
3
1
xy
xx
−=




+

=
1-0
04-
Verificamos, pois, que com a adoção das variáveis de estado x* as equações de estado se
tornamdesacopladas.
EXERCÍCIOS
1 Dada a equação diferencial de 3a ordem )t(f2xx2xx
...... =+++ , representá-la no espaço
de estados.
Resp.:








=








−−−
=
2
0
0
 
121
100
010
BA
2 Dado o sistema mecânico rotacional da figura
cujo modelo matemático é dado pelo sistema de equações diferenciais
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 11
0)KK(KJ
TK)KK(J
232122
..
2
221211
..
1
=θ++θ−θ
=θ−θ++θ
pedem-se:
(a) representação no espaço de estados, sendo T(t) a entrada e θ1(t) a saída;
(b) representação no espaço de estados, sendo T(t) a entrada e θ1(t) e θ2(t) as saídas.
Resp.: (a)
[ ] [ ]0 0001 
0
J
1
0
0
 
00
J
KK
J
K
00
J
K
J
KK
1000
0100
1
2
32
2
2
1
2
1
21 ==










=












+−
+−= DCBA