Fundamentos de Análise Aula 04

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Fundamentos de Análise
Aula 4
CONTEÚDO DA AULA 4
Valor Absoluto
Completeza em R
Propriedades de ordem
Supremo e ínfimo
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO
O módulo ou valor absoluto de um número x pertencente a um corpo K é definido por:
Vamos trabalhar com o corpo dos números reais:
Interpretação Geométrica na reta numérica
Identifica-se o ponto a com o número a.
0bservação: 
|a| representa a distância do ponto a ou do número a até a origem O.
RESULTADO 2
Note que o ponto b dista b−a unidades de a
COMPLETEZA EM R, SUPREMOS E ÍNFIMOS
Propriedade de Completeza;
Supremo e Ínfimo;
Propriedade Arquimediana
Conjunto Denso
COTAS SUPERIORES E INFERIORES
SUPREMO DE UM CONJUNTO
(Axioma da Completude de R) Se X está contido em R, X é não vazio e limitado superiormente, então X possui uma menor cota superior.
Definição:
Suponha que X seja limitado superiormente e seja M a menor cota superior de X. Dizemos nesse caso que M é o supremo de X.
Notação: Sup X = M
EXEMPLOS
1.- X = [0,1)
Cota superior: 1 e Sup X = 1
2. E = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..}
Cota superior: 1 e Sup E = 1
3. A = (0,3]
Cota superior: 3 e Sup A = 3
ÍNFIMO DE UM CONJUNTO
(Axioma da Completude de R) Se X está contido em R, X é não vazio e limitado inferiormente, então X possui uma maior cota inferior.
Definição:
Suponha que X seja limitado inferiormente e seja M a maior cota inferior de X. Dizemos nesse caso que M é o ínfimo de X.
Notação: Inf X = M
EXEMPLOS
X = [0,1)
Cota inferior: 0 e Inf X = 0
2. E = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..}
Cota inferior: 0 e Inf E = 0
3. A = (2,3]
Cota inferior: 2 e Inf A = 2
Unicidade do Supremo
Considere S um subconjunto de R. Só pode haver um único ínfimo para S.
Prova:
Suponhamos u e v ínfimos de s. Logo, ambos são cotas inferiores de S.
Se u é ínfimo e v é cota inferior de S, temos u ≥ v;
Se v é ínfimo e u é cota inferior de S, temos v ≥ u;
Logo, u = v. 
Unicidade do Ínfimo
Considere S um subconjunto de R. Só pode haver um único supremo para S.
Prova:
Suponhamos u e v supremos de s. Logo, ambos são cotas superiores de S.
Se u é supremo e v é cota superior de S, temos u ≤ v;
Se v é supremo e u é cota superior de S, temos v ≤ u;
Logo, u = v. 
PROPRIEDADE ARQUIMEDIANA
CONJUNTO DENSO
EXERCÍCIOS
1. Determine o supremo e o ínfimo do conjunto E.
2. Determine o supremo e o ínfimo do conjunto E.