Problemas Cap 13

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Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer
Capitulo 13 – Amostras e Distribuições Amostrais.
Problemas
Deduza a expressão da fdp do mínimo de uma amostra. (Veja o Teor. 13.2.)
Verifique que se forem variáveis aleatórias independentes, cada uma tendo uma distribuição exponencial com parâmetro , e se , então terá uma distribuição exponencial com parâmetro . (Veja o Teor. 13.3.)
Suponha que tenha uma distribuição geométrica com parâmetro . Seja uma amostra aleatória de e sejam e . Estabeleça a distribuição de probabilidade de e de . [Sugestão: , onde é a fd de.]
Uma amostra de tamanho 5 é obtida de uma variável aleatória com distribuição .
Qual é a probabilidade de que a média amostral exceda 13?
Qual é a probabilidade de que o mínimo da amostra seja menor do que 10?
Qual é a probabilidade de que o máximo da amostra exceda 15?
A duração da vida (em horas) de uma peça é exponencialmente distribuída, com parâmetro . Seis peças são ensaiadas e sua duração até falhar é registrada.
Qual é a probabilidade de que nenhuma peça falhe antes que tenham decorrido 800 horas?
Qual é a probabilidade de que nenhuma peça dure mais de 3.000 horas?
Suponha que tenha distribuição . Uma amostra de tamanho 25 é obtida de , digamos . Qual é a probabilidade de que exceda 1,5?
Empregando uma tábua de números aleatórios, obtenha uma amostra aleatória de tamanho 8 de uma variável aleatória que tenha as seguintes distribuições:
Exponencial, com parâmetro 2.
De qui-quadrado, com 7 graus de liberdade.
.
Na Seç. 13.5, apresentamos um método pelo qual amostras aleatórias de uma distribuição especificada podem ser geradas. Há vários outros métodos pelos quais isto pode ser feito, alguns dos quais são preferidos em relação ao apresentado, particularmente se equipamentos de cálculo estiverem disponíveis. O seguinte é um desses métodos: Suponha que desejemos obter uma amostra aleatória de uma variável aleatória que tenha distribuição de qui-quadrado, com graus de liberdade. Proceda assim: obtenha uma amostra aleatória de tamanho (com o auxílio de uma tábua de números aleatórios) de uma variável aleatória que seja uniformemente distribuída sobre , digamos . A seguir, calcule . A variável aleatória terá, então, a distribuição desejada, como indicaremos abaixo. Prosseguiremos, depois, este esquema, obtendo outra amostra de tamanho de uma variável aleatória uniformemente distribuída, e, desse modo, encontrando o segundo valor amostral . Note-se que este procedimento exige observações de uma variável aleatória uniformemente distribuída, pare cada observação de . Para verificar a afirmação feita acima, proceda como segue:
Obtenha a função geratriz de momentos da variável aleatória , onde é uniformemente distribuída sobre .
Obtenha a função geratriz de momentos da variável aleatória , onde os variáveis aleatórias independentes, cada um com a distribuição acima. Compare esta fgm com a da distribuição de qui-quadrado e, depois, chegue à conclusão desejada.
Empregando o esquema esboçado no Probl. 13.8, obtenha uma amostra aleatória de tamanho 3, da distribuição de .
Uma variável aleatória contínua é uniformemente distribuída sobre·. Uma amostra de tamanho é obtida de e a média amostral é calculada. Qual é o desvio-padrão de ?
Amostras independentes de tamanhos 10 e 15 são tiradas de uma variável aleatória normalmente distribuída, com expectância 20 e variância 3. Qual será a probabilidade de que as médias das duas amostras difiram (em valor absoluto) de mais de 0,3?
(Para este exercício e os três seguintes, leia o Comentário no final do Cap. 13.) Empregue a tábua de desvios normais reduzidos (Tábua 7, no Apêndice) e obtenha uma amostra de tamanho 30, de uma variável aleatória que tenha a distribuição . Use esta amostra para responder o seguinte:
Compare com a frequência relativa do evento.
Compare a média amostral e a variância amostral com 1 e 4, respectivamente.
Construa o gráfico de . Empregando o mesmo sistema de coordenadas, obtenha o gráfico da função de distribuição empírica definida assim:
Na qual é a i-ésima maior observação na amostra (isto é, é a i-ésima estatística ordinal). [A função é frequentemente empregada para aproximar a fd . Pode-se demostrar que, sob condições bastante gerais, 
Admitamos que tenha distribuição . Da Tábua 7 no Apêndice, obtenha uma amostra de tamanho 20 desta distribuição.
Faça .
Empregue esta amostra para comparar com a frequência relativa daquele evento.
Compare com a média amostral .
Compare a fd de , a saber, , com , a fd empírica de .
	
	
	
	
	<0
	0
	-
	0
	0
	0
	1
	0,05
	0,09
	0,0717
	2
	0,1
	0,11
	0,0876
	3
	0,15
	0,18
	0,1428
	4
	0,2
	0,28
	0,2205
	5
	0,25
	0,3
	0,2358
	6
	0,3
	0,31
	0,2434
	7
	0,35
	0,33
	0,2586
	8
	0,4
	0,35
	0,2737
	9
	0,45
	0,35
	0,2737
	10
	0,5
	0,36
	0,2812
	11
	0,55
	0,51
	0,3899
	12
	0,6
	0,9
	0,6319
	13
	0,65
	0,99
	0,6778
	14
	0,7
	1,07
	0,7154
	15
	0,75
	1,43
	0,8473
	16
	0,8
	1,45
	0,8529
	17
	0,85
	1,79
	0,9265
	18
	0,9
	1,91
	0,9439
	19
	0,95
	2,62
	0,9912
	20
	1
	>2,62
	1
	-
	1
Suponha que tenha distribuição . Admita que seja uma amostra aleatória de obtida com o auxílio da Tábua 7. Calcule
E compare com .
Admita que tenha distribuição . Seja uma amostra aleatória de obtida empregando-se a Tábua 7. Calcule e compare esse valor com a frequência relativa daquele evento.