Apostila (parte 2)

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Cálculo Numérico 
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Cálculo Numérico 
 
Autor do Texto Original: Prof. Cecil Granado 
Pequenas alterações de formato e contribuições menores (04/03/2010): Prof. Braga 
 
Método das Cordas 
 
 O método das cordas (partes proporcionais, secantes ou falsa posição) 
consiste em tomar como a aproximação seguinte, o ponto de interseção do eixo x com a reta r 
que passa pelos pontos conhecidos (a, f(a)) e (b, f(b)). 
 
Graficamente: y f(x) 
 f(a) 
 
 r1 r2 
 
 a = x0 x1 x2 b x 
 
 
 f(b) 
Equação de r1 : 
ab
afbf
ax
afy
−
−
=
−
− )()()(
 o ponto x1 (primeira aproximação) tem coordenadas: (x1, 0) 
 
ab
afbf
ax
af
−
−
=
−
− )()()(0
1
 isolando x1 , temos: ).()()(
)(
1 ab
afbf
af
ax −
−
−= 
 
Como a, neste caso, é a nossa aproximação inicial (a = x0 ), temos: 
).()()(
)(
0
0
01 xb
xfbf
xf
xx o −
−
−= 
na forma recursiva fica: 
).()()(
)(
1 n
n
n
nn xb
xfbf
xf
xx −
−
−=+ 
 
Comentário: É necessário que f(x) seja uma função contínua e que sua segunda 
derivada não mude de sinal no intervalo [a, b] que contém uma única raiz. 
 
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O valor inicial (a ou b) pode ser escolhido de acordo com os quatro casos possíveis: 
 
 
 
 
Nos casos 1) e 2), temos que a é o ponto inicial xo e b o ponto fixo 
0)()( <⋅′′ afxf => a é o ponto inicial xo. ou ainda: 0)()( >⋅′′ bfxf => b é o ponto fixo e 
Nos casos 3) e 4), temos que b é o ponto inicial xo e a o ponto fixo. 
0)()( <⋅′′ bfxf => b é o ponto inicial xo. ou ainda: 0)()( >⋅′′ afxf => a é o ponto fixo e 
Resumo: 
1) Determina-se o intervalo [a , b] que contém a raiz. 
2) Verifica-se a continuidade da função f(x) no intervalo [a , b]. 
3) Determina-se a concavidade da função f(x) no intervalo. Sua concavidade não poderá 
mudar neste intervalo. 
4) Determina-se qual dos extremos do intervalo será a aproximação inicial xo, ou o ponto 
fixo. 
5) Usa-se a fórmula recursiva: ).()()(
)(
1 n
n
n
nn xc
xfcf
xf
xx −
−
−=+ , 
onde o valor c é um dos extremos do intervalo e xn é o outro para n=0. 
 
Exemplo: 
Determine uma aproximação da raiz quadrada de 5, usando a seguinte função: 
05)( 2 =−= xxf , parando quando determinar um valor x tal que: 310)( −<xf . 
 
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Método de Newton 
 
 O método de Newton (Newton-Raphson ou das Tangentes) consiste em tomar 
como a aproximação seguinte, o ponto de interseção do eixo x com a reta t, tangente ao 
gráfico de f(x) no ponto (a, f(a)) ou (b, f(b)). 
Graficamente 
 
Sabemos que: 
1
)()('
1 xb
bfbfmt
−
== , 
de modo que: )('
)(
1 bf
bf
xb =− e )('
)(
1 bf
bfbx −= , 
Como b= x0, temos: )('
)(
0
0
01
xf
xf
xx −= 
Que na forma recursiva fica: )('
)(
1
n
n
nn
xf
xf
xx −=+ 
Para garantir a convergência da seqüência de valores xn’s devemos ter f’(x) e f”(x) funções 
contínuas e devem conservar seus sinais intervalo [a, b]. 
O valor inicial x0 (a ou b) pode ser escolhido de acordo com os quatro casos possíveis: 
 
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Nos casos 1) e 2), temos que b é o ponto inicial x0 
e nos casos 3) e 4), temos que a é o ponto inicial x0 
Casos 1) e 2): 0)(")(' >⋅ xfxf => b é o ponto inicial xo. 
Casos 3) e 4): 0)(")(' <⋅ xfxf => a é o ponto inicial xo. 
 
Resumo: 
1) Determina-se o intervalo [a , b] que contém a raiz. 
2) Verifica-se a continuidade da função f(x) no intervalo [a , b]. 
3) Determina-se o sinal de f’(x) que não poderá mudar neste intervalo. 
4) Determina-se o sinal de f”(x) que não poderá mudar neste intervalo. 
5) Determina-se qual dos extremos do intervalo será a aproximação inicial xo, 
 0)(")(' <⋅ xfxf => a é o ponto inicial xo. 
 0)(")(' >⋅ xfxf => b é o ponto inicial xo. 
6) Usa-se a fórmula recursiva: )('
)(
1
n
n
nn
xf
xf
xx −=+ , 
Exemplo: 
Determine uma aproximação da raiz quadrada de 5, usando a seguinte função: 
05)( 2 =−= xxf , 
Parando quando determinar um valor x tal que: 310)( −<xf . 
 
O método de Newton Modificado: Nesta variante usamos, no denominador da fórmula, 
sempre a mesma derivada do ponto x0. A convergência é mais lenta, mas poupa o trabalho de 
calcular a derivada da função para cada iteração. 
A fórmula é: )('
)(
0
1
xf
xf
xx nnn −=+ Faça uma interpretação geométrica dessa variante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Determinação de raiz real de uma função ou Zeros reais de funções 
Exercícios 
 
1) Para as funções abaixo, monte uma tabela comparativa do número de iterações, a 
aproximação obtida e o erro cometido usando |f(x)| < E = 0,0001, para os métodos da 
Bisseção, Cordas e Newton. 
a) f(x )= x3 + 3x2 + 1 = 0 b) f(x )= e-x – 3x = 0 
c) f(x )= (5-x)ex-5 = 0, (x>0) d) f(x )= x – cos(x) = 0 
e) f(x )= 1 – x – sen(x) = 0 (x>0) f) f(x )= x – tg(x) = 0 (1ª raiz 
positiva) 
Tabela: 
Iteração Bisseção Cordas Newton 
i xi Erro xi Erro xi Erro 
0 
1 
2 
... 
 
2) Determine o valor k para o qual temos: ∫ =++
k
dxxx
0
2 3)163( , use Newton com E< 10-3. 
3) Determine o valor k para o qual temos: ∫ =
k
dxx
0
7,0)cos( , use Newton com E< 10-3. 
4) Determine o valor k para o qual temos: ∫ =−
k
x dxe
0
0)2( , use Newton com E< 10-3. 
5) Para calcular a raiz quadrada de um número N positivo usando o método de Newton, basta 
determinar a raiz da função f(x) = x2 – N. Faça como Newton (1674) e descubra a fórmula de 
iteração que resulta na raiz quadrada do número N. 
Fórmula: 





+=+
n
nn
x
N
xx
2
1
1 
Calcule, por exemplo, a raiz quadrada de N= 2, usando diferentes valores iniciais (xn). 
 
6) Para que a área sombreada da figura abaixo seja a metade da área do círculo de raio r, basta 
determinar o valor do arco x na equação: 0
2
)2()2cos(.2 =+− pixsenxx . Determine o valor de 
R, em função de r para que as áreas, sombreada e não sombreada, sejam iguais. 
Lei dos senos: 
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
ˆˆˆ
==