MODELAGEM MATEMÁTICA

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Disc.: MODELAGEM MATEMÁTICA 
	2022.1 - F (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	02279ARITMÉTICA COMPUTACIONAL EM PYTHON
	 
		
	
		1.
		Sabendo-se que a=3, b=5 e c='3', assinale a alternativa que possui uma expressão em cujo resultado o compilador Python será True.
	
	
	
	a != c
	
	
	a=c
	
	
	a>b
	
	
	a=b
	
	
	b>c
	Data Resp.: 05/05/2022 20:21:28
		Explicação:
Gabarito: a != c
Justificativa: As variáveis a e b são números inteiros e c é uma string, pois encontra-se entre aspas simples, logo, embora a representação numérica seja a mesma, a e c são de tipos diferentes.
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a raiz da função: f(x)=x4−2,4x3+1,03x2+0,6x−0,32f(x)=x4−2,4x3+1,03x2+0,6x−0,32
Calcule, a partir de um método que não recorre ao cálculo de derivadas, utilizando um intervalo inicial [0,3;0,6] e com 9 iterações.
	
	
	
	0,48000
	
	
	0,50000
	
	
	0,60000
	
	
	0,45000
	
	
	0,31000
	Data Resp.: 05/05/2022 20:21:31
		Explicação:
Gabarito: 0,50000
Justificativa: Aplicando o método da secante:
def f(x):
return x**4 -2.4*x**3 + 1.03*x**2 +0.6*x -0.32
def secante(a, b, iteracoes):
x_0 = a
x_1 = b
for i in range(iteracoes):
chute = x_0 - f(x_0) * (x_1 - x_0) / (f(x_1) - f(x_0))
x_0 = x_1
x_1 = chute
erro_rel = (x_1 - x_0)/ x_1 * 100
return x_1, '{:.2f}%'.format(erro_rel)
print(secante(0.3, 0.6, 8))
0.5000
	
	
	02797SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E AJUSTE DE CURVAS EM PYTHON
	 
		
	
		3.
		Nos polinômios nodais πi(x)= π (x-xj), utilizados no método de Newton, se for usados 2 pontos, qual o tipo de função que obteremos?
	
	
	
	Quadrática.
	
	
	Biquadrática.
	
	
	Constante.
	
	
	Linear.
	
	
	Cúbica.
	Data Resp.: 05/05/2022 20:21:40
		Explicação:
Pela definição de polinômios nodais temos:πi (x) = π (x-xj) se utilizar 2 pontos teremos π2 (x) =(x-x0)(x-x1)=x2+(x0+x1)x+x0x1, que é uma função quadrática.
	
	
	 
		
	
		4.
		Foram dados um conjunto de coordenadas abaixo com finalidade de encontrar um polinômio interpolador, então foram utilizados três Métodos: Combinação linear de monômios, Lagrange e Newton, obtendo respectivamente os polinômios p(x), l(x) e n(x), quando calcula-se p(1.5) , l(1.5) e n(1.5), pode-se afirmar que:
	
	
	
	p(1.5) = l(1.5) = n(1.5)
	
	
	p(1.5) > l(1.5) > n(1.5)
	
	
	p(1.5) < l(1.5) = n(1.5)
	
	
	p(1.5) < l(1.5) < n(1.5)
	
	
	p(1.5) = l(1.5) < n(1.5)
	Data Resp.: 05/05/2022 20:21:46
		Explicação:
Pela definição de interpolação e como vimos nos exemplos do módulo 3, todos os métodos apresentam o mesmo resultado quando se utiliza o mesmo conjunto de dados.
	
	
	02521INTEGRAÇÃO NUMÉRICA EM PYTHON
	 
		
	
		5.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de sen2(x) no intervalo de 0 a 1. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2:
	
	
	
	0,21268
	
	
	0,23268
	
	
	0,25268
	
	
	0,27268
	
	
	0,29268
	Data Resp.: 05/05/2022 20:21:52
		Explicação:
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A função a ser integrada;
- A técnica de integração a ser utilizada;
- O valor inicial do intervalo de integração;
- O valor final do intervalo de integração; e
- A quantidade de partições (n)
Neste exemplo, temos que:
- A função a ser integrada é f(x) = sen2(x);
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg;
- O valor inicial do intervalo de integração é 0;
- O valor final do intervalo de integração é 1; e
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2.
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python indicado a seguir:
 
import scipy as sp
from scipy import integrate
func = lambda x: sp.sin(x)**2
result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True)
	
	
	 
		
	
		6.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de cos(-x) no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo de integração em 10 partes. Utilize o método dos Retângulos:
	
	
	
	0,542
	
	
	0,642
	
	
	0,842
	
	
	0,742
	
	
	0,942
	Data Resp.: 05/05/2022 20:21:58
		Explicação:
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A função a ser integrada;
- O valor inicial do intervalo de integração;
- O valor final do intervalo de integração; e
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo).
Neste exemplo, temos que:
- A função a ser integrada é f(x) = cos(-x);
- O valor inicial do intervalo de integração é 0;
- O valor final do intervalo de integração é 1; e
- O intervalo de integração é dividido em 10 partes, de modo que o tamanho de cada intervalo é 0,1.
Assim, aplicando os conceitos do método dos Retângulos, temos o seguinte código em Python:
 
import numpy as np
import math
f = lambda x: np.cos(-x)
a = 0; b = 1; N = 10
x = np.linspace(a,b,N+1)
y = f(x)
dx = (b-a)/N
x_medio = np.linspace(dx/2,b - dx/2,N)
soma_retangulo = np.sum(f(x_medio) * dx)
print("Integral:",soma_retangulo)
 
O resultado obtido corresponde à alternativa indicada como correta na questão.
 
	
	
	02425EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1A ORDEM EM PYTHON
	 
		
	
		7.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de Euler:
	
	
	
	15,548
	
	
	15,348
	
	
	15,748
	
	
	15,648
	
	
	15,448
	Data Resp.: 05/05/2022 20:22:01
		Explicação:
Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; O ponto inicial; O ponto final; A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; O ponto inicial é 0; O ponto final é 0,4; O tamanho de cada intervalo é 0,1; e O valor da função no ponto inicial é 3.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
	
	
	 
		
	
		8.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y'= sen2(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta:
	
	
	
	0,577
	
	
	0,777
	
	
	0,677
	
	
	0,877
	
	
	0,477
	Data Resp.: 05/05/2022 20:22:10
		Explicação:
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = sen2(y);
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 3;
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e
- O valor da função no ponto inicial é 0,2.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
Executando o código indicado, você obterá a resposta  0.477.
	
	
	 
		
	
		9.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = sen(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta:
	
	
	
	2,42
	
	
	2,22
	
	
	2,52
	
	
	2,32
	
	
	2,62
	Data Resp.: 05/05/2022 20:22:14
		Explicação:Aa resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = sen(y);
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 3;
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e
- O valor da função no ponto inicial é 0,2.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.22.
	
	
	 
		
	
		10.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta:
	
	
	
	2,703
	
	
	2,503
	
	
	2,603
	
	
	2,303
	
	
	2,403
	Data Resp.: 05/05/2022 20:22:30
		Explicação:
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = cos(y) + sen(y);
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 3;
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e
- O valor da função no ponto inicial é 0,2.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.30.