Lista+2+-+Vetores

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GEOMETRIA ANALI´TICA
Prof. Raquel Vieira Lopes
Lista 2 - Vetores
Nome: ra: Curso:
1. Determine o vetor ~v = (vx, vy) que translada o ponto A para o ponto B nos itens abaixo:
(a) A = (1, 3) e B = (4, 4);
(b) A = (−1,−1) e B = (−3, 4)
(c) A = (4,−1) e B = (1, 2);
(d) A = (−2, 2) e B = (3, 0);
2. Responda o que se pede:
(a) Determine o ponto B tal que o vetor ~v = (vx, vy) = (1, 2) desloca o ponto A =
(2, 1) para o ponto B;
(b) Determine o ponto B tal que o vetor ~v = (vx, vy) = (5, 2) desloca o ponto A =
(−2, 1) para o ponto B;
3. Resolva as seguintes equac¸o˜es para α e b:
(a) (2,−3) = α(−2,−1) + (5, b)
(b) (5, α) = (α, 4) + (b,−10)
(c) (2, 3
1
3 ) = α( 3
√
2, 0) + (0,
4
√
33b)
4. Para os vetores ~u, ~v e ~w desenhados geometricamente abaixo, encontre geometricamente
o que se pede:
(a) ~u+ ~u
(b) (~u+ ~u) + ~w
(c) ~u+ (~v + ~w)
(d) ~u+ ~u+ ~u
5. Mostre geometricamente que se ~u, ~v e ~w sa˜o vetores no plano. Enta˜o eles verificam a
seguinte propriedade:
~u+ (~v + ~w) = (~u+ ~v) + ~w
6. Fac¸a o que se pede:
(a) Desenhe os vetores ~a = (3, 2),~b = (2,−1) e ~c = (7, 1).
(b) Mostre por um esboc¸o que existem escalares s e t tais que
~c = s · ~a+ t ·~b
(c) Fac¸a um esboc¸o para estimar os valores de s e de t.
(d) Determine os valores exatos de s e de t.
7. Expresse o vetor como uma combinc¸a˜o linear de~i e ~j.
8. Considere a figura abaixo.
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Expresse cada um dos vetores em termos de ~a =
−→
OA e~b =
−−→
OB
(a)
−→
AB
(b)
−−→
BC
(c)
−−→
AD
(d)
−→
CF
(e)
−→
AC
(f)
−−→
BC +
−−→
DE +
−→
FA;
9. Considere os vetores indicados na figura abaixo.
Pede-se:
(a) Determine α e β tais que ~v − ~w = α~a+ β~b.
(b) Representar na figura o vetor ~u− 2~v − ~w.
10. Ache as componentes dos vetores ~u, ~v, ~u+ ~v e ~u− ~v.
11. Sejam ~u = 2~i + ~j, ~v = −3~i − 10~j e ~w = ~i − 5~j. Realize as operac¸o˜es vetoriais
indicadas e apresente a resposta como combinac¸a˜o linear de~i e ~j e em termos da forma
de componentes.
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(a) 4~u− 5~w
(b) ~v + 3~w
(c) ~u− (~v + ~w)
12. Um barco esta´ tentando atravessar um rio mas esta´ sendo arrastado pela correnteza. Sem
a correnteza, a velocidade do barco seria de 5mph, atravessando diretamente o rio; com
o motor desligado, o barco seria empurrado pelo rio com uma velocidade de 3mph rio
abaixo. Encontre a velocidade do barco com o motor ligado atravessando o rio de fato.
(Assuma que as velocidades podem ser representadas geometricamente como vetores no
plano).
13. Sejam ~u = (4α, b), ~v =
(
1,
1
2
)
e ~w = (4, α) vetores tais que ~u//~v, ~v//~w. Suponha
tambe´m que α, b ∈ R. Determine o vetor ~u.
14. Um vetor que tem comprimento 10 faz um aˆngulo de
pi
6
com o eixo x. Encontre suas
componentes.
15. O capita˜o de um barco deseja viajar na direc¸a˜o sul a 40 milhas na´uticas por hora. Se a cor-
renteza marı´tima se move preponderantemente na direc¸a˜o nordeste a 16 milhas na´uticas
por hora, em que direc¸a˜o e com que intensidade o barco ligado deveria se mover ?
16. Uma mulher anda em direc¸a˜o ao oeste no tombadilho de um navio a 3mph. O navio esta´
se movendo em direc¸a˜o ao norte com rapidez de 22mph. Determine a velocidade e a
direc¸a˜o da mulher em relac¸a˜o a` superfı´cie da a´gua.
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