LISTA Série de Potências e Sistemas de EDOs

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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Humanidade e Sau´de
Departamento de Cieˆncias da Natureza
Lista de Exercı´cio de Equac¸o˜es Diferenciais
1 Soluc¸a˜o por Se´ries de Poteˆncias
Resolva cada equac¸a˜o diferencial dada em se´rie de poteˆncias em torno de x0 = 0.
1.1. y′′+ xy′+2y = 0.
Resp.
1.2. (1+ x2)y′′−4xy′+6y = 0.
Resp.
1.3. (4− x2)y′′+2y = 0.
Resp.
1.4. (3− x2)y′′−3xy′− y = 0.
Resp.
1.5. (1− x)y′′+ xy′− y = 0.
Resp.
2 Sistemas de EDOs para o dia dos namorados
Determine as soluc¸o˜es gerais dos sistemas da forma X ′ = AX em cada um dos seguintes casos:
2.1. A =
 2 1 30 2 −1
0 0 2
 cujo polinoˆmio caracterı´stico associado e´ p(λ ) = (λ −2)3 e sabendo-se que
 0 1 3 1 0 00 0 −1 0 1 0
0 0 0 0 0 1
∼
 0 1 0 1 3 00 0 1 0 −1 0
0 0 0 0 0 1
 ,
Resp.
2.2. A=
 1 0 03 1 −2
2 2 1
 cujo polinoˆmio caracterı´stico associado e´ p(λ )= (λ−1)(λ 2−2λ+5) e sabendo-
se que 0 0 0 1 0 03 0 −2 0 1 0
2 2 0 0 0 1
∼
 1 0 −23 0 13 00 1 23 0 −13 12
0 0 0 1 0 0
 e
 2i 0 03 2i −2
2 2 2i
∼
 1 0 00 1 i
0 0 0

Resp.
1
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2.3. A=
 37 10 20−59 −9 −24
−33 −12 −21
 cujo polinoˆmio caracterı´stico associado e´ p(λ )= (λ−3)(λ 2−4λ +29).
Sabendo-se que  34 10 20 1 0 0−59 −12 −24 0 1 0
−33 −12 −24 0 0 1
∼
 1 0 0 0 − 126 1260 1 2 0 11104 − 59312
0 0 0 1 14
7
12

e  35+5i 10 20−59 −11+5i −24
−33 −12 −23+5i
∼
 1 0 13 + i30 1 1− 4i3
0 0 0

Resp.
2.4. A =
 2 1 1−2 −1 −2
1 1 2
 cujo polinoˆmio caracterı´stico associado e´ p(λ ) = (λ −1)3. Sabendo-se que
 1 1 1 1 0 0−2 −2 −2 0 1 0
1 1 1 0 0 1
∼
 1 1 1 0 0 10 0 0 1 0 −1
0 0 0 0 1 2

Resp.
2.5. A =
 −2 1 11 −1 −1
−1 1 0
 cujo polinoˆmio caracterı´stico associado e´ p(λ ) = (λ +1)3. Sabendo-se que
 −1 1 1 1 0 01 0 −1 0 1 0
−1 1 1 0 0 1
∼
 1 0 −1 0 1 00 1 0 0 1 1
0 0 0 1 0 −1

Resp.
2
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Respostas
1.1. R =+∞,
{
a2 =−a0
an+2 =− 1n+1an, n≥ 1.
1.2. R = 1,

a2 =−3a0
a3 =−13a1
an+2 =− (n−3)(n−2)(n+2)(n+1)an, n≥ 2.
1.3. R = 2,

a2 =−14a0
a3 =− 14·3a1
an+2 = n
2−n−2
4(n+2)(n+1)an =
n−2
4(n+2)an, n≥ 1.
1.4. R =
√
3,

a2 = 13·2a0
a3 = 232 a1
an+2 = n+13(n+2)an, n≥ 1.
1.5. R = 1,

a2 = 12a0
a3 = 232 a1
an+2 = nn+2an+1− n−1(n+2)(n+1)an, n≥ 1.
2.1. X(t) = c1e2t
 10
0
+ c2e2t
 01
0
+ t
 10
0
+ c3e2t
 03
−1
+ t
 01
0
+ t22!
 10
0

2.2. X(t)= c1et
 2−2
3
+c2et
cos2t
 00
1
− sen2t
 01
0
+c3et
sen2t
 00
1
+ cos2t
 01
0

2.3.
X(t) = c1e3t
 0−2
1
+ c2e2t
cos5t
 −1−3
3
− sen5t
 1−4
0

+ c3e2t
sen5t
 −1−3
3
+ cos5t
 1−4
0

3
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2.4. X(t) = c1et
 −11
0
+ c2et
 1−2
1
+ c3et
 1−2
1
+ t
 10
0

2.5. X(t) = c1e−t
 10
1
+ c2e−t
 01
0
+ t
 10
0
+ c3e−t
 11
0
+ t
 01
0
+ t22!
 10
0

4
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Sugesto˜es
5
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