UNIDADE I BASES DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Prévia do material em texto

Resistência dos 
Materiais
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr.Antônio Carlos F. Bragança Pinheiro
Revisão Textual:
Profa. Ms. Luciene Oliveira da Costa Santos
Bases da Resistência dos Materiais
5
•	 Introdução
•	 Objetivos	da	Resistência	dos	Materiais
•	 Elementos	Componentes	das	Estruturas
•	 Unidades,	Múltiplos	e	Submúltiplos	Decimais	Utilizados	em	
Resistência	dos	Materiais
•	 Cargas	e	Carregamentos	Utilizados	em	Estruturas
•	 Vínculos	Estruturais
•	 Classificação	das	Estruturas	quanto	ao	Equilíbrio	Estático
•	 Cálculo	de	Reações	de	Apoio
 · Conceituar e apresentar o campo de trabalho da Resistência dos Materiais; 
definir estrutura e seus elementos componentes; apresentar e caracterizar os 
múltiplos e submúltiplos decimais e as unidades utilizadas; apresentar as cargas 
atuantes em estruturas; conceituar os vínculos estruturais; classificar as estruturas 
quanto ao equilíbrio de corpo; determinar as reações de apoio.
Iniciaremos nossos estudos conceituando e apresentando o campo de trabalho da Resistência dos 
Materiais. A partir disso, veremos a definição de estrutura e seus elementos componentes. 
Em seguida, aprenderemos os múltiplos e submúltiplos decimais e as unidades utilizadas em Resistência 
dos Materiais. Serão apresentadas as cargas atuantes em estruturas.
Aprenderemos, também, o conceito de vínculo e os tipos de apoios existentes em estruturas. Serão, 
ainda, classificadas as estruturas quanto ao equilíbrio de corpo.
Será explicada a metodologia de cálculo das reações de apoio para o equilíbrio de corpo.
É interessante que você reveja alguns conceitos de matemática e de física para facilitar seu entendimento 
sobre esses conceitos.
Para ajudá-lo(a), realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos.
Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento(a) às atividades avaliativas propostas e ao prazo de 
realização e envio. 
Bom estudo!
Bases da Resistência dos Materiais
6
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Contextualização
É importante compreender as principais variáveis que interferem na resistência e rigidez dos 
elementos estruturais. Saber avaliar antecipadamente as tensões e deformações as quais estarão 
sujeitos os componentes estruturais é fundamental, para uma previsão do comportamento das 
estruturas sob a ação de diversos carregamentos. Isso significa determinar as dimensões dos 
elementos estruturais para que as estruturas sejam estáveis.
A escolha dos materiais e das formas dos elementos estruturais leva em conta fatores 
econômicos, funcionais e estéticos. Para cada tipo de solicitação, existem vários materiais que 
podem ser empregados, sob o ponto de vista funcional. Contudo, aliar os aspectos econômicos 
e estéticos ainda é uma tarefa árdua para o cálculo estrutural.
Aspectos do dia a dia de nossa vida pessoal ocorrem também nas atividades profissionais. 
Exemplo disso é o nosso trabalho diário. Nele, realizamos a escolha de elementos simples, 
como no caso de escolha de uma ferramenta, como uma chave de fenda para soltar ou apertar 
um parafuso com fenda em sua cabeça. É possível perceber que, para parafusos maiores, 
torna-se necessário utilizar uma chave de fenda maior, caso contrário, haverá um desgaste das 
bordas da extremidade da chave de fenda. Isso ocorre também nas peças estruturais. Em nossa 
vida pessoal e nas grandes estruturas, é necessário prever as cargas atuantes nas peças, com o 
objetivo de atender as tensões e deformações para as quais estarão sujeitas. Assim, é realizado 
o cálculo estrutural para garantir os níveis de segurança necessários para manter a estrutura 
estável dentro de padrões da qualidade aceitáveis.
Exemplificando com fatos do cotidiano, como podemos avaliar as cargas que estarão 
sendo aplicadas em uma cadeira quando sentamos? Qual o peso de uma pessoa? Tendo 
essas informações, é possível determinar a carga atuante em cada pé da cadeira. Podem 
surgir questões pontuais, como variações no formado dos pés, como no caso das poltronas 
giratórias. Todas essas preocupações são similares quando se compara com as necessidades 
de uma grande estrutura, como em um prédio.
O cálculo da estabilidade de um prédio pode passar por situações mais complexas como, 
por exemplo, a variação dos esforços em função da ação de cargas como as que ocorrem 
devido à ação do vento. Mas, similarmente ao nosso cotidiano com uma cadeira, o cálculo 
estrutural precisa estimar as eventualidades inerentes à utilização de cada estrutura.
Para cada tipo de estrutura, existem questões estabelecidas e eventualidades que devem ser 
administradas na condução do cálculo estrutural.
Nos métodos de cálculo, além da utilização das normas técnicas, a experiência acumulada das 
pessoas é ponto fundamental para a determinação das dimensões das peças e da composição 
e distribuição estrutural. Nos métodos de cálculo, são realizados tratamentos matemáticos, 
com o objetivo de prever as solicitações futuras. 
Assim, com esse exemplo simples de nosso cotidiano, como a escolha de uma chave de 
fenda, no cálculo estrutural, podem ocorrer situações muito mais complexas em seu dia a dia. 
Cabe ao engenheiro identificar as características das cargas atuantes, projetar e construir 
sistemas estruturais capazes de atender as solicitações estruturais, para que possa atender aos 
níveis de segurança previstos.
7
Introdução
Todos os corpos sólidos possuem propriedades mecânicas de resistência e de rigidez. 
Eles podem, dentro de seus limites, reagir à ação de forças externas sem que ocorra sua 
ruptura, ou mesmo sofrer grandes variações em suas dimensões geométricas. 
As estruturas em geral têm finalidades estéticas e funcionais. A finalidade estética tem 
como objetivo atender aos critérios de beleza e de sensibilidade aos sentidos. A finalidade 
funcional é a de atender às necessidades de utilização estrutural. 
Uma estrutura deve ser calculada para suportar a ação de cargas externas (resistência 
adequada), permanecendo estável aos carregamentos (estabilidade sistêmica) e com suas 
deformações dentro de valores aceitáveis (rigidez compatível), que não comprometam sua 
finalidade funcional e estética.
A escolha dos materiais e de suas formas é muito importante para o dimensionamento 
estrutural. A engenharia de materiais tem oferecido vários materiais com características 
diferenciadas dos materiais comuns, até então utilizados na engenharia. Esses materiais 
quando compostos, denominados compósitos, têm características únicas e podem 
possibilitar a concepção de estruturas mais leves e esbeltas.
Assim, o cálculo estrutural está diretamente relacionado com a oferta comercial de 
materiais com características mecânicas específicas para cada tipo de problema, que 
possam atender às diversas solicitações existentes nas estruturas.
Objetivos da Resistência dos Materiais
Os objetivos da Resistência dos Materiais são estudar a resistência e a rigidez dos elementos 
estruturais, com a finalidade de fornecer as bases para o dimensionamento estrutural.
A Resistência dos Materiais estuda os corpos deformáveis e as condições de equilíbrio estático.
Elementos Componentes das Estruturas
Estrutura é o conjunto de elementos, unidos entre si e ao meio exterior, de modo a
formar um conjunto estável, para determinadas solicitações externas. Ela deve absorver
internamente as solicitações externas e transmiti-las aos apoios externos, onde as cargas
externas recebidas serão equilibradas.
Os elementos que podem constituir uma estrutura são:
Barras Placas Blocos
8
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Barras
São os elementos estruturais que têm duas dimensões (a, b), que compõem a seção 
transversal. Essasduas dimensões são muito menores que a terceira dimensão (c), 
que é o seu comprimento
Figura 1 – Exemplo de uma barra
Para efeito de cálculo estrutural, as barras serão representadas por seus eixos longitudinais.
Eixo	Longituginal É definido como o lugar geométrico dos centros de gravidade das seções transversais (Figura 2).
Figura 2 – Representação de uma barra através de seu eixo longitudinal.
Placas
São os elementos estruturais que têm duas dimensões (a, b), que são o comprimento 
e a largura, muito maiores que a terceira dimensão (c), que é a sua espessura (Figura 
3). Assim, nas placas, as dimensões têm a relação: a, b >> c.
Figura 3 – Exemplo de uma placa
9
Blocos
São os elementos estruturais que têm as três dimensões (a, b, c), que são o 
comprimento, a largura e a espessura, todas com a mesma ordem de grandeza 
(Figura 4). Assim, nos blocos as dimensões têm a relação: a ≈ b ≈ c.
Figura 4 – Exemplo de um bloco
Unidades, Múltiplos e Submúltiplos Decimais Utilizados em 
 Resistência dos Materiais
Em Resistência dos Materiais, as unidades utilizadas do Sistema Internacional são 
apresentadas na tabela 1 Os submúltiplos e múltiplos decimais são apresentados nas tabelas 2 
e 3 respectivamente.
Tabela 1 - Principais Unidades do Sistema Internacional utilizadas em Resistência dos Materiais
Grandeza	Física Nome	da	Unidade Símbolo	da	Unidade
Ângulo Radiano rad
Área Metro quadrado m²
Comprimento Metro m
Força Newton N
Momento Newton x metro Nm
Peso específico Newton por metro cúbico N/m3
Tensão Pascal Pa
Tempo Segundo s
Volume Metro cúbico m3
Tabela 2 - Submúltiplos decimais
Submúltimo	decimal Nome Símbolo
10-1 deci d
10-2 centi c
10-3 mili m
10-6 micro μ
10-9 nano n
10-12 pico p
10
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Tabela 3 - Múltiplos decimais
Múltimo	decimal Nome Símbolo
1012 tera T
109 giga G
106 mega M
103 quilo k
102 hecto h
101 deca da
Cargas e carregamentos utilizados em estruturas
Carga	ou	Força São ações que agem diretamente sobre os elementos componentes de uma estrutura.
Carregamento É o conjunto de cargas que atuam ao mesmo tempo em uma estrutura.
Exemplos de carregamentos:
1) Carregamento A: peso próprio
2) Carregamento B: peso próprio + impacto de veículo
3) Carregamento C: peso próprio + vento
4) Carregamento D: peso próprio + impacto de veículo + vento
As cargas em geral podem ser uniformemente distribuídas, uniformemente variáveis e 
concentradas.
Cargas
Uniformente
Distribuídas
São as cargas que atuam constantemente ao longo do comprimento da barra em 
que são aplicadas. Elas são representadas por uma figura retangular (Figura 5). 
Essas cargas geralmente são a representação de cargas como o peso próprio dos 
elementos estruturais.
Figura 5 – Representação de carga uniformemente distribuída
11
Cargas
Uniformente
Variáveis
São as cargas que têm a sua intensidade variando de forma linear ao longo do 
comprimento das barras em que são aplicadas. Elas são representadas por uma 
figura triangular ou por uma figura trapezoidal (Figura 6). Essas cargas, quando 
são representadas na forma triangular, geralmente são a representação de cargas 
como o empuxo de líquidos sobre as paredes de reservatórios. Quando estão 
representadas na forma trapezoidal, são, geralmente, a representação de cargas 
como o empuxo de solos sobre as paredes de contenção, ou sobre os muros de 
arrimo, quando há cargas no nível mais elevado do solo a ser contido.
Figura 6 – Representação de carga uniformemente variável: (a) triangular e (b) trapezoidal
Cargas
Concentradas
São cargas que são representadas por um vetor, ou por um momento (Figura 7). 
Elas são simplificações do carregamento real, cujo objetivo é facilitar o cálculo 
estrutural. Essas cargas geralmente representam a simplificação das reações de 
outros elementos estruturais.
Figura 7 - Representação de carga concentrada: (a) carga concentrada força e (b) carga concentrada momento
12
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Para efeito do cálculo de equilíbrio estático, a carga distribuída é dinamicamente equivalente 
a uma carga concentrada representada pela área da figura original aplicada em seu centro 
de gravidade (Figuras 8, 9 e 10). Na figura 10, a carga trapezoidal, utilizando o método 
da superposição de esforços, foi decomposta na adição de uma carga retangular com uma 
carga triangular.
Figura 8 - Carga concentrada dinamicamente equivalente à carga retangular
Figura 9 - Carga concentrada dinamicamente equivalente à carga triangular
Figura 10 - Cargas concentradas dinamicamente equivalente à carga trapezoidal
13
Vínculos Estruturais
Vínculos
São dispositivos que unem os elementos estruturais. Essas uniões restringem 
movimentos, conduzindo a reações vinculares. Os vínculos também são chamados 
de Apoios.
No plano, há três tipos de apoio:
Apoio	Articulável	Móvel Apoio	Articulado	Fixo Engaste
Apoio	Articulável	Móvel	
ou	Apoio	Simples
São os vínculos que oferecem reação ao deslocamento linear perpendicular ao 
plano de apoio. Ele é representado por um triângulo com uma articulação na sua 
extremidade e roletes em sua base (Figura 11). Ele, também, pode ser representado 
de forma mais simplificada, retirando-se os roletes de sua base deixando uma linha 
que representa o plano de apoio (Figura 12).
Figura 11 - Representação do Apoio Articulado Móvel
Figura 12 - Representação Simplificada do Apoio Articulado Móvel
14
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Exemplo	1
Para a ação de uma força vertical FV o apoio articulado móvel terá uma reação vertical 
RV de igual intensidade da força, com sentido contrário e aplicada de forma perpendicular ao 
plano de apoio (Figura 13).
Figura 13 - Apoio Articulado Móvel com o plano de apoio na horizontal
Exemplo	2
Para uma força horizontal FH o apoio articulado móvel oferece uma reação horizontal RH 
de igual intensidade da força, com sentido contrário e aplicada de forma perpendicular ao 
plano de apoio (Figura 14).
Figura 14 - Apoio Articulado Móvel com o plano de apoio na vertical
15
Apoio	Articulado	Fixo
São os vínculos que oferecem reações ao deslocamento linear normal e paralelo ao 
plano de apoio. Ele é representado por um triângulo com articulação na extremidade 
e hachuras em seu plano de apoio, que representam o atrito (Figura 15).
Figura 15 - Representação do Apoio Articulado Fixo
Exemplo	3
Para as forças vertical FV e horizontal FH , o apoio articulado fixo oferece reação vertical 
RV e horizontal RH , respectivamente perpendicular e paralela ao plano de apoio, de igual 
intensidade das forças, mas com sentido contrário (Figura 16).
Figura 16 - Apoio Articulado Fixo sob ação de forças
16
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Engaste	ou	Apoio	
Engastado
São os vínculos que oferecem reações ao deslocamento linear normal e paralelo ao 
plano de apoio, bem como ao deslocamento angular. Ele é representado por uma 
haste, que é a barra que está engastada, e hachuras em seu plano de apoio, que 
representam o atrito (Figura 17).
Figura 17 - Representação do Engaste
Exemplo	4
Para as forças vertical FV e horizontal FH , o engaste oferece reações vertical RV e horizontal 
RH, bem como um momento reativo MR, respectivamente de igual intensidade das forças, 
mas com sentido contrário (Figura 18).
Figura 18 - Apoio Engastado sob ação de cargas externas
17
Classificação das Estruturas quanto ao Equilíbrio Estático
Quanto ao seu equilíbrio estático, as estruturas podem ser classificadas como sendo 
hipostáticas, isostáticas, ou hiperestáticas
Estruturas	
Hipostáticas
São as estruturas instáveis, que possuem quantidade de equações de equilíbrio 
insuficientes, nas quais um tipo de carregamento conduz ao colapso.
Estruturas	
IsostáticasS São as estruturas estáveis, que possuem quantidade de equações de 
equilíbrio suficientes. Todas as reações dos apoios externos são determinadas 
pelas equações de equilíbrio da Estática (∑ H = 0; ∑ V = 0; ∑ M = 0).
Estruturas	
Hiperstáticas
São as estruturas estáveis, que possuem quantidade equações de equilíbrio 
superabundantes. Para determinar as reações dos apoios externos, além da 
aplicação das equações de equilíbrio da Estática, deve-se recorrer a equações 
de compatibilidade de deformações.
Grau	de	
Indeterminação	
Estática	Externa	(Ge)
É o número de reações de apoio superior a três (três equações da Estática), 
existente em uma estrutura.
Ge = NR – 3 ...(1.1)
NR – número de reações dos apoios
Assim, a expressão (3.1) que é necessária, mas não suficiente, para definir a estabilidade de 
uma estrutura, indica:
Ge < 3 → estrutura hipostática externamente
Ge = 3 → estrutura isostática externamente
Ge > 3 → estrutura hiperestática externamente
18
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Cálculo de Reações de Apoio
Para o cálculo das reações de apoio, é necessário utilizar o Diagrama de Corpo Livre. 
O Diagrama de Corpo Livre (DCL) é uma técnica de análise da Mecânica, que representa 
as forças que agem sobre um corpo, ou um ponto material, que se quer estudar. O elemento 
estrutural em estudo (corpo ou ponto material) deve ser representado isolado (livre) dos demais 
elementos componentes da estrutura.
Exemplo	5
Calcular as reações de apoio da estrutura da figura 19:
Figura 19 - Estrutura do exemplo 5
Solução
A figura 20 apresenta o Diagrama de Corpo Livre da barra apresentada na figura 
19. A barra possui dois apoios, sendo em (A) o apoio articulado móvel e em (B) o apoio 
articulado fixo. Na barra, está aplicada uma carga uniformemente distribuída ao longo de 
todo seu comprimento.
Figura 20 - Diagrama de Corpo Livre do exemplo 5
19
Equilíbrio	Estático
RHB = 0 kN ... (1)
+RVA +RVB – 400 = 0 
+RVA +RVB = 400 kN ... (2)
Efetuando a somatória dos momentos em relação ao apoio fixo (B):
+RVA x 10 – 400 x 5 = 0
+RVA = 2.000/10 
RVA = 200 kN ↑ ... (3)
Substituindo (3) em (2):
200 + RVB = 400
RVB = 400 – 200 = 200 kN ↑ ... (4)
20
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Exemplo	6
Calcular as reações de apoio da estrutura da figura 21:
Figura 21 - Estrutura do Exemplo 6
Solução
A figura 22 apresenta o Diagrama de Corpo Livre da barra apresentada na figura 1.21. A 
barra possui dois apoios, sendo em (A) o apoio articulado móvel e em (B) o apoio articulado fixo. 
Na barra, está aplicada uma carga uniformemente variável ao longo de todo seu comprimento
Figura 22 - Diagrama de Corpo Livre do exemplo 6 
21
Equilíbrio	Estático
RHB = 0 kN ... (1)
+RVA +RVB – 150 = 0 
+RVA +RVB = 150 kN ... (2)
Efetuando a somatória dos momentos em relação ao apoio fixo (B):
+RVA x 6 – 150 x 2 = 0
+RVA = 300/6 
RVA = 50 kN ↑ ... (3)
Substituindo (3) em (2):
50 + RVB = 150
RVB = 150 – 50 = 100 kN ↑ ... (4)
22
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Exemplo	7
Calcular as reações de apoio da estrutura da figura 23:
Figura 23 - Estrutura do Exemplo 7 
Solução
A figura 24 apresenta o Diagrama de Corpo Livre da estrutura apresentada na figura 23. A 
estrutura possui dois apoios, sendo em (A) o apoio articulado fixo e em (F) o apoio articulado 
móvel. Na estrutura, estão aplicadas cargas concentradas nos nós B, C, D e E.
Figura 24 - Diagrama de Corpo Livre do Exemplo 7 
23
Equilíbrio	Estático
RHA = 40 – 60 = 0
RHA = 100 kN → ... (1)
+RVA +RVF – 40 – 60 = 0 
+RVA +RVF = 100 kN ... (2)
Efetuando a somatória dos momentos em relação ao apoio fixo (B):
+RVF X (2 + 2) – 40 x 2 – 60 x (1,5 + 1,5) – 40 x 1,5 = 0
RVF = 80 kN ↑ ... (3)
Substituindo (3) em (2):
+RVA + 80 = 100
RVA = 100 – 80 = 20 kN ↑ ... (4)
24
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Exemplo	8
Calcular as reações de apoio da estrutura da figura 25:
Figura 25 - Estrutura do Exemplo 8 
Solução
A figura 26 apresenta o Diagrama de Corpo Livre da estrutura apresentada na figura 25. A 
estrutura possui dois apoios, sendo em (A) o apoio articulado fixo e em (D) o apoio articulado 
móvel. Na estrutura, estão aplicadas cargas concentradas nos nós B e C.
Figura 26 - Diagrama de Corpo Livre do exemplo 8 
25
Equilíbrio	Estático
+RHA + RHD + 15 x cos (60º) = 0
+RHA + RHD = - 7,50 kN ... (1)
+RVA - 10 – 15 x sin (60º) = 0 
+RVA - 10 – 12,99 = 0
+RVA = 22,99 kN ↑ ... (2)
Efetuando a somatória dos momentos em relação ao apoio fixo (A):
-RHD X 8 + 10 X 3 + 15 x sin (60º) X (3 + 3) = 0
-RHD = - (+30 + 77,94)/ 8
RHD = 13,49 kN → ... (3)
Substituindo (3) em (1):
+RHA + 13,49 = - 7,50 kN
+RHA = - 20,99 kN (o sinal negativo indica que a 
reação está no sentido contrário ao sentido adotado)
RHA = 20,99 kN ← 
26
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Material Complementar
Livros:
NASH, W. A.; POTTER, M. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. Coleção 
Schaum. ebook: Bookman.
Sites:
ABCEM – Associação Brasileira de Construção Metálica – artigos diversos. 
Disponível em: http://www.abcem.org.br/artigos-tecnicos.php. Acesso em: 25/abril/2015.
ABPE – Associação Brasileira de Pontes e Estruturas – Revista 
Engenharia Estudo e Pesquisa. Disponível em: http://www.revistaeep.com/ Acesso 
em: 25/abril/2015.
27
Referências
ASSAN, A. E. Resistência dos Materiais. Vol. 1. Campinas, SP: UNICAMP, 2010. 
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr. E. R.; EISENBERG, E. R.; CLAUSEN, W. E. Mecânica Vetorial 
para Engenheiros. Estática. 7. ed. Porto Alegre: Bookman, Artmed, 2006.
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., E. R.; DEWOLFE, J. T. Resistência dos Materiais. 4. ed. 
Porto Alegre: Bookman, Artmed, 2006.
CRAIG Jr., R. R. Mecânica dos Materiais. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
HIBBELER, R. C. Estática. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
RILEY, W. F.; STURGES, L. P.; MORRIS, D. H. Mecânica dos Materiais. 5. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2003.
SHEPPARD, S. D.; TONGUE, B. H. Análise e Projeto de sistemas em Equilíbrio. 
Estática. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
UGURAL, A. C. Mecânica dos Materiais. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
28
Unidade: Bases da Resistência dos Materiais
Anotações