Exercicios de Cálculo Roteiro 1

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Física Contemporânea I – Roteiro de aula 1 – Revisão de derivadas 
 
Licenciatura em Física – Faculdades Oswaldo Cruz 1 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO E FIXAÇÃO DAS REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO 
 
 REGRAS DO PRODUTO E QUOCIENTE 
 
1) Derive as funções: 
a) ( )2 3
2
'
xx e xey y
x x
× -
= Þ = 
b) 
( )2
2 3'
1 1
xy y
x x
+ -
= Þ =
- -
 
c) 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
' 2 2 2
' 2
r
r r
r
h r r r e
h r r e r r e
h r r e
= - × Þ
= - × + - × Þ
= - ×
 
d) 
( )
( )
3
24 2 4 2
4 21 '
1 1
x x
y y
x x x x
- +
= Þ =
+ + + +
 
e) 
( ) ( )
( )
22 1 ln
1' 4 ln 2
y x x
y x x x
x
= - + × Þ
= - × - +
 
f) 
( )
2 2
2
1 6 1'
3 3
x x xy y
x x
- + +
= Þ =
+ +
 
g) ( ) ( )2
ln 1 ln
'
x x
y y
x x
-
= Þ = 
h) 
( )22 2
1 2'
1 1
xy y
x x
= Þ = -
+ +
 
i) 
( )2
4 4'
3 3
y y
x x
= Þ = -
+ +
 
 
2) Calcule a derivada de: 
a) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
3 2
1 2 ' 2 1 2 1 2
' 4 3 6 2
q s s s s q s s s s s s
q s s s s
= + + × + Þ = + × + + + + × Þ
= + + +
 
b) ( ) ( )
( )
2
22 2
3 7 3 14 23'
5 4 5 4
t t ts t s t
t t t t
- - + +
= Þ =
+ - + -
 
c) ( ) ( ) ( ) 12 1 ln ' 2 ln 2y x x y x
x
= + × Þ = × + + 
d) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 23 ln ' 9 ln 3 3 3 ln 1y x x y x x x x x= - × Þ = - × - = - × × - 
e) 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
2
sen cos cos sen
'
sen cos sen cos
sen cos sen cos
'
sen cos
x x x x xxy y
x x x x
x x x x x
y
x x
+ - × -
= Þ = Þ
+ +
+ + × -
=
+
 
f) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )2 2
cos sen cos cos sen
'
cos cos
x x x x x x xxy y
x x x x
- × - + ×
= + Þ = + 
g) 
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
2
2 22 2
2 2
2 2 2
sen 1 sen cos coscos
'
1 sen 1 sen
sen sen cossen sen cos
' '
1 sen 1 sen
sen 1 1+sensen 1 1' ' ' '
1 sen1 sen 1 sen 1 sen
x x x xx
y y
x x
x x xx x x
y y
x x
x xx
y y y y
xx x x
- × + - ×
= Þ = Þ
+ +
- - +- - -
= Þ = Þ
+ +
- + -- -
= Þ = Þ = Þ = -
++ + +
 
 
 
Física Contemporânea I – Roteiro de aula 1 – Revisão de derivadas 
 
Licenciatura em Física – Faculdades Oswaldo Cruz 2 
3) Determine a inclinação da reta tangente à função ponto pedido. 
a) ( ) ( )2 1 1,1 ' 1
1 2
xy y
x
= Þ =
+
 
b) ( ) ( )2 0,0 ' 0 2xy x e y= × × Þ = 
c) ( ) ( )2
1 1 1;1/ 2 ' 1
1 2
y y
x
= - Þ - =
+
 
d) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )2 2
1 1
 0,1 ' ' ' 0 1
x x x x xx
x x x
e x e e e e xey y y y
x e x e x e
× + - × + × -
= Þ = Þ = Þ = -
+ + +
 
e) ( )
( )
( )2
2 3 2,4 ' ' 2 3
1 1
xy y y
x x
+
= Þ = - Þ = -
- -
 
 
4) Encontre a equação da reta tangente à curva: 
2
2 1
xy
x
=
+
, no ponto de coordenadas ( )1;1/ 3 . 
5) Encontre a equação da reta tangente à curva: ( )2 lny x x= × , no ponto de coordenadas ( )1,0 . 
6) Encontre a equação da reta tangente à curva: 
1 ln
xy
x
=
+
, no ponto de coordenadas ( )1,1 . 
 
REGRA DA CADEIA 
 
7) Utilizando a regra da cadeia, derive as funções. 
a) 
2xy e= 
b) ( ) 3tg t e= 
c) ( )22 ln 1y x= × + 
d) ( )2 cosy xp= - × × 
e) 2sin 3
2
xy p
p
×æ ö= × -ç ÷
è ø
 
f) ( ) ( )secg t t= 
g) ( ) ( )4xf x e x= + 
h) ( ) ( )732 5f x x x= - + 
i) ( ) ( )9 tanf x x= × 
j) ( ) ( )( )sen tan cosy x x= +
 
k) ( ) 23 1f x x= - 
l) 
m) ( ) 21 xf x e -= 
n) ( )arctan cosy q= 
o) ( ) ( )arccos xf x e= 
p) ( ) ( )22100 3f x x= × + 
q) ( )
( )( )2ln 2
2
xx
f x
+
= 
r) ( ) ( )1 lnf x x= + 
s) ( ) ( )1003 2w t t t= + 
t) ( ) ( )lnw t t= 
u) ( ) ( )ln t tP t e += 
v) ( ) ( )cosP t t= 
 
 
8) Utilizando a regra da cadeia, derive as funções: 
a) 3 3xy x e= × 
b) ( ) ( )
2sin t
P t
t
p ×
= 
c) ( ) ( )
2 2
tan
ts t
xp
-
=
×
 
d) ( )
( )23
1
4
s t
t
=
-
 
e) ( ) ( )( )cos ln 2xy e x x= × - 
f) ( )cotxy e x= × 
g) 
32 4
2
xy
x
æ ö-
= ç ÷+è ø
 
h) ( )ln 3xy e x= × 
i) 
2 4
2
x
x
y e
æ ö-ç ÷
ç ÷+è ø
= 
j) ( )tan cosy x= 
k) ( )( )cos ln 2y x= 
l) ( )( )42 arccosxy e x= + 
m) 
( )
( )
arccos
2sin
xey
x
= 
n) 
( )
( )
2
2
2 3
tan
x x
y
x
+
= 
o) ( )
( )
2cos 1
sin 1
x
y
x
-
=
+
 
p) ( )
2cos x xy e -=