Lista de Exercícios de Álgebra Linear I

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA - EST
2
a
Lista de Exercícios de Álgebra Linear I
QUESTÕES
Equações de Retas e Planos.
Questão 1. Considere o plano Ω ⊂ R3 gerado pelos vetores −→u = (1,−3, 2) e −→v = (2, 4, 5).
(a) Mostrar que o vetor
−→z = (8, 26, 21) é paralelo a Ω.
(b) Mostrar que o vetor
−→w = (46, 2,−20) é ortogonal a Ω.
Questão 2. Considere os pontos A = (−1, 3, 0), B = (2,−5, 1) e C = (0, 1,−3) de R3. Verificar se os pontos
A,B e C são colineares. Caso não sejam, determinar a equação geral do plano que contém esses três pontos.
Questão 3. Determine a equação do plano Π que passa pelo ponto P0 = (0, 0, 1) e é ortogonal ao vetor:
(a)
−→n = (3,−2, 0);
(b)
−→n = 4−→i + 1
2
−→
j +
−→
k .
Questão 4. Determine a equação do plano Ω que contém os pontos:
(a) A =
(
0, 0,
1
3
)
, B =
(
1,−1, 1
3
)
e C = (2, 1, 0).
(b) A =
(
−1, 0, 7
8
)
, B =
(
2,−1,−3
4
)
e C = (0, 15, 3).
Questão 5. Determine a equação do plano Π paralelo ao plano Ω : 2x − y + 5z − 3 = 0 e que passa pelo
ponto P0 = (1,−2, 1).
Questão 6. Determine a equação do plano Π ortogonal a reta r :
 x = t+ 1y = 0
z = 1− t
, t ∈ R, e que contém o
ponto P0 = (0, 1, 1).
Questão 7. Determine as equações paramétricas do plano Π:
(a) que passa pelo ponto P0 =
(
1, 1,
9
5
)
e que seja paralelo aos vetores
−→u =
(
1, 0,
3
5
)
e
−→v =
(
1,−2, 7
5
)
;
(b) que passa pela origem de R3 e que seja paralelo aos vetores −→i = (1, 0, 0) e −→j = (0, 1, 0).
Questão 8. Verificar se os pontos P1 = (5,−5, 6) e P2 = (4,−1, 12) pertencem à reta r : 3 − x = y + 1
2
=
2− z
2
.
Questão 9. Determine as equações paramétricas e simétrica da reta r, que passa pelo ponto P0, e é paralela
ao vetor
−→v dado:
(a) P0 = (1,−1, 1) e −→v = (1,−1, 2);
(b) P0 = (−3, 1, 1) e −→v = (−1,−1, 2);
(c) P0 = (0, 1,−1) e −→v = (0,−1, 2);
(d) P0 = (−1, 3,−1) e −→v = (2, 0,−1).
Questão 10. Determine as equações paramétricas e simétrica da reta r que passa pelos pontos:
(a) P1 = (−3, 0,−2) e P2 = (0,−3, 3);
(b) P1 = (−1, 0, 1) e P2 = (−1,−2, 0);
(c) P1 = (0, 0, 1) e P2 = (0, 1, 0).
1
Questão 11. Determinar a projeção ortogonal do vetor −→u = (1,−1, 1) sob a reta r : x− 1
2
=
y
2
= 1− z.
Questão 12. Determinar a projeção ortogonal do vetor diretor da reta s :
1− x
2
= y, z = −1 na direção do
vetor normal ao plano Π :
 x = 2α− β + 1y = 2α+ β − 1
z = α
, α, β ∈ R.
Interseções e Posições Relativas entre Retas e Planos.
Questão 13. Determine a posição relativa entre os seguintes planos:
(a) Π1 : x− y = z e Π2 : y + z = x+ 1;
(b) Π1 :
 x = −2α− 2βy = 2α
z = 3− 4β
e Π2 :

x = α+ β − 1
y = β
z =
3
2
− 2α
;
(c) Ω1 : 2x+ y + z = 1,Ω2 : x+ 3y + z = 2 e Ω3 : x+ y + 4z = 3;
(d) Ω1 : x− 2y + z = 0,Ω2 : 2x− 4y + 2z = 1 e Ω3 : x+ y = 0;
(e) Ω1 : 2x− y + 3z = −2,Ω2 : 3x+ y + 2z = 2 e Ω3 : 4x− 2y + 6z = 3;
(f) Ω1 : −4x+ 2y − 4z = 6,Ω2 : 3x+ y + 2z = 2 e Ω3 : 2x− y + 2z = −3;
(g) Π1 : 6x− 3y + 9z = 3,Π2 : 4x− 2y + 6z = 5 e Π3 : 2x− y + 3z = 2;
(h) Π1 : x− 2y + 3z = 2,Π2 : 3x+ y − 2z = 1 e Π3 : 5x− 3y + 4z = 4.
Questão 14. Determine a posição relativa das retas r e s:
r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, 2, 1), λ ∈ R;
s : (x, y, z) = t(1, 1, 0), t ∈ R.
Questão 15. Determine:
(a) o ponto de intersecção entre a reta r :
 x = −2− 2ty = 2t
z = 3− 4t
, t ∈ R, e o plano Π : 2x− 2y − z + 7 = 0.
(b) o ponto de interseçção entre a reta r :
 x = 1 + θy = 2− θ
z = 1− 2θ
, θ ∈ R, e a reta s : x− 1
2
=
y − 6
3
=
z − 4
2
.
(c) o ponto de intersecção entre as retas r :
{
y = 2x− 3
y = 2x− 10 e s :
{
y = 4x− 2
y = 3x
.
(d) a intersecção entre as retas r :
 x = 2 + 2αy = 1 + α
z = 1− 2α
, α ∈ R, e s :
 x = 1− 5βy = 3β
z = 1
, β ∈ R.
(e) a intersecção entre os planos Π1 : x− y − z + 2 = 0 e Π : x− y + z − 2 = 0.
Questão 16. Determinar a equação simétrica da reta que passa pelo ponto A = (3, 6, 4), intercepta o eixo
0Z, e é paralela ao plano Π : x− 3y + 5z − 6 = 0.
Questão 17. Determinar a equação geral do plano Ω que contém as retas:
(a) r :
 x = 0y = α
z = α+ 3
, α ∈ R, e s :
 x = −2β + 1y = 0
z = 4β + 1
, β ∈ R;
(b) r :
 x = −2α+ 1y = 3α
z = α+ 2
, α ∈ R, e s :
 x = 4β + 2y = −6β + 1
z = −2β + 3
, β ∈ R.
2
Questão 18. Dados os planos Ω1 : x− y+ z+ 1 = 0 e Ω2 : x+ y− z−1 = 0, determine o planos que contém
Ω1 ∩ Ω2 e é ortogonal ao vetor −→n = (−1, 1,−1).
Questão 19. Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x + y − z = 0 e 2x − y + 3z − 1 = 0.
Encontre a equação do plano que passa por A = (1, 0,−1) e contém a reta r.
Questão 20. Sejam r e s retas reversas passando por A = (0, 1, 0) e B = (1, 1, 0) e por C = (−3, 1,−4) e
D = (−1, 2,−7), respectivamente. Obtenha uma equação da reta concorrente com r e s que é paralela ao
vetor
−→v = (1,−5,−1).
Questão 21. Determine a posição relativa das retas r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, 2, 1), λ ∈ R e s : (x, y, z) =
t(1, 1, 0), t ∈ R.
Questão 22. Sejam r1 : (x, y, z) = (1, 0, 2) + (2t, t, 3t) e r2 : (x, y, z) = (0, 1,−1) + (t,mt, 2mt) duas retas.
(a) Determine m para que as retas sejam coplanares (não sejam reversas).
(b) Para o valor de m encontrado, determine a posicãoo relativa entre r1 e r2.
(c) Determine a equação do plano determinado por r1 e r2.
Questão 23. Sejam a reta r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t,mt, t) e o plano Π : 2x − y − 2z = 0. Determine
o valor de m para que a reta seja paralela ao plano. Para o valor de m encontrado a reta está contida no
plano?
Questão 24. Sejam as retas r1 :
 x = 2ty = 1
z = 4t+ 3
, t ∈ R, r2 : y
2
=
z − 3
4
, x = 1, e r3 :
{
y − x = 1
4y − z = 1 .
(a) Determine (r1 ∩ r2) ∪ (r1 ∩ r3) ∪ (r2 ∩ r3).
(b) Determine a equação geral de um plano Ω que contenha as retas r1, r2 e r3.
Questão 25. Seja r :
{
x− 2z = 1
y − 4z = 0 a equação de uma reta que é perpendicular a um plano Ω. Suponha
que o ponto P0 = (1,−1, 0) pertença a Ω. Seja s uma reta paralela a Ω, concorrente a r e que também
contém P0. Determinar um vetor diretor de s que seja unitário.
Ângulo entre Retas e Planos.
Questão 26. Encontre o ângulo entre as retas:
(a) r :
 x = −2− 2ty = 2t
z = 3− 4t
, t ∈ R, e s : x
4
=
y + 6
2
=
z − 1
2
;
(b) r :
{
y = −2x− 1
z = x+ 2
e s :
x− 1
2
=
y
3
=
z + 1
−3 ;
(c) r :
{
x+ y − z + 1 = 0
2x− y + z = 0 e s :
 x = 2ty = 1− t
z = 2 + 3t
, t ∈ R.;
(d) r :
 x = 2 + 2αy = 1 + α
z = 1− 2α
, α ∈ R, e s :
 x = 1− 5βy = 3β
z = 1
, β ∈ R.
Questão 27. Encontre o ângulo entre os planos:
(a) Π1 : x+ y + z = 0 e Π2 : x− y − z = 0;
(b) Π1 : 3x+ 2y − 6 = 0 e Π2 : y = 0;
(c) Π1 : 3x− 2z + 6 = 0 e Π2 : z = 0;
(d) Π1 : x+ 2y + z − 10 = 0 e Π2 :
 x = 2α− β + 1y = 2α+ β − 1
z = α
, α, β ∈ R.
Questão 28. Obtenha uma equação geral do plano Π, que contém a reta r :
{
x− 2y + 2z = 0
3x− 5y + 7z = 0 e forma
com o plano Ω : x+ z = 0 um ângulo de 60◦.
3
Distâncias entre Retas e Planos.
Questão 29. Determinar, no eixo das ordenadas, um ponto C equidistante dos pontos A = (1, 1, 4) e
B = (−6, 6, 4).
Questão 30. Ache os pontos do plano Π : y = x que equidistam dos pontos A = (1, 1, 0) e B = (0, 1, 1).
Questão 31. Calcular a distância do ponto P = (1, 2, 3):
(a) à reta r :
 x = 1− 2ty = 2t
z = 2− t
, t ∈ R;
(b) a cada um dos eixos coordenados.
Questão 32. Calcule:
(a) a distância do ponto P = (1, 2, 3) à reta r :
 x = −3− ty = −2− t
z = −1− t
, t ∈ R;
(b) a distância do ponto P = (−1, 2, 0) ao plano Π : x− 2y + 3z − 1 = 0;
(c) a distância do ponto Q = (−1, 0, 1) à reta s : x− 1
2
=
y − 4
4
= z;
(d) a distância do ponto Q = (−1, 1,−1) ao plano Ω : 2x− y − 2z + 1 = 0.
Questão 33.Determinar a posição relativa e calcular a distância entre os planos:
(a) Π1 : x− 2y + 2z − 6 = 0 e Π2 : x− 2y + 3z − 1 = 0;
(b) Π1 : 3x+ 4y − z + 1 = 0 e Π2 : −6x− 8y + 2z − 2 = 0;
(c) Π1 : x+ y − z + 1 = 0 e Π2 : x+ y − z − 2 = 0.
Questão 34. Determinar a posição relativa e calcular a distância entre as retas:
(a) r :
 x = −2− 2ty = 2t
z = 3− 4t
, t ∈ R, e s : x
4
=
y + 6
2
=
z − 1
2
;
(b) r :
{
y = −2x− 1
z = x+ 2
e s :
x− 1
2
=
y
3
=
z + 1
−3 ;
(c) r :
{
x+ y − z + 1 = 0
2x− y + z = 0 e s :
 x = 2ty = 1− t
z = 2 + 3t
, t ∈ R.;
(d) r :
 x = 2 + 2αy = 1 + α
z = −1
, α ∈ R, e s :
 x = 2− 2βy = 1− β
z = 1
, β ∈ R.
4