Lista de Exercícios de Álgebra Linear I

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA - EST
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Lista de Exercícios de Álgebra Linear I - 2017/02
QUESTÕES
Vetores no Plano e no Espaço.
Questão 1. Considere os pontos do plano A = (1, 0), B = (2, 1), C = (0, 1), D = (−1,−1) e E = (−1, 0).
Seja O = (0, 0) a origem de R2.
(a) Representar os vetores
−−→
AB,
−−→
OD e
−−→
ED, com as origens e extremidades nos pontos dados.
(b) Mostrar que os vetores
−−→
AB e
−−→
EC têm mesma direção e sentido.
(c) Mostrar que os vetores
−−→
OD e
−−→
EC têm mesma direção e sentidos contrários.
(d) Esboçar no plano cartesiano o paralelogramo gerado pelos vetores
−−→
AB e
−→
AC. Quais são os vetores que
representam as diagonais desse paralelogramo?
(e) Mostrar que os pontos E,D e C não são colineares. Assim como os pontos A,B e C também não o
são.
Questão 2. Dados os pontos A = (1,−2), B = (−1, 2) mostre que o vetor −−→AB é paralelo a reta y = −x.
Questão 3. Uma reta no plano tem equação y = 2x+ 1. Determine um vetor paralelo a esta reta.
Questão 4. Dados os pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 1) e C = (1, 0, 1) considere os vetores −→u = −−→AB,
−→v = −−→BC e −→w = −→CA.
(a) Representar os vetores
−→u , −→v e −→w no espaço tridimensional nos pontos onde são determinadas suas
origens e extremidades.
(b) Mostrar que os pontos A,B e C não são colineares.
(c) Representar, através da regra do paralelogramo, os vetores
−→u +−→v ,−→u −−→v , −→v +−→w e −→v −−→w .
Questão 5. Quais são as coordenadas do ponto P ′, simétrico do ponto P = (1, 0, 3), em relação ao ponto
M = (1, 2,−1)?
Dependência Linear e Combinação Linear.
Questão 6. Verificar se:
(a) os vetores
−→u = (1, 0,−1),−→v = (0,−1, 0) e −→w = (−2,−2, 2) são linearmente independentes.
(b) os vetores
−→u = (0, 1,−1, 1),−→v = (2, 0, 3, 0) e −→w = (0,−3, 0, 1) de R4 são linearmentes independentes.
(c) os vetores
−→u = 2−→i +−→j −−→k ,−→v = −4−→i − 2−→j + 2−→k e −→w = −→i +−→j −−→k determinam os lados de um
poliedro em R3.
(d) é um paralelogramo o quadrilátero de vértices A = (4,−1, 1), B = (9,−4, 2), C = (4, 3, 4) e D =
(9, 0, 5).
Questão 7. Escreva o vetor −→u = (−1,−2, 1) como combinação linear dos vetores:
(a)
−→v1 =
(
2,
1
2
, 2
)
,−→v2 = (−3, 2, 0) e −→v3 = (2,−1, 1).
(b)
−→v1 = (−1, 0, 0) ,−→v2 = (0,−1, 0) e −→v3 = (1, 1, 1).
Questão 8. Uma partícula P se desloca sob um plano cujo sistema de coordenadas é {e1, e2}, onde e1 =
(−1, 0, 2) e e2 = (4, 2,−2). Num instante t0 (em segundos) a partícula está na posição P0 = (4, 3, 1) (em
metros). Determina os parâmetros a e b de modo que, no instante t0, se tenha P0 = ae1 + be2.
Produto Interno, Norma e Ângulo.
Questão 9. Seja m ∈ R. Determine m de modo que:
(a) os vetores
−→u = (−1, 2 +m,−1−m) e −→v = (m− 1,m, 2) sejam ortogonais.
(b) se
−→u = (1, 2−m3) e −→v = (m− 1, 2) então −→u • −→v = 3.
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Questão 10. Dados os vetores −→u ,−→v e −→w tais que −→u = (a,−b, x), −→v = (x + a,−5b, a) e −→w = (ax, 4a, x)
determinar o valor de x para que o vetor −→u +−→v seja ortogonal ao vetor −→w −−→u .
Questão 11. Considere os pontos A = (0, 1), B = (−1, 0) e C = (2,−1). Calcular o perímetro do triângulo
de vértices A,B e C. Calcular os ângulos internos do triângulo ABC.
Questão 12. Determinar t ∈ R de modo que:
(a) o ângulo entre
−→u = (−t, 1, 1) e −→v = (1,−t,−1) seja igual a 60◦.
(b) o ângulo entre
−→u = 3−→i − (5− t)−→j e −→v = (t− 1)−→i +−→j seja igual a 45◦.
Aplicação do Produto Interno: Trabalho e Projeção Ortogonal.
Questão 13. O trabalho realizado por uma partícula no espaço que se desloca numa direção constante
−→
d ,
sob ação de uma força
−→
F constante, é definido por W =
−→
F • −→d . Determinar o trabalho realizado por uma
partícula P que se desloca:
(a) na direção
−→
d = (1, 1, 1) sob ação da força
−→
F = (−1, 2, 0).
(b) cinco metros sob ação de uma força de intensidade 2N , quando o deslocamento e a força formam um
ângulo de 45◦.
Questão 14. Suponha que uma partícula P se desloca do ponto A = (1, 2) ao ponto B = (2,−1) sob a ação
de uma força constante
−→
F . Determinar a intensidade de
−→
F , sabendo que a particula ao se deslocar entre A
e B realizou um trabalho de −4J , e que a força tem sentido oposto ao deslocamento.
Questão 15. Determinar um vetor que é paralelo a uma reta, a qual é perpendicular ao vetor −→n = (−1,−3),
e que passa pelo ponto P0 = (−3,−4).
Questão 16. Encontrar o vetor unitário da bissetriz do ângulo (reta que corta o ângulo em duas partes
iguais) entre os vetores
−→u = (3, 2) e −→v = (1, 3).
Questão 17. Sejam −→v = (0,−1, 3) e −→w = (4, 0,−1). Encontrar dois vetores −→v1 e −→v2 tais que −→v = v1 + v2,−→v1 é paralelo a −→w e −→v2 é perpendicular a −→w .
Questão 18. O trabalho realizado por uma partícula P no espaço que se desloca numa direção constante−→
d , sob ação de uma força
−→
F constante, é definido por W =
−→
F • −→d . Determinar o trabalho realizado por
uma partícula P que se desloca:
(a) do ponto A = (1, 0, 1) ao ponto B = (2, 1,−1) sob ação de uma força −→F = (−1, 2,−1).
(b) na direção
−→
d obtida pela projeção da força
−→
F sob o eixo OZ.
Questão 19. Dado um vetor −→w , suponha que −→w = λ1−→u + λ2−→v onde −→u e −→v são não nulos. Determinar os
valores de λ1 e λ2 sabendo que:
(I) −→u , −→v e −→w possuem comprimento igual a 1;
(II) −→u e −→v são ortogonais;
(III) o ângulo entre −→u e −→w é de 60◦.
Produto Vetorial e Produto Misto.
Questão 20. Verificar se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:
(a) A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2);
(b) A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10,−2, 1).
Questão 21. Considere os vetores −→u = (2,−1, 1), −→v = (1,−1, 0) e −→w = (−1, 2, 2).
(a) Verificar se os vetores
−→u , −→v e −→w são coplanares.
(b) Determinar o volume do paralelepípedo gerado por
−→u ,−→v e −→w .
Questão 22. Considere dois vetores −→v e −→w tais que ‖−→v ‖ = 5, ‖−→w ‖ = 2 e o ângulo entre −→v e −→w é 60◦.
Determine, como combinação linear de
−→v e −→w (a−→v + b−→w ):
(a) Um vetor
−→u tal que −→u • −→v = 20 e −→u • −→w = 5.
(b) Um vetor
−→u tal que −→u ×−→v = 0 e −→u • −→w = 12.
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Questão 23. Calcular o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = (2, 1, 6) e os três
vértices adjacentes nos pontos B = (4, 1, 3), C = (1, 3, 2) e D = (1, 2, 1).
Questão 24. Calcular a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = (1, 0, 1), B =
(2, 1, 3) e C = (3, 2, 4).
Questão 25. Calcular a área do triângulo com vértices A = (1, 2, 1), B = (3, 0, 4) e C = (5, 1, 3).
Exercícios Teóricos.
Questão 26. Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio
é paralelo às bases, e sua medida é a média aritmética das medidas das bases.
Questão 27. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.
Questão 28. Mostrar que se −→v é ortogonal a −→w1 e −→w2, então −→v é ortogonal a α1−→w1 + α2−→w2.
Questão 29. Demonstre que, se −→v e −→w são vetores quaisquer, então:
(a)
−→v • −→w = 1
4
(‖−→v +−→w ‖2 − ‖−→v −−→w ‖2);
(b) ‖−→v ‖2 + ‖−→w ‖2 = 1
2
(‖−→v +−→w ‖2 − ‖−→v −−→w ‖2).
Questão 30. Provar a identidade de Lagrange:
‖−→u ×−→v ‖2 = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2 − (−→u • −→v )2.
Questão 31. Use a fórmula do produto vetorial duplo
−→u × (−→v ×−→w ) = (−→u • −→w )−→v − (−→u • −→v )−→w
para provar que
[−→a × (−→b ×−→c )] + [−→b × (−→c ×−→a )] + [−→c × (−→a ×−→b )] = 0.
Questão 32. Prove que (−→a −−→b )× (−→a +−→b ) = 2(−→a ×−→b ).
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