MATA 07 Primeira prova Resolvida

Prévia do material em texto

Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT
MAT A07 - A´lgebra Linear A Professora: Simone Moraes
1a PROVA RESOLVIDA
1.a Questa˜o.
(a) Sejam A, B e C matrizes de ordens 3× 4, 2× 4 e 4× 2, respectivamente. Responda, e´ poss´ıvel
efetuar a expressa˜o matricial B ·AT − (A ·C)T ? Em caso afirmativo determine a ordem de tal
expressa˜o.
(b) Determine a matriz A = [aij] de ordem 2 × 5 sabendo que seus elementos sa˜o dados pela
fo´rmula:
aij =

i− 2j, se i < j
i2 + j, se i = j
−j + 1, se i > j.
Soluc¸a˜o:
(a) A3×4, enta˜o AT4×3 e
(
B2×4 · AT4×3
)
2×3
, por outro lado
(
A3×4 · C4×2
)
3×2
, logo (A · C)T2×3.
Portanto, a expressa˜o matricial B · AT − (A · C)T esta´ definida e sua ordem e´ 2× 3.
(b) Pela fo´rmula acima temos:
a11 = 1
2 + 1 = 2 a12 = 1− 2× 2 = −3 a13 = 1− 2× 3 = −5
a14 = 1− 2× 4 = −7 a15 = 1− 2× 5 = −9
a21 = −1 + 1 = 0 a22 = 22 + 2 = 6 a23 = 2− 2× 3 = −4
a24 = 2− 2× 4 = −6 a25 = 2− 2× 5 = −8.
Portanto,
A =
[
2 −3 −5 −7 −9
0 6 −4 −6 −8.
]
2.a Questa˜o. Seja A uma matriz quadrada de ordem 7 com detA = −3, calcule detB, nos seguintes
casos:
(a) B = 3AT · A−5.
1
(b) B e´ a matriz obtida efetuando as seguintes operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A:
L1 ←→ L5, L2 −→ L2 + 3L7, L3 −→ 4L3, L6 −→ L6 − 5L4.
Soluc¸a˜o:
(a) det(B) = det(3AT · A−5) A7×7= 37 × det(AT )× det(A−5)
detA=detAT e detAn=(detA)n
= 37×detA× (detA)−5 = 37× (−3)× (−3)−5 = 37× (−3)−4 = 33 = 27.
(b) Quando efetuamos a operac¸a˜o elementar:
• L1 ←→ L5 o determinante da matriz resultante muda de sinal em relac¸a˜o ao determinante
da matriz inicial.
• L2 −→ L2 + 3L7 na˜o interfere no determinante da matriz resultante.
• L3 −→ 4L3 o determinante da matriz resultante e´ quatro vezes o determinante da matriz
inicial.
• L6 −→ L6 − 5L4 na˜o interfere no determinante da matriz resultante.
Logo,
detB = (−1)× 4× detA = (−4)× (−3) = 12.
3.a Questa˜o. Seja a matriz A =

3 3 3 3
3 3 + a 3 3
3 3 3 + b 3
3 3 3 3 + c
, com a, b e c sa˜o nu´meros reais tais
que a · b · c = −8.
(a) Mostre que detA = −24.
(b) Determine, pelo me´todo dos cofatores ou pelo me´todo do escalonamento, A−1, a inversa
de A.
Soluc¸a˜o:
(a) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3 3
3 3 + a 3 3
3 3 3 + b 3
3 3 3 3 + c
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
L2 −→ L2 − L1
L3 −→ L3 − L1
L4 −→ L4 − L1
= a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3 3
0 a 0 0
0 0 b 0
0 0 0 c
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 3abc = 3× (−8) = −24.
2
(b) Pelo me´todo dos cofatores:
cof(311) =
∣∣∣∣∣∣∣
3 + a 3 3
3 3 + b 3
3 3 3 + c
∣∣∣∣∣∣∣ = (3 + a)
∣∣∣∣∣ 3 + b 33 3 + c
∣∣∣∣∣− 3
∣∣∣∣∣ 3 33 3 + c
∣∣∣∣∣+ 3
∣∣∣∣∣ 3 3 + b3 3
∣∣∣∣∣
= (3 + a)(3 + b)(3 + c)− 9(3 + a)− 9(3 + c) + 27 = 27− 9(3 + b)
= 3ab+ 3ac+ 3bc+ abc.
Como abc = −8, enta˜o:

ab =
−8
c
ac =
−8
b
bc =
−8
a
.
Logo,
cof(311) =
−24
c
+
−24
b
+
−24
a
− 8 = −24
(
1
3
+
1
a
+
1
b
+
1
c
)
.
cof(312) = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 3 + b 3
3 3 3 + c
∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
0 b 0
0 0 c
∣∣∣∣∣∣∣ = −3bc
cof(313) =
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 + a 3
3 3 3
3 3 3 + c
∣∣∣∣∣∣∣
L1 −→ L1 − L2
L3 −→ L3 − L2
=
∣∣∣∣∣∣∣
0 a 0
3 3 3
0 0 c
∣∣∣∣∣∣∣ = c
∣∣∣∣∣ 0 a3 3
∣∣∣∣∣ = −3ac
cof(314) = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 + a 3
3 3 3 + b
3 3 3
∣∣∣∣∣∣∣
L1 −→ L1 − L3
L2 −→ L2 − L3 = −
∣∣∣∣∣∣∣
0 a 0
0 0 b
3 3 3
∣∣∣∣∣∣∣ = b
∣∣∣∣∣ 0 a3 3
∣∣∣∣∣ = −3ab
cof(321) = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 3 + b 3
3 3 3 + c
∣∣∣∣∣∣∣ = cof(312) = −3bc
cof(3 + a) =
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 3 + b 3
3 3 3 + c
∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
0 b 0
0 0 c
∣∣∣∣∣∣∣ = 3bc
3
cof(323) = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 3 3
3 3 3 + c
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 cof(324) =
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 3 3 + b
3 3 3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
cof(331) =
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 + a 3 3
3 3 3 + c
∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 =
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
a 0 0
0 0 c
∣∣∣∣∣∣∣ = c
∣∣∣∣∣ 3 3a 0
∣∣∣∣∣ = −3ac
cof(332) = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 3 3
3 3 3 + c
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 cof(334) =
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 3 + a 3
3 3 3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
cof(3 + b) =
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 3 + a 3
3 3 3 + c
∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
0 a 0
0 0 c
∣∣∣∣∣∣∣ = 3ac
cof(341) = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 + a 3 3
3 3 + b 3
∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
a 0 0
0 b 0
∣∣∣∣∣∣∣ = a
∣∣∣∣∣ 3 3b 0
∣∣∣∣∣ = −3ab
cof(342) =
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 3 3
3 3 + b 3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 cof(343) = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 3 + a 3
3 3 3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
cof(3 + c) =
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
3 3 + a 3
3 3 3 + b
∣∣∣∣∣∣∣ L2 −→ L2 − L1L3 −→ L3 − L1 = −
∣∣∣∣∣∣∣
3 3 3
0 a 0
0 0 b
∣∣∣∣∣∣∣ = 3ab.
Observac¸a˜o: Como a matriz A e´ sime´trica os ca´lculos poderiam ser reduzidos observando que
cof(312) = cof(321)
cof(313) = cof(331)
cof(314) = cof(341)
cof(323) = cof(332)
cof(324) = cof(342)
cof(334) = cof(343).
4
Logo,
cof(A) =

−24
(
1
3
+
1
a
+
1
b
+
1
c
)
−3bc −3ac −3ab
−3bc 3bc 0 0
−3ac 0 3ac 0
−3ab 0 0 3ab

=

−24
(
1
3
+
1
a
+
1
b
+
1
c
)
24
a
24
b
24
c
24
a
−24
a
0 0
24
b
0
−24
b
0
24
c
0 0
−24
c

.
Consequentemente,
A−1 =
1
−24

−24
(
1
3
+
1
a
+
1
b
+
1
c
)
24
a
24
b
24
c
24
a
−24
a
0 0
24
b
0 −24
b
0
24
c
0 0 −24
c

=

1
3
+
1
a
+
1
b
+
1
c
−1
a
−1
b
−1
c
−1
a
1
a
0 0
−1
b
0
1
b
0
−1
c
0 0
1
c

.
5
Pelo me´todo do escalonamento (operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A):
3 3 3 3 | 1 0 0 0
3 3 + a 3 3 | 0 1 0 0 L2 −→ L2 − L1
3 3 3 + b 3 | 0 0 1 0 L3 −→ L3 − L1
3 3 3 3 + c | 0 0 0 1 L4 −→ L4 − L1
∼
3 3 3 3 | 1 0 0 0 L1 −→ 1
3
L1
|
0 a 0 0 | −1 1 0 0 L2 −→ 1
a
L2
|
0 0 b 0 | −1 0 1 0 L3 −→ 1
b
L3
|
0 0 0 c | −1 0 0 1 L4 −→ 1
c
L4
∼
1 1 1 1 | 1
3
0 0 0 L1 −→ L1 − L2
|
0 1 0 0 | −1
a
1
a
0 0
|
0 0 1 0 | −1
b
0
1
b
0
|
0 0 0 1 | −1
c
0 0
1
c
∼
1 0 1 1 | 1
3
+
1
a
−1
a
0 0 L1 −→ L1 − L3
|
0 1 0 0 | −1
a
1
a
0 0
|
0 0 1 0 | −1
b
0
1
b
0
|
0 0 0 1 | −1
c
0 0
1
c
6
∼
1 0 0 1 | 1
3
+
1
a
+
1
b
−1
a
−1
b
0 L1 −→ L1 − L4
|
0 1 0 0 | −1
a
1
a
0 0
|
0 0 1 0 | −1
b
0
1
b
0
|
0 0 0 1 | −1
c
0 0
1
c
∼
1 0 0 0 | 1
3
+
1
a
+
1
b
+
1
c
−1
a
−1
b
−1
c
|
0 1 0 0 | −1
a
1
a
0 0
|
0 0 1 0 | −1
b
0
1
b
0
|
0 0 0 1 | −1
c
0 0
1
c
Portanto,
A−1 =

1
3
+
1
a
+
1
b
+
1
c
−1
a
−1
b
−1
c
−1
a
1
a
0 0
−1
b
0
1
b
0
−1
c
0 0
1
c

.
4.a Questa˜o. Decida se a afirmac¸a˜o dada e´ (sempre) verdadeira ou (a`s vezes) falsa. Justifique sua
resposta dando um argumento lo´gico matema´tico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se a diferenc¸a de matrizes AB − BA estiver definida, enta˜o A e B devem ser matrizes
quadradas de mesma ordem.
(b) ( ) Se A e´ uma matriz quadrada anti-sime´trica, enta˜o a matriz A4 e´ anti-sime´trica.
(c) ( ) Se A e B sa˜o matrizes quadradas de mesma ordem e invert´ıveis, enta˜o a matriz A + B e´
invert´ıvel.
7
(d) ( ) Se A e B sa˜o matrizes invert´ıveis de mesma ordem, enta˜o
B−1 · A · (A+ ATB−1A)−1 = (AT +B)−1.
Soluc¸a˜o:
(a) (V) Dizer que a diferenc¸ade matrizes AB −BA esta´ definida, e´ equivalente a dizer que AB e
BA teˆm a mesma ordem.
Ja´ que esta˜o definidos os produtos AB e BA, enta˜o o nu´mero de colunas de A e´ igual ao nu´mero
de linhas de B e o nu´mero de colunas de B e´ igual ao nu´mero de linhas de A, ou seja, A e B
sa˜o matrizes de ordens n×m e m× n, respectivamente.
Consequentemente, (AB)n×n e (BA)m×m.
Portanto, AB e BA teˆm a mesma ordem se, e somente se, m = n, ou seja, se A e B sa˜o matrizes
quadradas de mesma ordem.
(b) (F) A matriz A =
[
0 1
−1 0
]
e´ anti-sime´trica, pois AT =
[
0 −1
1 0
]
= −A.
Consequentemente,
A2 =
[
0 1
−1 0
]
·
[
0 1
−1 0
]
=
[
−1 0
0 −1
]
e A4 =
[
−1 0
0 −1
]
·
[
−1 0
0 −1
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Portanto, A4 na˜o e´ anti-sime´trica, pois (A4)T = A4 6= −A4.
(c) (F) As matrizes
A =
[
1 0
0 1
]
e B =
[
−1 0
0 −1
]
sa˜o invert´ıveis, pois detA = detB = 1, pore´m A + B =
[
0 0
0 0
]
e det(A + B) = 0, portanto
esta matriz na˜o e´ invert´ıvel.
(d) (V) Pois,
B−1 · A · (A+ ATB−1A)−1 = ((A+ ATB−1A) · A−1 ·B)−1
=
(
A · A−1 ·B + ATB−1A · A−1 ·B
)−1
=
(
B + AT
)−1
=
(
AT +B
)−1
.
8