POLINOMIO

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Aula 8
polinoˆmios (Anterior: chineˆs. )
8.1 se´ries formais
Fixemos um anel A. Denotaremos por AN o conjunto de todas as func¸o˜es de
N = {0, 1, 2, . . . } a valores em A.
Em termos mais concretos, cada elemento de AN e´ uma sequ¨eˆncia infinita
(a0, a1, a2, . . . ), que abreviaremos por (an).
1. Exemplos. Que tal
1. em Z, (an) = (0, 1, 2, . . . ), i.e., , an = n ∀n ∈ N.
2. (1, 2, 6, 24, 120, 720, . . . ), ou seja, an = n!.
3. Em Z2, (0, 1, 0, 1, 0, 1...), etc.
Definimos a soma de sequ¨eˆncias fazendo as operac¸o˜es coordenada-a-coordenada:
(an) + (bn) = (an + bn).
Note que a sequ¨eˆncia nula (0, 0, . . . ) funciona como elemento neutro dessa
operac¸a˜o. Temos tambe´m −(an) = (−an) funcionando como o negativo de
cada sequ¨eˆncia.
Definiremos a seguir uma operac¸a˜o de produto de sequ¨eˆncias. Atenc¸a˜o
desde ja´, a operac¸a˜o na˜o sera´ dada pela regra de multiplicar coordenada-a-
coordenada.
2 polinoˆmios
Dadas as sequ¨eˆncias (an), (bn) ∈ AN, definiremos uma nova sequ¨eˆncia,
(cn), pela regra seguinte:
c0 = a0b0
c1 = a1b0 + a0b1
c2 = a2b0 + a1b1 + a0b2
...
cn =
∑n
0 aibn−i =
∑
i+j=n aibj =
∑n
0 an−ibi
...
Note que, apesar de tanto a sequ¨eˆncia (an) como (bn) serem infinitas, a nova
sequ¨eˆncia (tambe´m infinita) (cn) e´ definida usando, passo a passo, para cada
n, apenas um nu´mero finito de valores: a0, . . . , an e b0, . . . , an.
2. Prop. AN e´ um anel (comutativo e com unidade) com as operac¸o˜es
(an) + (bn) e (an) · (bn) definidas como acima.
Prova. Apresentemos logo 1 = (1, 0, 0, 0, . . . ). Verifiquemos a distributivi-
dade do produto com respeito a soma. Sa˜o dadas as sequ¨eˆncias x = (xn), y =
(yn), z = (zn). Calculamos o termo geral de (wn) = ((xn) + (yn)) · (zn). Te-
mos
wn =
n∑
0
(xi + yi)zn−i =
n∑
0
(xizn−i + yizn−i) = (x · z)n + (y · z)n,
ou seja, vale (x+ y) · z = x · z + y · z. Veja agora a associatividade como se
estabelece:
(x · (y · z))n =
∑n
0 xi(y · z)n−i
=
∑n
0 xi
∑n−i
0 yjzn−i−j
=
∑n
0
∑n−i
0 xiyjzn−i−j
=
∑n
0
∑k
0 xn−kyjzk−j (fiz k = n− i)
=
∑n
0 xn−k
∑k
0 yjzk−j
=
∑n
0 xn−k(y · z)k = (x · (y · z))n.
2
8.1 se´ries formais 3
Note que o anel A se identifica naturalmente ao subanel das sequ¨eˆncias
da forma (a0, 0, 0, . . . ) em que apenas a coordenada de ı´ndice 0 pode ser na˜o
nula.
Escrevemos, por abuso deliberado, a = (a, 0, 0, . . . ) para cada a ∈ A. Em
particular, o abuso 1 = (1, 0, . . . ) e´ bastante aceita´vel...
Introduzimos agora o xis da questa˜o. Mais precisamente, definimos a
sequ¨eˆncia,
x = (0, 1, 0, 0, . . . , 0, . . . ).
Calcule
x2 = x · x = (0, 0, 1, 0, 0, 0, . . . );
x3 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, . . . );
x4 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, . . . ).
Mais geralmente, temos que xn e´ a sequ¨eˆncia formada por zeros, exceto na
casa n, onde pomos 1.
Convencionamos escrever cada elemento (a0, a1, . . . ) com a expressa˜o simbo´lica∑∞
0 anx
n. Repetimos, nada mais do que uma notac¸a˜o sugestiva. Alia´s, da´ı
a terminologia “se´rie formal”.
Consideremos agora, em AN, o subconjunto A(N) formado pelas sequ¨eˆncias
em que o nu´mero de coordenadas 6= 0 e´ finito.
Por definic¸a˜o, 1, x e todas as suas poteˆncias sa˜o elementos de A(N). Note
ainda que A(N) e´ certamente fechado para as operac¸o˜es de soma e produto.
Cada elemento de A(N) se escreve na forma
(a0, a1, . . . , ad, 0, 0, . . . ) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ adxd.
Na˜o e´ a` toa que chamamos A(N) de anel dos polinoˆmios a coeficientes no
anel A, em uma varia´vel x.
Entendida a construc¸a˜o, escreveremos A[x] ao inve´s de A(N) para denotar
o anel de polinoˆmios.
Note que, por definic¸a˜o, dois elementos
a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ adxd, b0 + b1x + b2x2 + · · ·+ brxr ∈ A[x]
sa˜o iguais se e so´ se os coeficientes correspondentes forem iguais.
4 polinoˆmios
8.2 o anel de polinoˆmios
Na˜o tem a menor importaˆncia, doravante, a construc¸a˜o feita na sec¸a˜o anterior
para o anel de polinoˆmios, A[x], a coeficientes em um dado anel A.
Denotaremos habitualmente um polinoˆmio com s´ımbolos do tipo
f(x), g(x), p(x), . . .
Por vezes omitiremos a varia´vel x, abreviando f, g, p, . . . . Cada elemento
f(x) ∈ A[x] se escreve, na forma
f(x) = a0 + a1x + · · ·+ adxd,
com ai ∈ A. O anel A e´ chamado de anel dos coeficientes; cada ai ∈ A e´ dito
o coeficiente de xi no polinoˆmio f . Enfatizamos que, dizer f(x) = 0 significa
exigir que todos os coeficientes sejam nulos. Definimos o
grau de um polinoˆmio f(x), denotado por deg f ,
como o maior dos inteiros i ≥ 0 tais que o coeficiente de xi e´ na˜o nulo.
(Nessa definic¸a˜o o grau do polinoˆmio nulo e´ −∞... mas isso na˜o tem a
menor importaˆncia: o importante e´ que o banco tal sei la´ qual he da´ n dias
sem juros...–ou sera´ que essa propaganda ja´ ta´ velha demais?)
Na expressa˜o acima para f(x), se ad 6= 0, temos deg f = d; o coeficiente
ad do termo de maior grau se chama coeficiente l´ıder. Dizemos que um
polinoˆmio e´ moˆnico se seu coeficiente l´ıder for igual a 1.
3. exerc´ıcios.
1. Mostre que ∀n ∈ Z, xn+1 − 1 = (x− 1)(xn + xn−1 + · · ·+ x + 1).
2. Ache exemplos de pares de polinoˆmios f, g a coeficentes em Z4 tais que o grau do
produto f · g seja estritamente menor do que a soma dos graus deg f + deg g.
3. Mostre que o grau de uma soma de polinoˆmios e´ menor do que ou igual ao ma´ximo dos
graus das parcelas. Exemplo com desigualdade estrita. E para o produto, o queˆ esperar?
8.3 algoritmo da divisa˜o
No restante desta aula, salvo menc¸a˜o em contra´rio vamos considerar apenas
polinoˆmios a coeficientes em um corpo K.
8.3 algoritmo da divisa˜o 5
4. Lema. Sejam f, g ∈ K[x] ambos na˜o nulos. Enta˜o temos fg 6= 0 e
deg(fg) = deg f + deg g.
Prova. Escrevemos f = amx
m+· · · , g = bnxn+· · · , onde · · · indica termos
de grau menor e am, bn sa˜o os coeficientes l´ıderes, ambos 6= 0. E´ imediato
que o coeficiente l´ıder de fg e´ ambn, certamente 6= 0, ja´ que estamos em um
corpo. 2
Note que o resultado acima tambe´m vale para polinoˆmios a coeficientes
em qualquer domı´nio. Segue em particular que, se A e´ um domı´nio, enta˜o
A[x] tambe´m e´. Vale a rec´ıproca?
5. Prop. Sejam f,g polinoˆmios a coeficientes no corpo K. Se f6= 0, enta˜o
existem polinoˆmios q, r ∈ K[x] u´nicos com as propriedades
1. g = qf + r;
2. r = 0 ou deg r < deg f .
O polinoˆmio q e´ chamado de quociente e r de resto na divisa˜o de g por f .
Prova. Se deg g < deg f enta˜o fac¸a q = 0 e r = g. Prosseguimos por
induc¸a˜o sobre n = deg g ≥ m = deg f . Escrevamos f = amXm + · · · , g =
bnX
n + · · · . Seja h = g − bnXn−ma−1m f . Note o ajuste feito para cancelar o
termo de maior grau de g. Por induc¸a˜o, h se escreve na forma h = q1f + r,
com r = 0 ou deg r < deg f . Fazendo q = q1 + bna
−1
m X
n−m, conclu´ımos
g = qf + r. Para verificarmos a unicidade, suponhamos qf + r = q′f + r′.
Da´ı vem (q−q′)f = r′−r. Ora, se q 6= q′ enta˜o o primeiro membro e´ um poli-
noˆmio de grau ≥ m enquanto que o segundo membro, supondo r (resp. r′) =
0 ou deg r (resp. r′) < deg f , certamente e´ nulo ou de grau < m. 2
8.3.1 func¸o˜es polinomiais
Seja A um anel. Fixe um polinoˆmio f ∈ A[x]. Escolha um elemento qualquer
b ∈ A. Definimos f(b) substituindo o s´ımbolo x por b na expressa˜o de f .
Explicitamente, se f = a0 + a1x + · · ·+ adxd, enta˜o
f(b) = a0 + a1b+ · · ·+ adbd.
6 polinoˆmios
Podemos assim associar a cada polinoˆmio uma func¸a˜o polinomial
f̂ : A → A
a 7→ f(a).
Insistimos no fato de que, conceitualmente, f̂ e f sa˜o objetos distintos.
Talvez o exerc´ıcio abaixo lhe convenc¸a disso.
6. exerc´ıcios.
4. Sejam f(x) = 1, g(x) = x2 + x + 1 ∈ Z2[x]. Mostre que as func¸o˜es polinomiais corres-
pondentes, f̂ , ĝ : Z2 → Z2, sa˜o iguais, i.e., para cada z ∈ Z2 vale f(z) = g(z). Encontre
treˆs polinoˆmios distintos comfunc¸o˜es polinomiais associadas iguais a ĥ, onde h(x) = x+1.
5. Mostre que, dados f, g ∈ A[x] e b ∈ A, valem as fo´rmulas
(f + g)(b) = f(b) + g(b); (f · g)(b) = f(b) · g(b).
6. Seja f = anXn+an−1Xn−1+ · · ·+a1X+a0 e seja a ∈ K. Mostre que o resto na divisa˜o
de f por X − a e´ igual a f(a). Conclua que f e´ mu´ltiplo de X − a se e so´ se f(a) = 0.
7. Prop. Todo ideal de K[x] e´ principal.
Prova. Seja I um ideal de K[x]. Se I = {0}, na˜o ha´ nada a demonstrar.
Assim, podemos supor que existe um elemento f0 ∈ I moˆnico e de grau
mı´nimo com essa propriedade. Mostraremos que I = (f0), i.e., que todo
elemento g ∈ I e´ mu´ltiplo de f0. Com efeito, aplicando o algoritmo da
divisa˜o, podemos em todo o caso escrever,
g = qf0 + r,
onde r = 0 ou deg r < deg f0. Como r = g − qf0 e´ claramente um elemento
do ideal I, se ocorresse r 6= 0, produzir´ıamos um elemento em I com grau
inferior ao mı´nimo, o que e´ absurdo. 2
Lembremos que o MDC de uma colec¸a˜o de polinoˆmios {ft}t∈T e´ o poli-
noˆmio moˆnico p caracterizado pelas propriedades seguintes:
• p divide cada ft na colec¸a˜o;
• se q ∈ K[x] divide cada ft na colec¸a˜o enta˜o q divide p.
8.3 algoritmo da divisa˜o 7
8. Corola´rio. Seja {ft}t∈T uma colec¸a˜o de polinoˆmios. Enta˜o existem
t1, . . . , tn ∈ T e q1, . . . , qn ∈ K[x] tais que
f = q1ft1 + · · ·+ qnftn
e´ o MDC dessa colec¸a˜o.
Prova. Seja I o ideal gerado por {ft}t∈T ,
I = {
∑
1≤i≤m
gifti |t1, . . . , tm ∈ T, g1, . . . , gm ∈ K[x], m = 0, 1, . . . }.
Seja f o gerador moˆnico de I. Sendo f um elemento de I, necessariamente
se escreve na forma
f = q1ft1 + · · ·+ qnftn .
Assim, se q divide cada ft na colec¸a˜o enta˜o q divide f . Por fim, sendo I = (f),
e´ claro que cada ft (sendo elemento de I. . . ) e´ divis´ıvel por f . 2
9. exerc´ıcios.
7. Sejam f, g ∈ K[x], f 6= 0 e seja r o resto na divisa˜o de g por f . Prove a igualdade
de ideais, (f, g) = (f, r). Deduza enta˜o o algoritmo para ca´lculo do MDC por diviso˜es
sucessivas.
8. Sejam f = x3 + x + 1, g = x2 + x ∈ Z2[x]. Seja h o MDC de f, g. Adapte as contas
aprendidas em Z para determinar p, q ∈ Z2[x] tais que pf + qg = h
8 polinoˆmios
10. Definic¸a˜o. Um polinoˆmio na˜o constante f ∈ R e´ redut´ıvel se existirem
polinoˆmios na˜o constantes g, h ∈ K[x] tais que f = g · h. Um polinoˆmio na˜o
constante f ∈ K[x] e´ primo se toda vez que dividir um produto, divide um
dos fatores; em s´ımbolos: ∀ g, h ∈ K[x], f | (divide) gh⇒ f |g ou f |h
11. Prop. Seja f ∈ K[x] polinoˆmio na˜o constante. Enta˜o f e´ primo se e
so´ se for irredut´ıvel.
Prova. Suponhamos f moˆnico, irredut´ıvel e sejam p, q, r ∈ K[x] tais que
p · q = f · r. Devemos mostrar que se f 6 | p enta˜o f |q. Seja h =MDC(f, p).
Visto que f e´ moˆnico e irredut´ıvel, temos h = 1 = f1 ·f+p1 ·p. Multiplicando
por q, obtemos q = q · 1 = q · f1 · f + p1 · p · q, claramente divis´ıvel por f .
Reciprocamente, supondo f primo, se exib´ıssemos f como produto, f = g ·h,
seguiria que f divide algum dos fatores, digamos g = f · g1. Substituindo
e cancelando, viria 1 = g1 · h, logo h e´ constante e conclu´ımos que f e´
irredut´ıvel. 2
12. Proposic¸a˜o. (Fatorac¸a˜o U´nica.) Todo polinoˆmio na˜o constante em
uma varia´vel e a coeficientes em um corpo se escreve de maneira u´nica (a
menos de ordem dos fatores) na forma
f = c · p1 · · · · · pm
onde c denota uma constante e cada pi e´ um polinoˆmio irredut´ıvel moˆnico.
Prova. Mostremos inicialmente, a unicidade da fatorac¸a˜o. Como um
produto de polinoˆmios moˆnicos e´ moˆnico, evidentemente a constante c e´
bem determinada pois coincide com o coeficiente l´ıder de f . Por outro lado,
se
p1 · · · · · pm = q1 · · · · · qn
fosse outra fatorac¸a˜o com cada qi moˆnico e irredut´ıvel, ter´ıamos que p1 divide
algum dos qi. Reordenando se preciso, podemos supor que p1|q1 e portanto
p1 = q1. Cancelando, conclu´ımos por induc¸a˜o sobre o nu´mero de fatores (ou,
se preferir, sobre o grau de f).
Existeˆncia da fatorac¸a˜o. Se f ja´ e´ um polinoˆmio irredut´ıvel, na˜o ha´ nada
a provar. Se f = g · h, com deg g, deg h ≥ 1, enta˜o deg g, deg h sa˜o ambos
< deg f e conclu´ımos por induc¸a˜o sobre o grau de f . 2
13. exerc´ıcios.
9. Fatore todos os polinoˆmios de Z2[x] de grau ≤4.
Pro´ximo: o lema de Gauss.
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	séries formais
	o anel de polinômios
	algoritmo da divisão 
	funções polinomiais