MEB_variavel_aleatoria_DISCRETA_modelos_graduacao_Modo_de_Compatibilidade_

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Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística 
aplicada à Engenhariaaplicada à Engenharia
ProfaProfa. Marília Gomes. Marília Gomes
-- VariáveisVariáveis aleatóriasaleatórias discretasdiscretas ee distribuiçõesdistribuições
dede probabilidadesprobabilidades (modelos)(modelos)
UnB UnB –– Universidade de BrasíliaUniversidade de Brasília
FGA FGA –– Faculdade UnB GamaFaculdade UnB Gama
Graduação Graduação –– ciclo básicociclo básico
VARIÁVEL ALEATÓRIA (VARIÁVEL ALEATÓRIA (v.a.v.a.))
• Revisando...
TIPO DE VARIÁVEL TIPO DE VARIÁVEL 
ALEATÓRIAALEATÓRIA
• Função de uma v.a. discreta:
- os números p(xi), devem satisfazer às
seguintes condições:
VARIÁVEL ALEATÓRIA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
DISCRETADISCRETA
• Alguns exemplos:
- número de acidentes numa semana;
- número de caras em cinco lançamentos de
moeda;
- número de defeitos em sapatos;
- número de falhas numa safra;
- número de terremotos;
- número de jogos empatados;
- número de livros numa estante.
VARIÁVEL ALEATÓRIA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
DISCRETADISCRETA
• Valor esperado (média):
• Variância:
VARIÁVEL ALEATÓRIA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
DISCRETADISCRETA
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• Propriedades do valor esperado e da
variância:
VARIÁVEL ALEATÓRIA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
DISCRETADISCRETA
• Distribuição discreta uniforme:
-Uma v.a. X tem uma distribuição discreta
uniforme se cada um dos n valores em sua
faixa, isto é, x1, x2, ..., xn tiver igual
probabilidade. Então:
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição discreta uniforme:
- Valor médio e variância:
- Caso particular:
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição discreta uniforme:
- Exemplo: Seja X a v.a. que indica o
‘número de pontos marcados na face
superior de um dado’, quando ele é lançado.
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição de Bernoulli:
- Ensaios os provas de Bernoulli:
- Exemplos:
(1) Lançar uma moeda e observar se ocorreu ‘cara’;
(2) Observar, ao acaso, um morador da cidade e verificar se ele é favorável (ou
não) a um certo projeto municipal.
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição de Bernoulli:
- Exemplos:
(1) Lançar uma moeda e observar se ocorreu ‘cara’;
(2) Observar, ao acaso, um morador da cidade e verificar se ele é
favorável (ou não) a um certo projeto municipal.
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
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MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição de Bernoulli:
- Características:
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição de Bernoulli:
- Exemplo: Um dado é lançado. Ou ocorre a
face 5 ou não. Supondo o dado perfeito,
qual a distribuição de probabilidades?
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição Binomial:
- Um experimento é dito binomial, quando:
(1)Consiste em n ensaios;
(2) cada ensaio tem apenas dois resultados:
sim (sucesso) ou não (fracasso);
(3) os ensaios são independentes entre si,
com probabilidade p de ocorrer sim
(sucesso), sendo p uma constante entre 0
e 1 (0 < p < 1).
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• Distribuição Binomial:
- Agora o interesse está na distribuição de
probabilidades da v.a. X = número de ocorrência
de sim nos n ensaios.
- A distribuição de probabilidades de uma v.a.
desse tipo é conhecida como Distribuição
Binomial.
- As quantidades n e p são os parâmetros da
distribuição, cuja especificação depende das
características do problema que se está
modelando.
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição Binomial:
- São exemplos de experimentos
binomiais:
(1) Observar o número Y de caras, em três
lançamentos imparciais de uma moeda
perfeitamente equilibrada;
(2) Observar o número X de respostas
afirmativas, numa amostra aleatória de dez
pessoas.
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• Distribuição Binomial:
- Características:
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MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição Binomial:
- Voltando ao exemplo 1...
Uma moeda é lançada três vezes. Qual
a probabilidade de se obter duas
caras? Resp.:3/8
*Será que precisa agora construir o
espaço amostral?
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• Distribuição Hipergeométrica:
- há experiências nas quais a
probabilidade de sucesso não se
mantém constante, não sendo as
provas independentes (sem reposição);
- neste caso, diz-se que temos uma
experiência hipergeométrica.
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição Hipergeométrica:
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição Hipergeométrica:
- Características:
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição de Poisson:
- Na prática, muitas situações nas quais
interessa o número de observações de
uma variável em um intervalo contínuo
(tempo ou espaço) podem ser
convenientemente explicadas pela
distribuição de Poisson;
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MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição de Poisson:
- Exemplos:
(a) chamadas telefônicas por minuto;
(b) mensagens que chegam a um servidor
por segundo;
(c ) acidentes por dia;
(d) defeitos por m2, etc..
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição de Poisson:
- Suposições:
(a) os números de ocorrências em quaisquer
intervalos são independentes;
(b) a probabilidade de duas ou mais
ocorrências simultâneas é zero;
(c) o número médio de ocorrências (λ) é
constante em todo o intervalo considerado.
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição de Poisson:
- Características:
MODELOS DISCRETOSMODELOS DISCRETOS
• Distribuição de Poisson:
- Exemplo: um PBX recebe, em média,
cinco chamadas por minuto. Supondo
que a distribuição de Poisson seja
adequada nessa situação, obter a
probabilidade de que o PBX não
receba chamadas durante um intervalo
de um minuto. (Resp. 0,0067)
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• Distribuição de Poisson: