Exercícios de Álgebra Linear Matrizes e Sistemas

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Exercícios de Álgebra Linear 
 
 
Exercício do livro: 
KOLMAN, Bernard. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações. 6. ed. Rio de 
Janeiro: Prentice – Hall do Brasil, 1998. 
 
 
(Exercício 27 – p.26)(Custo de Produção) Um fabricante de móveis faz cadeiras e 
mesas, cada uma das quais passa por um processo de montagem e outro de 
acabamento. O tempo necessário para esse processo é dado (em horas) pela matriz 
 
 Montagem Acabamento 
 
 2 2 Cadeira 
 A = 
 3 4 Mesa 
 
 
O fabricante tem uma fábrica em Salt Lake City e outra em Chicago. As taxas por hora 
para cada um dos processos são dadas (em dólares) pela matriz 
 
 Salt Lake Chicago 
 City 
 9 10 Montagem 
 B = 
 10 12 Acabamento 
 
 
Qual o significado dos elementos do produto matricial AB ? 
 
 
 
(Exemplo 9 - p.18) (Ecologia) Joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos 
daninhos. Entretanto, parte do pesticida é absorvida pela planta. Os pesticidas são 
absorvidos pelos herbívoros que comem essas plantas. Para determinarmos a 
quantidade de pesticida absorvida por um herbívoro, vamos proceder da maneira 
descrita a seguir. Suponha que temos três tipos de pesticidas e quatro tipos de 
plantas. Denote por aij a quantidade i (em miligramas) que foi absorvida pela planta j. 
Esta informação pode ser representada pela matriz 
 
 
 Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4 
 
 2 3 4 3 Pesticida 1 
 
 A = 3 2 2 5 Pesticida 2 
 
 4 1 6 4 Pesticida 3 
 
 
 
Suponha, agora, que temos três herbívoros e denote por bij o número de plantas do 
tipo i que um herbívoro do tipo j come por mês. Esta informação pode ser 
representada pela matriz 
 Herbívoro 1 Herbívoro 2 Herbívoro 3 
 
 20 12 8 Planta 1 
 B = 28 15 15 Planta 2 
 30 12 10 Planta 3 
 40 16 20 Planta 4 
 
 
O elemento (i, j) de AB fornece a quantidade de pesticida de tipo i que o animal j 
absorveu. Por exemplo, se i = 2 e j = 3, o elemento (2,3) da matriz é 
 
 3(8) + 2(15) + 2(10) + 5(20) 
 = 174 mg do pesticida 2 foram absorvidos pelo herbívoro 
 
Se temos, agora, p carnívoros (tais como seres humanos) que comem os herbívoros, 
podemos repetir essa análise para encontrar a quantidade de cada pesticida absorvida 
por cada carnívoro. 
 
 Algumas vezes, é útil poder encontrar uma coluna do produto AB sem ter que 
multiplicar as duas matrizes. Não é difícil mostrar que a j-ésima coluna do produto AB 
é igual ao produto de matrizes A . col j (B). 
 
 
 
 
Exercício: 
A) Considere a matriz 













212
120
221
A
 . Determine a inversa da matriz A pelo 
processo prático. 
B) A matriz A foi usada para criptografar uma mensagem. As letras do alfabeto foram 
numeradas de acordo com a sequência: 
A B C D E F G H I J K L M 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
 
N O P Q R S T U V W X Y Z 
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 
Agora que você conhece o segredo da criptografia, que é a matriz A, você 
deverá decodificar a mensagem abaixo. Para a codificação, as letras da 
mensagem original foram transformadas em uma sequência de números com a 
tabela anterior e agrupadas de 3 em 3, formando-se matrizes-colunas 3X1. 
Multiplicando-se a matriz A por cada matriz-coluna, foram formadas novas 
matrizes colunas que se tornaram codificadas, resultando a mensagem: 
37 -16 43 14 6 45 25 -3 49 
Usando o item A), decodifique a mensagem. 
 
 
(Loreto, A.C. Silva, A. A., Loreto Jr, A. P. – Álgebra Linear e aplicações) 
Resolver os sistemas lineares de 1 a 5 pelo método do escalonamento. 
 
1. Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas num total de 10000 frutas. As 
frutas devem ser colocadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), 
sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas tem respectivamente 50 
maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20 reais, 40 reais e 
10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa R$ 3300,00, calcule 
quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas (FUVEST 2003). 
Resposta do problema: 2000 maçãs, 3000 peras e 5000 laranjas. 
 
2. Um químico deseja preparar 60 litros de uma mistura que contém 40% de 
ácido, usando ácido em três concentrações: a primeira concentração tem 15%; 
a segunda tem 35% e a terceira tem 55%. Com esta quantidade de solução 
ácida ao seu dispor, o químico deseja que a quantidade de litros de solução de 
35% seja o dobro de solução de 55%. Quantos litros de cada solução deverão 
ser utilizados? 
Resposta do problema: 3,75 litros da solução de 15%; 37,5 litros da solução de 35% e 
18,75 litros da solução de 55% são necessários para preparar 60 litros, que contém 
40% de ácido. 
 
3. Paulo recebeu uma herança de 25000 dólares e investiu parte desta herança 
em poupança, parte em títulos públicos e parte em fundos mútuos. Após um 
ano, recebeu um total de 1620 dólares de juros pelas três aplicações. A 
poupança pagou 6% ao ano, os títulos públicos pagaram 7% ao ano e os 
fundos mútuos pagaram 8% ao ano. Ele investiu 6000 dólares a mais em títulos 
públicos do que em fundos mútuos. Determine quanto Paulo investiu em cada 
aplicação. 
 
Resposta do problema: Paulo investiu 15 000 dólares em poupança, 8000 dólares em 
títulos públicos e 2000 dólares em fundos mútuos. 
 
 
4. (Reformulado) Determinar um número N de três dígitos, de modo que 
satisfaça: 
a) O número N é igual a 15 vezes a soma dos seus dígitos; 
b) Invertendo a ordem dos dígitos de N, o novo número será igual a N mais 396; 
c) O último dígito de N é igual à soma dos outros dois aumentado de uma 
unidade. 
 
Resposta do problema: N=135. 
 
 
 Exercício: (Concurso IFSP 2010, adaptada) Um pecuarista fica sabendo que seus animais 
devem ingerir diariamente 60 g do nutriente A e 40 g do nutriente B. Este pecuarista dispõe 
de três tipos de ração com as seguintes características, por quilograma: 
- A ração I contém 5 gramas do nutriente A e 8 gramas do nutriente B; custa R$ 4,00. 
- A ração II contém 5 gramas do nutriente A e 4 gramas do nutriente B; custa R$ 3,00. 
- A ração III contém 15 gramas do nutriente A e 8 gramas do nutriente B; custa R$ 8,00. 
O pecuarista pretende misturar as rações I, II e III, de maneira que seus animais possam 
ingerir a quantidade de nutrientes recomendada. Além disso, ele deseja gastar exatamente R$ 
32,00. Utilizando esse valor, é possível atender as necessidades de nutrientes recomendadas? 
Em caso afirmativo, indique a quantidade de cada ração que deve ser utilizada namistura. 
 
Exercício: Encontre as constantes a,b,c e d reais tais que o gráfico da função 
 f(x) = ax3+ bx2 +cx +d passe pelos pontos (-1, 5 ) , (0, 1) , ( 1, 1) e (2, 11).