Lista de exercícios sobre Limites

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3101 - Ca´lculo 1
1a lista de exerc´ıcios (31/07/2017 a 04/08/2017)
1. Estime o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da func¸a˜o nos nu´meros dados.
lim
x→2
x2 − 2x
x2 − x− 2 x = 2, 5; 2, 1; 2, 01; 2, 005; 2, 001; 1, 9; 1, 95; 1, 999.(a)
lim
x→0
ex − 1− x
x2
x = 1; ±0, 5; ±0, 1; ±0, 05; ±0, 01; ±0, 005; ±0, 001.(b)
2. Se f(1) = 5, lim
x→1
f(x) deve existir? Se existe, enta˜o f(x) deve ser igual a 5? Podemos concluir alguma
coisa sobre lim
x→1
f(x)? Explique.
3. Determine um nu´mero δ para o ε dado tal que se 0 < |x− a| < δ enta˜o |f(x)− L| < ε.
lim
x→−1
(3x− 4) = −7; ε = 0, 2.(a)
lim
x→−2
(2 + 5x) = −8; ε = 0, 01.(b)
4. Um torneiro mecaˆnico precisa fabricar um disco de metal circular com a´rea de 1.000 cm2.
Qual o raio do disco produzido?(a)
Se for permitido ao torneiro uma toleraˆncia de erro de ±5 cm2 na a´rea do disco, qua˜o pro´ximo
do raio ideal da parte a) o torneiro precisa controlar o raio?
(b)
Em termos da definic¸a˜o de ε, δ de lim
x→x0
f(x) = L, o que e´ x? O que e´ f(x)? O que e´ x0? O que
e´ L? Qual o valor de ε dado? Qual o valor correspondente de δ?
(c)
5. Prove cada proposic¸a˜o usando a definic¸a˜o ε, δ de limite.
lim
x→3
(1− 4x) = −11(a) lim
x→2
x = 2(b) lim
x→3
1 = 1(c)
6. Se lim
x→x0
f(x) = 2 e lim
x→x0
[f(x)− g(x)] = −1, calcule lim
x→x0
[f(x) · g(x)].
7. Suponha que lim
x→c
f(x) = 5 e lim
x→c
g(x) = −2. Determine:
lim
x→c
f(x) · g(x)(a) lim
x→c
[f(x) + 3g(x)](b) lim
x→c
f(x)
f(x)− g(x)(c)
8. Se lim
x→−2
f(x)
x2
= 1, calcule:
lim
x→−2
f(x)(a) lim
x→−2
f(x)
x
(b)
1
9. Calcule os limites justificando cada passagem pelas Propriedades dos limites que forem usadas.
lim
x→−2
(
x3 + 2x− 1)(a) lim
u→2
√
u2 + 3u+ 4
u3 + 1
(b)
10. Calcule os seguintes limites.
lim
x→2
x2 − 4
x− 2(a) limx→3
x3 − 8
x− 2(b)
lim
x→3
√
x−√3
x− 3(c) limx→0
3x
x2 + 1
(d)
lim
x→2
x2 − 4x+ 4
x2 − 3x+ 4(e) limx→0
1−√1− x2
x2
(f)
lim
t→0
(
1
t
− 1
t2 + t
)
(g) lim
t→1
t2 + t− 2
t2 − 4t+ 3(h)
lim
h→0
(3 + h)−1 − 3−1
h
(i) lim
x→−4
(x+ 3)2.017(j)
11. Calcule o valor, ou os valores, de a ∈ R tal que os limites abaixo sejam verdadeiros.
lim
x→a
x2 − 1
x− 1 = 2(a) limx→1
x2 − 2ax+ 1
x− 1 = 0(b) limx→0 (3ax+ 19) = 19(c)
12. Sejam f, g : I → R func¸o˜es definidas em um intervalo aberto (x0 − r, x0 + r). Diga se as afirmac¸o˜es
abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Se verdadeiras, prove. Se falsas, deˆ um contra-exemplo.
Se existirem lim
x→x0
f(x) e lim
x→x0
[f(x) + g(x)] enta˜o existira´ lim
x→x0
g(x).(a)
Se existir lim
x→x0
f(x) e na˜o existir lim
x→x0
g(x) enta˜o na˜o existe lim
x→x0
[f(x) + g(x)].(b)
Se existirem lim
x→x0
f(x) e lim
x→x0
g(x) enta˜o existira´ lim
x→x0
f(x)
g(x)
.(c)
13. Considere a func¸a˜o racional f(x) =
x3 + ax2 + bx+ c
mx2 + nx+ p
. Assuma que a, b, c, m, n e p sa˜o inteiros e que:
f(2) = 0.(a)
para x = −1 tem-se uma indeterminac¸a˜o do tipo 0
0
.(b)
lim
x→−1
f(x) = −6.(c)
x = 1 e´ raiz do polinoˆmio mx2 + nx+ p.(d)
f(3) =
1
f(4)
.(e)
Determine os coeficientes a, b, c,m, n, p.
14. Se f e g forem func¸o˜es cont´ınuas, com f(3) = 5 e lim
x→3
[
2f(x)− g(x)]= 4, encontre g(3).
15. Fac¸a o gra´fico e analise a continuidade das seguintes func¸o˜es:
f(x) =
{
0, se x ≤ 0
x, se x > 0.
(a)
f(x) =
 x
2 − 4
x+ 2
, se x 6= −2
1, se x = −2.
(b)
2
16. Dado o gra´fico da func¸a˜o f abaixo, estabelec¸a os nu´meros nos quais f e´ descont´ınua e explique por
queˆ.
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
x
y
3