Lista P1

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Zeros de Func¸o˜es
Lista de Exerc´ıcios
1. Localize graficamente as ra´ızes da equac¸o˜es a seguir:
a) 4 cosx− e2x = 0
b)
x
2
− tg(x) = 0
c) 1− x lnx = 0
d) 2x − 3x = 0
e) x3 + x− 1000 = 0
2. Para cada intervalo de raiz isolada apresentado no exerc´ıcio anterior responda:
a) Qual a raiz aproximada utilizando 5 iterac¸o˜es pelo me´todo da bissec¸a˜o?.
b) Qual a raiz aproximada utilizando 5 iterac¸o˜es pelo me´todo de Newton-Raphson con-
siderando como x0 o ponto me´dio intervalo onde cada raiz foi isolada?
c) Qual o nu´mero de iterac¸o˜es necessa´rias para o me´todo da bissec¸a˜o alcanc¸ar a mesma
precisa˜o que o me´todo de Newton-Raphson alcanc¸ou no item b?
3. O polinoˆmio p(x) = x5 − 10
9
x3 +
5
21
x tem cinco ra´ızes reais, todas no intervalo (−1, 1).
a) Verifique que ξ1 ∈ (−1,−0, 75), ξ2 ∈ (−0, 75,−0, 25), ξ4 ∈ (0.3, 0, 8) e ξ5 ∈ (0.8, 1)
b) Encontre pelo me´todo de Newton-Raphson uma raiz aproximada de f(x) utilizando x0 =
0.8. Justifique por que o me´todo converge para ξ5 e na˜o para ξ4.
c) Calcule uma raiz aproximada de f(x) pelo me´todo da secante considerando x0 = 0.8 e
x1 = 1.
4. Dada a func¸a˜o y = atan(x), responda:
a) E´ poss´ıvel determinar a raiz da func¸a˜o f(x) utilizando o me´todo de Newton-Raphson?
Justifique sua resposta.
b) E´ poss´ıvel determinar a raiz da func¸a˜o f(x) utilizando o me´todo da secante? Justifique
sua resposta.
5. O prec¸o a` vista de um mercadoria e´ R$ 3.120,00, mas pode ser financiada com um entrada de
R$ 910,52 e mais 12 prestac¸o˜es mensais de R$ 260,00. Calcule a taxa de juros.
6. Um jogador de futebol americano esta´ prestes a fazer um lanc¸amento para outro jogador de
seu time. O lanc¸ador tem uma altura de 1,82m e o outro jogador esta´ 18,2m afastado. A
expressa˜o que descreve o movimento da bola e´ a familiar equac¸a˜o da f´ısica que descreve o
movimento do proje´til
y = x tan(θ)− 1
2
x2g
v20 cos
2 θ
+ h
onde x e y sa˜o as distancias horizontal e vertical, respectivamente, g = 9.80665 m/s2 e´ a
acelerac¸a˜o da gravidade, v0 e´ a velocidade inicial da bola quando deixa a ma˜o do lanc¸ador e
θ e´ o aˆngulo que a bola faz com o eixo horizontal nesse mesmo instante. Para v0 = 15.2 m/s,
1
x = 18.2 m, h = 1.82 m e y = 2.1 m, determine o aˆngulo θ no qual o jogador deve lanc¸ar a
bola.
Resolva o problema com toleraˆncia 10−8.
7. O gra´fico a seguir representa o movimento de duas part´ıculas, A e B, durante o intervalo de 10
segundos. Cada uma das part´ıculas esta´ contida em um tubo de 3 mil´ımetros de comprimento.
Considerando que as part´ıculas movimentam-se apenas na horizontal com func¸o˜es hora´rias dos
espac¸o iguais a SA(t) = sen t+ 10 e SB(t) = e
cos t, determine:
a) Os instantes em que as part´ıculas A e B ocupam a mesma posic¸a˜o em relac¸a˜o aos seus
tubos.
b) Os instantes em que as part´ıculas A e B atingem velocidades ideˆnticas.
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