2017 1 AP1 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
 
1
a
 Avaliação Presencial de História da Matemática – 2017-1 
(Gabarito) 
 
 
 
 
 
As questões 1, 2 e 3 versam sobre 
contribuições das civilizações egípcia e 
babilônica para o desenvolvimento da 
matemática. 
 
Questão 1 [1,0 pt] Multiplique, como os egípcios, 33 por 18. 
Solução: 
∖1 33 
∖2 66 
∖4 132 
∖8 264 
16 528 
 
 
 
 
2 + 16 = 18 ⇒ 33 ⨯ 18 = 66 + 528 = 594. 
 
Questão 2 [1,5 pt] Resolva o seguinte problema do papiro de Ahmes, usando o 
método da falsa posição: 
Uma quantidade e seu sétimo, somadas juntas, dão 19. Qual é a quantidade? 
Solução: 
O problema equivale a resolver a equação 𝑥 + 
𝑥
7
 = 19 
Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divisível por 7, digamos 7. Um sétimo de 
7 é 1. Somando 7 a 
1
7
 de 7 obtemos 8. 
7 + 
1
7
 × 7 = 8 
Mas o que queremos é encontrar o valor de “x” de tal modo que 𝑥 + 
𝑥
7
 = 19 
Para isso, basta resolver a seguinte regra de três simples: 
Quantidade Resultado 
 7 8 
 x 19 
Portanto, 
7
𝑥
= 
8
19
 ⇒ 8𝑥 = 7 . 19 ⇒ 8𝑥 = 133 ⇒ 𝑥 = 
133
8
 . 
Questão 3 [1,5 pt] - No tablete YBC 7289 os babilônios 
consideraram o diagonal de um quadrado de lado medindo 
(0,30) como sendo o produto de (0,30) por (1,24;51;10) – 
onde o símbolo “,” (vírgula) separa a parte inteira da parte 
fracionária da representação sexagesimal do número. 
Determine a medida da diagonal, isto é, calcule (0,30) x 
(1,24;51;10). (indique o resultado usando a representação 
sexagesimal). 
 
 
 Solução: 
 (0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10) = 
 
30
60
 x (1 + 
24
60
+
51
602
+
10
603
) = 
30
60
 + 
720
602
+
1530
603
+
300
604
 = 
30
60
 + 
12
60
+
1500 + 30
603
+
5
603
 = 
 
42
60
 + 
25
602
+
30
603
+
5
603
 = 
42
60
 + 
25
602
+
35
603
= 0 , 42 ; 25 ; 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As questões 4 e 5 versam sobre contribuições da 
matemática da Grécia Antiga. 
 
 
Questão 4 [2,0 pts] – Na figura a seguir podemos observar alguns exemplos de 
números figurados: 
 
Os números figurados formam uma sequência de números naturais. Por exemplo, os 
números quadrados formam a seqüência Q1 = 1
2
, Q2 = 2
2
, Q3 = 3
2
, Q4 = 4
2
, Q5 = 5
2
, ..., 
Qn = n
2
, .... Quer dizer, Qn = n
2
 , n um número natural positivo, é o termo geral da 
sequência de números quadrados (veja segunda linha da tabela acima). 
a) Determine uma expressão em função de n do termo geral da sequência de 
números pentagonais Pn. 
b) A sequência infinita de números (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...) que aparece 
destacada no triângulo de Pascal da figura a seguir trata-se de uma sequência de 
números figurados. Determine o centésimo elemento desta sequência. 
 
Solução: 
a) 
 
Observe na figura acima que: P2 = 3T1 + 2, P3 = 3T2 + 3, P4 = 3T3 + 4, ..., 
𝑃𝑛 = 3𝑇𝑛−1 + 𝑛 = 
3(𝑛−1)𝑛
2
 + 𝑛 =
3𝑛2−𝑛
2
 
 
b) A sequência infinita de números (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...) que aparece 
destacada no triângulo de Pascal da figura é a sequência de números triangulares 
𝑇𝑛 = 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 = 
𝑛(𝑛+1)
2
 . 
Logo 𝑇100 = 
100(100+1)
2
 = 5050 
 
 
 
 
 
 
Questão 5 [2,0 pts]: Um clássico problema sobre o qual Arquimedes se debruçou foi a 
projeção de supefície esférica sobre uma superfície cilíndrica que a envolve. Talvez o 
mestre de Siracusa já quisesse fazer mapas do globo terrestre. A seguir, apresenta-se o 
enunciado do problema de Arquimedes. 
 
Considere um cilindro, cuja base é o círculo máximo 
de uma dada esfera e cuja altura é o diâmetro desta 
mesma esfera. O volume do cilindro é igual a uma vez 
e meia do volume da esfera e a área do cilindro 
também é igual a uma vez e meia da área da esfera. 
Atenção: “uma vez e meia” é igual a 
 
1+
1
2
=
3
2
 
 
Usando seus conhecimentos atuais de geometria espacial, mostre que Arquimedes 
estava certo, isto é, considerando o cilindro e a esfera nas condições do enunciado, 
demonstre que: O volume do cilindro é igual a uma vez e meia do volume da esfera e a 
área do cilindro também é igual a uma vez e meia da área da esfera. 
 
Solução: 
Pelas informações do problema, sejam a esfera de raio R e o cilindro de raio da base r = 
R e altura h = 2R. Temos: 
 
                  
 
2 2 23 3 32 ( ) 2 ( 2 ) 2 (3 ) 6 4 4
2 2 2
cilindro esferaA r r h R R R R R R R R A
 
 
 
 
Questão 6 [2,0 pts] – Eis um problema e sua solução da obra de Al-
Khwarizmi, “Al-Labr W´al Muqabalah”: 
 
“Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove. Qual é o 
quadrado? – A solução é a seguinte: Tome a metade do número de raízes, 
obtendo cinco. Isto é, multiplicando por si mesmo – o produto será vinte e 
cinco. Adicione isto a trinta e nove e a soma será sessenta e quatro. Tome 
então a raiz quadrada disto, que é igual a oito e subtraia disto a metade do 
número de raízes, que é cinco. A diferença é três. Esta é a raiz do número 
procurado – e o próprio quadrado é nove.” 
 
 
a) [1,5 pt] Formule o problema e sua solução com a simbologia atual (na análise da 
solução, formule-a passo a passo como no texto, indentificando-a com uma 
solução atual). 
b) [0,5 pt] Faça um esboço do raciocínio geométrico utilizado por Al-Khwarismi. 
 
 
Solução: 
 
a) Observe que: 
 
² 10 39 Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove
² ? Qual é o quadrado?
x x
x
  
 
 
A partir daí, temos que: 
10
5 Tome a metade do número de raízes, obtendo cinco;
2
5 5 25 Multiplicando por si mesmo, o produto será vinte e cinco;
25 39 64 Adicioneisto a trinta e nove e a soma é sessenta e quatro;
64 8 Tome entã
 
  
  
  o a raiz quadrada disto, que é igual a oito;
8 5 3 E subtraia disto a metade do número de raizes, que é cinco. A diferença é três;
3 Esta é a raiz do número procurado;
9 E o próprio quadrado é nove.
  


 
 
b) Imagine um quadrado com um lado desconhecido medindo x. Construa 
retângulos com área medindo 5x e monte a figura em forma de L abaixo. 
 
 
Pela equação, essa figura tem área igual a 39. 
Para completar o quadrado precisamos acrescentar o quadrado de área igual a 25. 
 
 
Daí, (𝑥 + 5)2 = 64 . De onde obtem-se 𝑥 + 5 = √64 = 8. 
Logo 𝑥 = 8 − 5 = 3. 
 
Adicione isto a trinta e nove e a soma é sessenta e quatro;