reta_tangente

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3. Reta tangente 
 
 
Um dos problemas fundamentais do Cálculo é o de determinar o que se entende por reta 
tangente ao gráfico de uma função em certo ponto. Essa idéia corresponde 
essencialmente a um processo de limite, conforme veremos logo mais. 
 
O que se costuma pensar, quando se fala de reta tangente a uma curva é uma reta que 
corta a curva em apenas um ponto. Entretanto, apenas em alguns casos isso é verdade, 
como no caso da circunferência, como mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
Na figura a seguir, vemos uma figura onde a reta que é de fato a tangente e que corta a 
curva em mais de um ponto. Portanto, a idéia anterior não corresponde à realidade. 
 
 
 
 
Vejamos então como podemos definir a reta tangente ao gráfico de uma função em um 
ponto P. Essa idéia é devida ao grande matemático francês Pierre de Fermat (1601-
1665) que deixou uma obra de muita importância para a Matemática. 
 
Consideremos um ponto Q diferente de P e olhemos para a reta determinada por P e 
Q , que chamaremos de retas secantes, conforme a figura abaixo. 
 
 
Fazemos então o ponto Q se aproximar do ponto P e olhamos o que acontece com 
essas retas secantes. Se essas retas ficarem próximas de uma reta bem definida, diremos 
que essa reta de quem as secantes se aproximam é a reta tangente ao gráfico de f no 
ponto P . A figura a seguir dá uma idéia dessa situação. Perceba o ponto Q se 
deslocando sobre o gráfico da função na direção do ponto P e note que as secantes vão 
girando e ficando cada vez mais próximas da reta t . 
 
 
 
 
Dessa forma, podemos pensar que 
 
A reta tangente a uma curva num ponto é a posição-limite das retas secantes PQ , 
quando Q se aproxima de P . 
 
Vejamos alguns casos onde não existe reta tangente num ponto considerado. No 
primeiro desenho, perceba que, se nos aproximamos do ponto onde existe o “bico” no 
gráfico, pela direita, teremos uma “tangente pela direita”, no caso a reta vermelha, ao 
passo que se nos aproximarmos pela esquerda, a reta azul será a “tangente pela 
esquerda”. Ou seja, como as secantes não ficam próximas de uma reta definida, não 
temos reta tangente ao gráfico no ponto onde está o “bico”. 
 
 
Uma outra situação semelhante à anterior é mostrada na figura a seguir, onde, também 
no vértice da curva, não temos reta tangente. 
 
 
Pode-se pensar que nos pontos onde temos um “bico”, obrigatoriamente não teremos 
reta tangente. A figura a seguir desfaz essa impressão. No ponto onde está o “bico”, 
temos que existe a reta tangente e ela é vertical. 
 
 
Toda a discussão feita até agora é baseada apenas em figuras e na construção sugerida 
pela idéia de Pierre Fermat. A questão agora é a seguinte: 
Como descobrir se existe tangente ao gráfico de uma função em um ponto? 
 
 
Vamos utilizar para isso a noção de coeficiente angular de uma reta. Recorde que se r é 
uma reta, definimos a sua inclinação como sendo o menor ângulo medido no sentido 
anti-horário que essa reta faz com o eixo das abscissas. Também definimos o seu 
coeficiente angular como sendo a tangente de sua inclinação. Confira a figura abaixo. 
 
 
 
De acordo com a figura anterior, vemos que se os pontos ( )1 1,A x y= e ( )2 2,B x y= 
pertencem à reta r e α é a sua inclinação, o seu coeficiente angular é dado por 
2 1
2 1
y y
tg
x x
α
−
=
−
. Em geral representaremos o coeficiente angular de uma reta pela letra m . 
Esse raciocínio só é válido se a reta não for vertical. Nesse caso a sua inclinação é 090 
ou 
2
pi
rad. Nesse caso não definimos o seu coeficiente angular. 
 
Após essa rápida revisão, voltemos ao problema de decidir se existe ou não a reta 
tangente ao gráfico de uma função num dado ponto. Para respondermos a essa questão, 
vamos nos basear no entendimento acerca da reta tangente que tivemos anteriormente. 
A reta tangente no ponto P é a posição-limite das retas secantes PQ , quando Q se 
aproxima de P . 
 
Baseados nisso é bastante razoável admitirmos que 
 
O coeficiente angular da reta tangente no ponto P é o limite dos coeficientes angulares 
das secantes quando Q se aproxima de P . 
 
É através disso que vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente e, 
conseqüentemente sabermos se ela existe ou não. Vejamos alguns exemplos. 
 
Exemplo 1. Consideremos a função ( ) 2f x x= e vamos descobrir a equação da reta 
tangente ao gráfico de f no ponto ( )0,0P = . Em primeiro lugar, o que devemos fazer é 
encontrarmos o coeficiente angular de cada uma das secantes. Tome então um ponto 
( ),Q x y= sobre o gráfico de f . Isso obriga que 2y x= . Assim, o ponto Q na realidade é 
( )2,Q x x= . O coeficiente angular da secante que passa por P e Q – que vamos 
representar por sm é dado por 
 
2 20
0
Q P
s
Q P
y y x x
m x
x x x x
−
−
= = = =
− −
 
 
Em segundo lugar, lembramos que o coeficiente angular da reta tangente no ponto P é 
o limite dos coeficientes angulares das secantes quando Q se aproxima de P . 
 
Assim sendo, se representarmos o coeficiente angular da tangente por Tm , temos que 
limT sQ Pm m→= . Agora perceba uma pequena sutileza lingüística: dizer que Q está próximo 
de P é o mesmo que dizer que x está próximo de 0 . Portanto, 
0
lim 0T
x
m x
→
= = . Isso 
acarreta que a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )0,0P = é horizontal. Veja a 
figura a seguir. 
 
 
 
Exemplo 2: Consideraremos a mesma função do Exemplo 1, só que mudaremos o 
ponto. Dessa vez o ponto ( )2,4P = . O raciocínio é semelhante ao anterior. Começamos 
com um ponto genérico Q sobre o gráfico de ( ) 2f x x= - que é, ninguém mais, ninguém 
menos que a parábola 2y x= . Em virtude dessa escolha, temos ( )2,Q x x= . Assim, o 
coeficiente angular de cada uma das secantes que passa por P e Q é dado por: 
 
( )( )2 2 24 2
2 2
Q P
s
Q P
y y x xx
m x
x x x x
− − +
−
= = = = +
− − −
. 
 
Assim sendo, se representarmos o coeficiente angular da tangente por Tm , temos que 
limT sQ Pm m→= . Agora perceba: dizer que Q está próximo de P é o mesmo que dizer que x 
está próximo de 2 . Portanto, 
2
lim 2 4T
x
m x
→
= + = . Isso acarreta que a reta tangente ao 
gráfico de f no ponto ( )2,4P = é a reta de equação ( )4 4 2y x− = ⋅ − . Veja a figura a 
seguir. 
 
 
 
Exemplo 3: Consideremos agora a função ( ) 24 , 14 8 , 1
x se xf x
x x se x
<
= 
− + ≥
 e vamos 
investigar a existência de reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )1,4P = . Para facilitar 
um pouco mais a nossa vida, vamos olhar para o gráfico dessa função. Ele está 
mostrado a seguir e já sinaliza com uma primeira suspeita: não há reta tangente no 
ponto dado! 
 
 
 
 
Apesar disso, vamos fazer um cálculo para confirmar o que a figura está indicando. 
Lembre que uma figura às vezes pode nos enganar. Basta lembrar as ilusões de óptica. 
 
Já dá pra notar que antes de 1x = a função está definida de um jeito e depois de 1x = , de 
outro jeito. Isso nos faz lembrar uma das figuras lá do início, onde tínhamos uma 
situação de uma “tangente pela direita” e de uma “tangente pela esquerda”. Esse 
fenômeno vai acontecer aqui e a gente só vai fazer umas contas pra confirmar que, de 
fato ele existe. 
 
Então vamos lá. Vamos ver o caso da “tangente à esquerda”. Tomemos um ponto 
genérico ( ),Q x y= à esquerda de ( )1,4P = , sobre o gráfico de f . Pelo fato de Q estar à 
esquerda de P , temos que 1x < . Portanto, como o ponto ( ),Q x y= pertence ao gráfico 
de f e o gráfico de f , para 1x < , é a reta 4y x= , segue que ( ,4 )Q x x= . Agora 
procedemos como nos exemplos anteriores. O coeficiente angular de cada uma das 
secantes que passa por P e Q é dado por: 
 
( )4 14 4 4
1 1
Q P
s
Q P
y y xx
m
xx x x
− −
−
= = = =
− − −
. 
 
Assim sendo, se representarmos o coeficiente angular da tangente por Tm , temos que 
 pela esquerda
limT sQ Pm m→= . Agora perceba: dizer que Q está próximo de P pela esquerda, é o 
mesmo que dizer que x está próximo de 1, pela esquerda. Portanto, 
1
lim 4 4T
x
m
−→
= = . Isso 
acarreta que a reta “tangente à esquerda” ao gráfico de f no ponto ( )1,4P = é a reta de 
equação ( )4 4 1y x− = ⋅ − , ou seja, a reta 4y x= . 
 
Vejamos agora o caso da “tangente pela direita”. Então vamos lá. Tomemos um ponto 
genérico ( ),Q x y= à direita de ( )1,4P = , sobre o gráfico de f . Pelo fato de Q estar à 
direita de P , temos que 1x > . Portanto, como o ponto ( ),Q x y= pertence ao gráfico de 
f e o gráfico de f , para 1x > , é a parábola 24 8y x x= − + , segue que 2( , 4 8 )Q x x x= − + . 
Agora procedemos como nos exemplos anteriores. O coeficiente angular de cada uma 
das secantes que passa por P e Q é dado por: 
 
( ) ( ) ( )
222 4 2 1 4 14 8 4 4 1
1 1 1
Q P
s
Q P
x xy y xx x
m x
x x x x x
− − +
− − −
− + −
= = = = = − −
− − − −
. 
 
Assim sendo, se representarmos o coeficiente angular da tangente por Tm , temos que 
 pela direita
limT sQ Pm m→= . Agora perceba: dizer que Q está próximo de P pela direita, é o 
mesmo que dizer que x está próximo de 1, pela direita. Portanto, ( )
1
lim 4 1 0T
x
m x
+→
= − − = . 
Isso acarreta que a reta “tangente à direita” ao gráfico de f no ponto ( )1,4P = é a reta de 
equação ( )4 0 1y x− = ⋅ − , ou seja, a reta 4y = , que é uma reta horizontal passando pelo 
ponto ( )1,4P = . 
Na figura a seguir mostramos o gráfico de f , bem como as tangentes “pela esquerda” e 
“pela direita”. Moral da história: não temos reta tangente, pois as tangentes pela 
esquerda e direita são diferentes. 
 
 
 
 
Exemplo 4. Vamos considerar agora a função ( ) 13f x x= e vamos ver se existe reta 
tangente no ponto ( )0,0P = . Em primeiro lugar, o que devemos fazer é encontrar o 
coeficiente angular de cada uma das secantes. Tome então um ponto ( ),Q x y= sobre o 
gráfico de f . Isso obriga que 13y x= . Assim, o ponto Q na realidade é ( )13,Q x x= . O 
coeficiente angular da secante que passa por P e Q – que vamos representar por sm é 
dado por 
 
1 1
3 3 2
3
2 3 23
0 1 1
0
Q P
s
Q P
y y x x
m x
x x x x xx
−−
−
= = = = = =
− −
 
 
Em segundo lugar, lembramos que o coeficiente angular da reta tangente no ponto P é 
o limite dos coeficientes angulares das secantes quando Q se aproxima de P . 
 
Assim sendo, se representarmos o coeficiente angular da tangente por Tm , temos que 
limT sQ Pm m→= . Agora perceba: dizer que Q está próximo de P é o mesmo que dizer que x 
está próximo de 0 . Portanto, 
3 20
1limT
x
m
x→
= = +∞ , o que acarreta ser a reta tangente 
vertical, conforme nos mostra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
 
1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função ( ) 22f x x= , no ponto em 
que 2x = . 
 
2. Determine o coeficiente angular da reta tangente à curva 1y
x
= no ponto ( )13, 3 . 
 
3. Considerando a função ( ) 2,, 00
x se xf x
x se x
− <
=  ≥
, decida se existe reta tangente ao 
gráfico de f no ponto em que 0.x = 
 
_______________________________________________ 
Soluções 
 
 
1. Primeiro vamos determinar o coeficiente angular dessa reta tangente. O ponto 
P possui abscissa igual a 2 , logo sua ordenada será ( ) 22 2 2 8y f= = ⋅ = . Assim 
( )2,8P = . Agora o que devemos fazer é encontrar o coeficiente angular de cada uma das 
secantes que ligam P a Q . Tome então um ponto ( ),Q x y= sobre o gráfico de f . Isso 
obriga que 22y x= . Assim, o ponto Q na realidade é ( )2,2Q x x= . O coeficiente angular 
da secante que passa por P e Q é dado por: 
 
( ) ( )( ) ( )
22 2 4 2 2 22 8 2 2
2 2 2
Q P
s
Q P
xy y x xx
m x
x x x x x
−
− − +
−
= = = = = +
− − − −
 
 
Em segundo lugar, lembramos que o coeficiente angular da reta tangente no ponto P é 
o limite dos coeficientes angulares das secantes quando Q se aproxima de P . 
 
Assim sendo, denotando o coeficiente angular da tangente por Tm , temos que 
limT sQ Pm m→= . Agora perceba: dizer que Q está próximo de P é o mesmo que dizer que x 
está próximo de 2 . Portanto ( )
2
lim 2 2 8T
x
m x
→
= + = . Agora é só escrever a equação da reta. 
A equação da reta pedida será ( )8 8 2y x− = ⋅ − , ou seja, 8 8x y− = . 
 
2. Fazendo ( )y f x= , o problema se reduz a determinarmos a equação da reta tangente 
ao gráfico de ( ) 1f x
x
= no ponto ( )13, 3 . Portanto, procedendo como na questão 
anterior, primeiramente vamos descobrir quanto vale o coeficiente angular da reta 
pedida. Agora o que devemos fazer é encontrar o coeficiente angular de cada uma das 
secantes que ligam P a Q . Tome então um ponto ( ),Q x y= sobre o gráfico de f . Isso 
obriga que 1y
x
= . Assim, o ponto Q na realidade é 1,Q x
x
 
=  
 
. O coeficiente angular da 
secante que passa por P e Q é dado por: 
 
( )
1 1 3
3 13 3
3 3 3 3 3
x
xx xm
x x x x x
−
−
− −
= = = =
− − ⋅ −
 
 
Assim sendo, denotando o coeficiente angular da tangente por Tm , temos que 
limT sQ Pm m→= . Agora perceba: dizer que Q está próximo de P é o mesmo que dizer que x 
está próximo de 3 . Portanto 
3
1 1lim
3 9T x
m
x→
− −
= = . 
Portanto a equação da reta tangente será ( )1 1 3
3 9
y x− = − − , ou seja, 9 3 3y x− = − + , ou 
ainda, 9 6x y+ = . 
 
3. Primeiro construímos o gráfico de f . Perceba que já há um indício de que não há 
reta tangente no ponto ( )0,0 . 
 
 
 
 
 
Tomemos um ponto genérico ( ),Q x y= à esquerda de ( )0,0P = , sobre o gráfico de f . 
Pelo fato de Q estar à esquerda de P , temos que 0x < . Portanto, como o ponto 
( ),Q x y= pertence ao gráfico de f e o gráfico de f , para 0x < , é a reta y x= − , segue 
que ( , )Q x x= − . Agora procedemos como nos exemplos anteriores. O coeficiente 
angular de cada uma das secantes que passa por P e Q é dado por: 
 
0 1
0
Q P
s
Q P
y y x x
m
x x x x
−
− − −
= = = = −
− −
. 
 
Assim sendo, se representarmos o coeficiente angular da tangente por Tm , temos que 
 pela esquerda
limT sQ Pm m→= . Agora perceba: dizer que Q está próximo de P pela esquerda, é o 
mesmo que dizer que x está próximo de 0 , pela esquerda. Portanto, 
0
lim 1 1T
x
m
−→
= − = − . 
 
Tomemos um ponto genérico ( ),Q x y= à direita de ( )0,0P = , sobre o gráfico de f . 
Pelo fato de Q estar à direita de P , temos que 0x > . Portanto, como o ponto ( ),Q x y= 
pertence ao gráfico de f e o gráfico de f , para 0x > , é a parábola 2y x= , segue que 
2( , )Q x x= . Agora procedemos como nos exemplos anteriores. O coeficiente angular de 
cada uma das secantes que passa por P e Q é dado por: 
 
2 20
0
Q P
s
Q P
y y x x
m x
x x x x
−
−
= = = =
− −
. 
 
Assim sendo, se representarmos o coeficiente angular da tangente por Tm , temos que 
 pela direita
limT sQ Pm m→= . Agora perceba: dizer que Q está próximo de P pela direita, é o 
mesmo que dizer que x está próximo de 0 , pela direita. Portanto, 
0
lim 0T
x
m x
+→
= = . Isso 
acarreta que não existe a tangente no ponto dado.