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3. TESTES DE HIPÓTESES 3.1. Teste de hipótese é um procedimento estatístico destinado a verificar hipóteses relativas a parâmetros populacionais. Uma questão fundamental nesse processo é a taxa de erro de conclusão. Indique o motivo pelo qual poderão existir tais erros e quais são eles. 3.2. Para a comparação entre as médias de duas populações pode-se utilizar a estatística T, onde a variância utilizada é a variância combinada das duas amostras. Indique as pressuposições que deverão ser válidas para que essa metodologia seja adequada. 3.3. Uma cadeia de lojas recebeu um novo modelo de aparelho som. Para determinar um processo adequado de promoção dos novos aparelhos, estudou-se a sua performance em termos de potência. O fabricante especificou que, em média, os aparelhos atingem 65 watts a 8 ohms. Obtida uma amostra de 8 aparelhos, verificou-se que a potência média foi de 63,1 watts com desvio padrão de 1,7 watts. Verifique se a informação do fabricante está condizente com os resultados amostrais, utilizando nível de significância de 5%. t0,025 = 2,365 tc = - 3,161 Rejeita-se H0. 3.4. Sabe-se que certa raça de bovinos em confinamento, alimentada com uma ração padrão, tem um aumento médio de peso igual a 60 kg durante os três primeiros meses de idade. Um lote de 10 novilhos, dessa mesma raça, recebeu um novo tipo de alimentação com novos concentrados. Mantendo-se as mesmas condições de manejo, os aumentos de peso foram 55; 62; 54; 58; 65; 65; 60; 62; 59; 67. Fixando o nível de significância em 1%, conclua sobre o novo tipo de alimentação. Estime a média por intervalo e relacione o resultado com o teste de hipótese. t0,005 = 3,250 tc = 0,5122 Não se rejeita H0. Intervalo para a média - (56,26; 65,14). Como o valor 60 está contido no intervalo, chega-se a mesma conclusão do teste. 3.5. Diante de uma equipe de fiscais, a nutricionista responsável pelo cardápio de um restaurante declarou que o peso médio de uma determinada vitamina por bandeja de refeição é de 5,5 g. Foi retirada uma amostra de 25 bandejas do fornecimento diário de refeições desse restaurante, encontrando-se uma média de 5,2 g da vitamina e um desvio padrão de 1,2 g. Verifique a veracidade da informação da nutricionista, utilizando nível de significância de 5%. t0,025 = 2,064 tc = -1,25 Não se rejeita H0. 3.6. O Instituto de Nutrição da América Central e Panamá fez um estudo intensivo de resultados de dietas publicados em revistas científicas. Uma dieta aplicada a 15 pessoas produziu os seguintes níveis de colesterol (em mg/l): 204; 108; 140; 152; 158; 129; 175; 146; 157; 174; 192; 194; 144; 152; 135. Sabendo-se que o nível médio normal de colesterol é de 190 mg/l, verifique se a redução no teor médio de colesterol das pessoas submetidas a essa dieta foi significativa, com α=0,05. t0,05 = -1,761 tc = - 4,803 (teste unilateral) Rejeita-se H0. 2 3.7. Para testar a performance em termos de consumo de combustível de um novo carro compacto, o fabricante sorteou seis motoristas profissionais que dirigiram o automóvel de Pelotas a Porto Alegre. O consumo do carro (em litros) para cada um dos seis motoristas foi de 27,2; 29,3; 31,5; 28,7; 30,2; 29,6. Baseado nesses dados e utilizando nível de significância de 5%, o fabricante pode indicar que o consumo médio do novo carro é de 30 litros para viagens nesse percurso? t0,025 = 2,571 tc = -0,9894 Não se rejeita H0. 3.8. Vinte observações de um tipo de matriz indicaram um tempo de vida média de 217 minutos desvio padrão de 20 minutos. Teste a hipótese de que o tempo de vida é inferior a 250 minutos, conforme atestam alguns engenheiros. Use α = 0,05. t0,25 = 2,093 tc = -7,379 Rejeita-se H0. 3.9. Num estudo do tempo médio de adaptação para uma amostra aleatória de 30 homens num grande complexo industrial surgiram as seguintes estatísticas: = =x 3,2 anos e 0,8 anos. s Pode-se concluir, ao nível de 1% de significância que os homens tenham um tempo adaptação menor que as mulheres que é de 3,7 anos? t0,005 = 2,756 tc = -3,423 Rejeita-se H0. 3.10. Os dados a seguir representam o ganho obtido em um processo químico. Use α = 0,05 e teste a hipótese de que nas condições atuais o ganho seja superior a 1,5. 1,50 1,55 1,59 1,42 1,53 1,58 1,48 1,52 1,53 1,62 1,46 1,56 1,63 1,54 1,58 1,68 t0,25 = 2,131 tc = 2,905 Rejeita-se H0. 3.11. Dois tipos de combustíveis estão sendo testados. A hipótese é que eles tenham o mesmo desempenho. Teste essa hipótese, sabendo que os resultados de testes feitos com 10 automóveis usando cada tipo combustível indicaram 1s 0,63 km/l= e 2s 0,88 km/l= e = =1 2x 13,3 km/l e 13,9 km/l. x (Suponha σ = σ2 21 2 e use α = 0,05). t0,025 = -2,101 tc = -1,753 Não se rejeita H0. 3.12. Para investigar se o treinamento é ou não transferido pelo ácido nucléico, 10 ratos foram treinados em discriminar se havia luz ou escuridão. Posteriormente esses ratos foram mortos, o ácido nucléico extraído e injetados em 10 ratos. Simultaneamente o ácido nucléico de 10 ratos não treinados foram injetados em outros 10. Os 20 ratos foram observados durante um período e o número de erros relativos a cada rato está na tabela abaixo. Treinado 7 9 6 11 13 8 7 13 12 9 Não treinado 12 8 9 13 14 9 8 10 7 15 Verifique se, em média, os ratos treinados erram tanto quanto os ratos não treinados. (Suponha σ = σ2 21 2 e use α = 0,05). t0,025 = 2,101 tc = - 0,829 Não se rejeita H0. 3 3.13. Um fabricante atesta que as máquinas de enchimento que ele produz apresentam um coeficiente de variação (CV) inferior a 2%. Engenheiros da empresa desconfiam que o fabricante não está dizendo a verdade. Um experimento aleatório realizado com garrafas de 2 litros indicou s2=0,0024 litros2 para uma amostra de 15 garrafas. Teste essa hipótese para um nível de significância α = 0,05. q0,025 =5,63 q’0,025 =26,12 qc =21,0 Não se rejeita H0. 3.14. Para verificar o grau de adesão de uma nova cola para vidros, preparam-se dois tipos de montagem; cruzado (A), onde a cola é posta em forma de X, e quadrado (B), onde a fórmula é posta nas 4 bordas. O resultado para a resistência das duas amostras está abaixo. Para um nível de 5% de significância que tipo de conclusão poderia ser tirada? Método A 16 14 19 18 19 20 15 18 17 18 Método B 13 19 14 17 21 24 10 14 13 15 f0,025 = 4,03 fc = 5 Pode-se considerar a desigualdade de variâncias t0,025 = 2,179 tc = 0,953 Não se rejeita H0. 3.15. A fim de comparar a eficácia de dois operários, foram tomadas, para cada um, sete medidas do tempo gasto, em segundos, para realizar certa operação. Os resultados obtidos são dados a seguir. Pergunta-se se, ao nível de 5% de significância, os operários devem ser considerados igualmente eficazes ou não. Operário A 35 32 40 36 35 32 33 Operário B 29 35 36 34 30 33 31 f0,025 = 5,82 fc = 1,137 Pode-se considerar a igualdade de variâncias t0,025 = 2,179 tc = 1,471 Não se rejeita H0. 3.16. Uma alta quantidade de nitrato introduzida na alimentação animal tem mostrado possuir efeitos deletérios incluindo baixa produção de tiroxina, aumento de incidência de cianose em recém nascidos e baixa produção de leite. Os dados que seguem referem-se a medida de ganho de peso percentual em ratos de laboratório, submetidos a uma dieta padrão e a uma dieta com 2000 ppm de nitrato na água de beber. Nitrato: 12,7 19,3 20,5 10,5 14,010,8 16,6 14,0 17,2 Controle: 18,2 32,9 10,0 14,3 16,2 27,6 15,7. a) Com α = 0,05, verifique, através do teste F, se as variâncias das populações são iguais. b) Com α = 0,05, verifique, através do teste t, o efeito do nitrato sobre o ganho de peso. a) f0,025 = 4,65 fc = 5,123 Pode-se considerar a desigualdade de variâncias b) t0,025 = 2,306 tc = -1,287 Não se rejeita H0. 4 3.17. A Testosterona é uma droga que tem sido ministrada a atletas com a intenção de aumentar a massa muscular. Um estudo foi conduzido com 22 atletas, onde 11 receberam uma determinada dose da droga, durante um período de seis semanas, e os outros 11 receberam um placebo. Ao final desse período foi medida a largura do músculo (em mm, determinados por raio X). Utilizando nível de significância igual a 5%, responda aos itens abaixo. Indivíduos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Placebo 3,7 5,2 4,0 4,7 4,3 3,9 4,2 4,9 5,1 4,1 4,0 Droga 13,1 16,5 15,3 15,7 14,1 15,0 15,5 16,1 15,8 14,3 15,2 a) Verifique, através do teste F, se as variâncias das duas populações diferem entre si. b) Verifique se existe diferença significativa entre a largura média do músculo dos dois grupos. a) f0,025 = 3,72 fc = 3,624 Pode-se considerar a igualdade de variâncias b) t0,05 = -1,725 tc = -32,204 (teste unilateral) Rejeita-se H0. 3.18. Durante o processo de fritura, um alimento absorve gordura. Um estudo foi conduzido com a finalidade de verificar se a quantidade absorvida depende do tipo de gordura. Para tanto foram utilizados dois tipos de gordura: vegetal e animal. Os dados obtidos foram: Gordura animal 28 41 47 32 35 27 Gordura vegetal 25 43 28 21 13 a) Faça o teste de homogeneidade de variâncias. b) Verifique se os dados confirmam a hipótese de que a absorção depende do tipo de gordura. Utilize 5% como taxa de erro do tipo I. a) f0,025 = 7,39 fc = 2,020 Pode-se considerar a igualdade de variâncias b) t0,025 = 2,262 tc = 1,586 Não se rejeita H0. 3.19. Uma nova unidade de dessalinização foi instalada em uma indústria química. Uma amostra com n = 10, coletada antes da instalação da nova unidade indicou concentração de sal =1x 19,55 e = 2 1s 15,35 Enquanto que, após a instalação, uma amostra com n = 16 indicou =2x 17,85 e = 2 2s 8,65 . Baseado nesses dados e utilizando α = 0,05: a) teste a hipótese de que as duas variâncias sejam iguais; b) teste a hipótese de que a nova unidade reduziu a concentração média de sal. a) f0,025 = 3,12 fc = 1,7746 Pode-se considerar a igualdade de variâncias b) t0,05 = 1,711 tc = 1,2622 (teste unilateral) Não se rejeita H0. 3.20. Um engenheiro desconfia que o percentual de produtos defeituosos reduziu depois da implantação do controle estatístico de processo (CEP). Em uma amostragem de 500 produtos realizada antes da implantação do CEP, identificou-se 5 produtos defeituosos. Após a implantação do CEP, coletou-se uma amostra de 700 produtos e identificou-se um defeituosos. Teste a hipótese do engenheiro usando 2,5% de significância e enuncie que pressuposto você estaria infringindo para utilizar o teste Z. z0,05 = 1,96 zc = 1,834 (teste unilateral) Não se rejeita H0. Aproximação normal não é satisfatória, pois np ≤≤≤≤ 5, antes e depois do CEP. 5 3.21. Um fabricante alega que apenas 2% das peças que ele fornece estão abaixo das condições de utilização. Em 200 peças escolhidas aleatoriamente de uma remessa de 5.000 encontraram-se 10 falhas. A alegação do fabricante parece aceitável ao nível de 5% de significância? z0,025 = 1,96 zc = 3,0305 Rejeita-se H0. 3.22. Uma pesquisa nacional indica que aproximadamente 25% das contas de grandes magazines incorrem em penalidade por atraso nos pagamentos. Se um magazine local constata 40 atrasos numa amostra de 200 clientes, pode necessariamente admitir que seus clientes sejam melhores que os clientes de todo país? Adote 5% de significância. z0,025 = -1,96 zc = -1,6330 Não se rejeita H0. 3.23. Um médico está estudando o crescimento de dois tipos de bactérias. Como pode haver um efeito significativo do substrato, os dois tipos de bactérias foram cultivados em cada cada uma das oito amostras de substrato. Use α = 0,01 e teste a hipótese de que a bactéria 1 cresce mais que a bactéria 2. Substrato 1 2 3 4 5 6 7 8 Bactéria 1 3,0 3,2 2,7 2,5 3,8 4,3 3,5 4,8 Bactéria 2 3,2 3,1 2,4 2,1 3,2 3,7 3,2 4,0 t0,005 = 3,500 tc = 3,2452 Não se rejeita H0. 3.24. Em uma indústria química, os engenheiros desejam saber se o alongamento (cm) de um composto de borracha permanece inalterado ao passar por uma máquina extrusora. Como o alongamento do composto depende do lote de matéria-prima usado na sua confecção, os dados foram coletados aos pares. A que conclusão se pode chegar a partir desses dados, com α = 0,05? Lote 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes 360 370 380 345 365 380 390 395 385 410 Depois 360 365 355 340 350 370 390 375 375 395 t0,025 = 2,262 tc = 3,9925 Rejeita H0. 3.25. Os dados abaixo dão os acertos obtidos por oito soldados num experimento destinado a determinar se a precisão do tiro é afetada pela maneira de dispor os olhos: com o olho direito aberto ou com o olho esquerdo aberto Soldado 1 2 3 4 5 6 7 8 Direito 44 39 33 56 43 56 47 58 Esquerdo 40 37 28 53 48 51 45 60 Que conclusão você poderia tirar, com α = 0,05? t0,025 = 2,365 tc = 1,4 Não se rejeita H0. 6 3.26. Cinco medidas do conteúdo de alcatrão em um cigarro X acusaram: 14,5, 14,2, 14,4, 14,8, e 14,1 miligramas por cigarro. Este conjunto de cinco valores tem média 14,4 e desvio padrão 0,274. O leitor pretende testar a hipótese nula H0: µ = 14,1 (conforme declarado no maço) ao nível de 0,05 de significância. a) H0 seria aceita, contra a alternativa HA: µ ≠ 14,1? b) H0 seria aceita, contra a alternativa HA: µ < 14,1? c) H0 seria aceita, contra a alternativa HA: µ > 14,1? d) Que suposições são necessárias para fazer o teste de hipóteses? a) t0,025 = 2,776 ⇒⇒⇒⇒ H0 é aceita, a média não é significativamente diferente de 14,1. b) t0,05 = -2,132 ⇒⇒⇒⇒ H0 é aceita, não é possível afirmar que a média é menor que 14,1. c) t0,05 = 2.132 ⇒⇒⇒⇒ H0 é rejeitada, a média deve ser maior que 14,1. d) A variável em estudo tem distribuição normal 3.27. Suponha que um fabricante sem escrúpulos deseje uma “prova científica” de que um aditivo químico totalmente inócuo melhora o rendimento. a) Se um grupo de pesquisa analisa esse aditivo com um experimento, qual é a probabilidade de chegar a um “resultado significativo” com α = 0,05 (para promover o aditivo com “afirmações científicas”) mesmo que o aditivo seja totalmente inócuo? b) Se dois grupos independentes de pesquisa analisam o aditivo, qual é a probabilidade de que pelo menos um deles chegue a um “resultado significativo”, mesmo que o aditivo seja totalmente inócuo? c) Se 32 grupos independentes de pesquisa analisam o aditivo, qual é a probabilidade de que pelo menos um deles chegue a um “resultado significativo”, mesmo que o aditivo seja totalmente inócuo? a) 5% = P (erro Tipo I) b) 0,0975 c) 0,8063 3.28. Suponha que um farmacêutico pretenda achar um novo unguento para reduzir inchação. Para tanto, ele fabrica 20 medicamentos diferentes e testa cada um deles, ao nível de 0,10 de significância, quanto a finalidade em vista. a) Qual a probabilidade de ao menos um deles “se revelar” eficaz mesmo que todos sejam totalmente inócuos? b) Quala probabilidade de mais de um deles “se revelarem” eficazes, mesmo que todos sejam totalmente inócuos? a) 0,8784 b) 0,6083 3.29. O fabricante de uma certa marca de aparelhos eletrônicos informou que a potência média dos seus aparelhos é de 27 microwatts. O gerente de uma loja que vende os aparelhos utiliza uma amostra de 15 aparelhos para checar se a informação do fabricante é verdadeira. Os valores (em microwatts) obtidos para a amostra foram os seguintes: 26,7; 25,8; 24,0; 24,9; 26,4; 25,9; 24,4; 21,7; 24,1; 25,9; 27,3; 26,9; 27,3; 24,8; 23,6 Utilize um teste de hipótese, ao nível de 5% de significância, e verifique qual foi a conclusão do gerente. t0,025 = 2.145 tc = -4,138(teste bilateral) Rejeita-se H0. 7 3.30. Dez cobaias adultas criadas em laboratório, foram separadas, aleatoriamente, em dois grupos: um foi tratado com ração normalmente usada no laboratório (padrão) e o outro grupo foi submetido a uma nova ração (experimental). As cobaias foram pesadas no início e no final do período de duração do experimento. Os ganhos de peso (em gramas) observados foram os seguintes: Ração padrão 200 180 190 190 180 Ração experimental 220 200 210 220 210 Utilize um teste de hipótese, ao nível α=0,01, para verificar se as duas rações diferem entre si. t0,005 = 3.355 tc = -4,5356 (teste bilateral) Rejeita-se H0. 3.31. Os valores abaixo se referem aos pesos ao nascer (em kg) de bovinos da raça Ibagé, em duas épocas distintas: Agosto: 18 25 16 30 35 23 21 33 32 22 Setembro: 27 30 20 30 33 34 17 33 20 23 39 23 28 Efetue o teste de homogeneidade de variâncias, ao nível α = 0,05. f0,05 = 3.44 fc = 1,0289 (teste bilateral) Não se rejeita H0. 3.32. Um engenheiro deseja testar a hipótese de que o percentual de peças defeituosas é inferior a 10%. Uma amostra aleatória com 75 peças revelou 6 peças defeituosas. Use α = 0,05 e conclua a respeito. z0,025 = -1,96 zc = -0,5774 (teste bilateral) Não se rejeita H0. 8 4. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 4.1. O gerente de uma indústria localizada em um país tropical suspeita que há uma correlação entre temperatura do dia e produtividade. Dados coletados aleatoriamente ao longo de um período de seis meses revelaram o seguinte: Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Temperatura 21,2 20,3 22,7 22 22,3 23,5 24,8 24,2 25,5 25,2 25,5 25,8 Produtividade 142 148 131 132 145 138 144 136 141 124 133 128 Obs. 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Temperatura 27,5 26,3 28,2 28,6 29 29,7 30,7 30,3 30,2 31,4 32,5 32,7 Produtividade 132 137 124 117 122 131 124 111 119 129 123 116 a) Calcule o coeficiente de correlação entre temperatura e a produtividade, interprete-o e teste sua significância a 5%. b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples. a) r = -0,7732; tc = -5,718; t0,025 = 2,074; Rejeita-se H0. b) Y = 185,96 – 2,09 X 4.2. Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar se existe associação entre a falta de sono e a capacidade de as pessoas resolverem problemas simples. Foram testadas 10 pessoas, mantendo-se sem dormir por um determinado número de horas. Após cada um destes períodos, cada pessoa teve de resolver um teste com adições simples, anotando-se então os erros cometidos. Os dados resultantes são os seguintes: Número de erros 6 8 6 10 8 14 12 14 12 16 Número de horas sem dormir 8 8 12 12 16 16 20 20 24 24 a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância a 5%. b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples. a) r = 0,8015; tc = 3,791; t0,025 = 2,306; Rejeita-se H0. b) Y = 3 + 0,475 X 4.3. Um sofisticado simulador estocástico de tráfego fornece a velocidade média em avenidas de uma metrópole em função do volume de automóveis. O resultado de 14 simulações revelou o seguinte: Volume de tráfego 3 3 5 5 10 10 15 15 20 20 25 25 30 30 Velocidade média 95,6 93,8 74,4 74,8 50,5 51,5 44,6 42,4 35,8 38,7 32,0 3,2 30,1 29,1 a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância a 5%. b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples. a) r = -0,8893; tc = -6,735; t0,025 = 2,179; Rejeita-se H0. b) Y = 86,73 – 2,40 X 9 4.4. Os dados abaixo referem-se aos pesos iniciais e ganhos de peso (em gramas) de 15 ratos fêmeas entre 24 a 84 dias de idade, submetidas a uma dieta com altos teores de proteína. O objetivo deste estudo é verificar se o ganho de peso está relacionado com o peso inicial. Sendo assim, experimentos de alimentação podem ser mais precisos, levando-se em conta o peso inicial dos ratos, ou fazendo-se o pareamento ou ainda por ajustes de diferenças no peso inicial. a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância a 5%. b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples. Ratos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Peso inicial 50 64 76 64 74 60 69 68 56 48 57 59 46 45 65 Ganho de peso 128 159 158 119 133 112 96 126 132 118 107 106 82 103 104 a) r = 0,4894; tc = 2,024; t0,025 = 2,160; Não se rejeita H0. b) Y = 54,95 + 1,06 X 4.5. Um experimento mediu o rendimento de trigo em sete diferentes níveis de Nitrogênio, com os seguintes resultados. a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância a 5%. b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples. Unidades (Kg de N/ha) 40 60 80 100 120 140 160 Rendimento (t/ha) 15,9 18,8 21,6 25,2 28,7 30,4 30,7 a) r = 0,9830; tc = 11,978; t0,025 = 2,571; Rejeita-se H0. b) Y = 11,13 + 0,13 X 4.6. Em geral, experimentos afirmam que a percentagem de frutos atacados por larvas de mariposa é maior em macieiras anãs. Aparentemente, a densidade de mariposas não tem relação com o tamanho do pomar ou porte da planta, de modo que os riscos de ataque em um fruto em particular seriam aumentados quando o número de frutos ou plantas for pequeno. Os dados abaixo se referem aos resultados de um experimento contendo evidências sobre esse fenômeno. a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância. b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples. Plantas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tamanho da colheita (centenas de frutos) 8 6 11 22 14 17 18 24 19 23 26 40 Percentagem de frutos atacados 59 58 56 53 50 45 43 42 39 38 30 27 a) r = -0,8809; tc = -5,884; t0,05 = 2,228; Rejeita-se H0. b) Y = 64,25 – 1,01 X
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